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Directory:Jon Awbrey/Papers/Differential Logic and Dynamic Systems (view source)

Revision as of 14:21, 2 July 2007

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→‎Taking Aim at Higher Dimensional Targets: wiki table
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But that's it, and no further.  Neglect of these distinctions in range and target universes of higher dimensions is bound to cause a hopeless confusion.  To guard against these adverse prospects, Tables&nbsp;58 and 59 lay the groundwork for discussing a typical map ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>], and begin to pave the way, to some extent, for discussing any transformation of the form ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>].
 
But that's it, and no further.  Neglect of these distinctions in range and target universes of higher dimensions is bound to cause a hopeless confusion.  To guard against these adverse prospects, Tables&nbsp;58 and 59 lay the groundwork for discussing a typical map ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>], and begin to pave the way, to some extent, for discussing any transformation of the form ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>].
   −
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
−
Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
+
|+ '''Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators'''
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|- style="background:paleturquoise"
−
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
+
! Item
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
! Notation
−
|     |                         |                  |                            |
+
! Description
−
| U%  | = [u, v]               | Source Universe  | [B^n]                      |
+
! Type
−
|     |                         |                  |                            |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| valign="top" | ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     |                        |                  |                            |
+
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'']
−
| X%  | = [x, y]                | Target Universe  | [B^k]                      |
+
| valign="top" | Source Universe
−
|     | = [f, g]                |                 |                            |
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup>]
−
|     |                        |                  |                            |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| valign="top" | ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     |                         |                 |                           |
+
| valign="top" |
−
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^n x D^n]                |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|     |                         | Source Universe  |                           |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'']
−
|     |                         |                 |                           |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'']
−
|     |                        |                  |                            |
+
|}
−
| EX%  | = [x, y, dx, dy]        | Extended        | [B^k x D^k]                |
+
| valign="top" | Target Universe
−
|     | = [f, g, df, dg]        | Target Universe  |                            |
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup>]
−
|     |                        |                  |                            |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| valign="top" | E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     |                         |                 |                            |
+
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'', d''u'', d''v'']
−
| F    | F = <f, g> : U% -> X%   | Transformation,  | [B^n] -> [B^k]            |
+
| valign="top" | Extended Source Universe
−
|     |                         | or Mapping      |                            |
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]
−
|     |                         |                 |                           |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| valign="top" | E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     |                         |                  |                            |
+
| valign="top" |
−
|      | f, g : U -> B          | Proposition,    | B^n -> B                  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|      |                        |  special case  |                            |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'', d''x'', d''y'']
−
| f    | f : U -> [x] c X%      |  of a mapping,  | c (B^n, B^n -> B)          |
+
|-
−
|      |                        |  or component  |                            |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'', d''f'', d''g'']
−
| g    | g : U -> [y] c X%      |  of a mapping.  | = (B^n +-> B) = [B^n]      |
+
|}
−
|      |                        |                  |                            |
+
| valign="top" | Extended Target Universe
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]
−
|      |                        |                  |                            |
+
|-
−
| W    | W :                    | Operator        |                            |
+
| ''F''
−
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
+
| ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f'',&nbsp;''g''›&nbsp;:&nbsp;''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
+
| Transformation, or Mapping
−
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^n] -> [B^k])          |
+
| ['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>]
−
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
+
|-
−
|      | !e!, !h!, E, D, d      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
+
| valign="top" |
−
|      |                        |                  |                            |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| &nbsp;
−
|      |                        |                                              |
+
|-
−
| !e!  |                        | Tacit Extension Operator  !e!                |
+
| ''f''
−
| !h!  |                        | Trope Extension Operator  !h!                |
+
|-
−
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
+
| ''g''
−
|  D  |                        | Difference Operator        D                |
+
|}
−
|  d  |                        | Differential Operator      d                |
+
| valign="top" |
−
|      |                        |                                              |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| ''f'', ''g'' : ''U'' &rarr; '''B'''
−
|      |                        |                  |                            |
+
|-
−
| $W$  | $W$ :                  | Operator        |                            |
+
| ''f'' : ''U'' &rarr; [''x''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
+
|-
−
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
+
| ''g'' : ''U'' &rarr; [''y''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^n] -> [B^k])          |
+
|}
−
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
+
| valign="top" |
−
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|      |                        |                  |                            |
+
| Proposition
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|}
−
|      |                        |                                              |
+
| valign="top" |
−
| $e$  |                        | Radius Operator        $e$  =  <!e!, !h!>    |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
−
| $E$  |                        | Secant Operator        $E$  =  <!e!,  E >    |
+
| '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
−
| $D$  |                        | Chord Operator        $D$  =  <!e!,  D >    |
+
|-
−
| $T$  |                        | Tangent Functor        $T$  =  <!e!,  d >    |
+
| &isin; ('''B'''<sup>''n''</sup>, '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B''')
−
|      |                        |                                              |
+
|-
−
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
+
| = ('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''') = ['''B'''<sup>''n''</sup>]
−
</pre>
+
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| W
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| W&nbsp;:
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
 +
|-
 +
| for each W in the set:
 +
|-
 +
| {<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>,&nbsp;E,&nbsp;D,&nbsp;d}
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Operator
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>
 +
|-
 +
| <math>\eta</math>
 +
|-
 +
| E
 +
|-
 +
| D
 +
|-
 +
| d
 +
|}
 +
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2"  |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Tacit Extension Operator || <math>\epsilon</math>
 +
|-
 +
| Trope Extension Operator || <math>\eta</math>
 +
|-
 +
| Enlargement Operator    || E
 +
|-
 +
| Difference Operator      || D
 +
|-
 +
| Differential Operator    || d
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>&nbsp;:
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
 +
|-
 +
| for each <font face=georgia>'''W'''</font> in the set:
 +
|-
 +
| {<font face=georgia>'''e'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''E'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''D'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>}
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Operator
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2"  |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Radius Operator || <font face=georgia>'''e'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>›
 +
|-
 +
| Secant Operator || <font face=georgia>'''E'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;E›
 +
|-
 +
| Chord Operator  || <font face=georgia>'''D'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;D›
 +
|-
 +
| Tangent Functor || <font face=georgia>'''T'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;d›
 +
|}
 +
|}<br>
    
<pre>
 
<pre>
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