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Directory:Jon Awbrey/Papers/Differential Logic and Dynamic Systems (view source)

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But that's it, and no further.  Neglect of these distinctions in range and target universes of higher dimensions is bound to cause a hopeless confusion.  To guard against these adverse prospects, Tables&nbsp;58 and 59 lay the groundwork for discussing a typical map ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>], and begin to pave the way, to some extent, for discussing any transformation of the form ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>].
 
But that's it, and no further.  Neglect of these distinctions in range and target universes of higher dimensions is bound to cause a hopeless confusion.  To guard against these adverse prospects, Tables&nbsp;58 and 59 lay the groundwork for discussing a typical map ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>2</sup>], and begin to pave the way, to some extent, for discussing any transformation of the form ''F''&nbsp;:&nbsp;['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>].
   −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
+
<pre>
−
|+ '''Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators'''
+
Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
−
|- style="background:paleturquoise"
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
! Item
+
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
−
! Notation
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
! Description
+
|     |                         |                  |                            |
−
! Type
+
| U%  | = [u, v]                | Source Universe  | [B^n]                      |
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'']
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | Source Universe
+
| X%  | = [x, y]                | Target Universe  | [B^k]                      |
−
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup>]
+
|      | = [f, g]                |                  |                            |
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| valign="top" |
+
|      |                        |                  |                            |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^n x D^n]                |
−
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'']
+
|      |                        | Source Universe  |                            |
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'']
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|}
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | Target Universe
+
| EX%  | = [x, y, dx, dy]        | Extended        | [B^k x D^k]                |
−
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup>]
+
|      | = [f, g, df, dg]        | Target Universe  |                            |
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'', d''u'', d''v'']
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | Extended Source Universe
+
| F    | F = <f, g> : U% -> X%  | Transformation,  | [B^n] -> [B^k]            |
−
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]
+
|      |                        | or Mapping      |                            |
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| valign="top" |
+
|      |                        |                  |                            |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|      | f, g : U -> B          | Proposition,    | B^n -> B                  |
−
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'', d''x'', d''y'']
+
|      |                        |  special case  |                            |
−
|-
+
| f    | f : U -> [x] c X%      |  of a mapping,  | c (B^n, B^n -> B)          |
−
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'', d''f'', d''g'']
+
|      |                        |  or component  |                            |
−
|}
+
| g    | g : U -> [y] c X%      |  of a mapping.  | = (B^n +-> B) = [B^n]      |
−
| valign="top" | Extended Target Universe
+
|      |                        |                  |                            |
−
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| ''F''
+
| W    | W :                    | Operator        |                            |
−
| ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f'',&nbsp;''g''›&nbsp;:&nbsp;''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
−
| Transformation, or Mapping
+
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
−
| ['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>]
+
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^n] -> [B^k])          |
−
|-
+
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
−
| valign="top" |
+
|      | !e!, !h!, E, D, d      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|      |                        |                  |                            |
−
| &nbsp;
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|-
+
|      |                        |                                              |
−
| ''f''
+
| !e!  |                        | Tacit Extension Operator  !e!                |
−
|-
+
| !h!  |                        | Trope Extension Operator  !h!                |
−
| ''g''
+
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
−
|}
+
|  D  |                        | Difference Operator        D                |
−
| valign="top" |
+
|  d  |                        | Differential Operator      d                |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|      |                        |                                              |
−
| ''f'', ''g'' : ''U'' &rarr; '''B'''
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|-
+
|      |                        |                  |                            |
−
| ''f'' : ''U'' &rarr; [''x''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
| $W$  | $W$ :                  | Operator        |                            |
−
|-
+
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
−
| ''g'' : ''U'' &rarr; [''y''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
+
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
−
|}
+
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^n] -> [B^k])          |
−
| valign="top" |
+
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
−
| Proposition
+
|      |                        |                  |                            |
−
|}
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| valign="top" |
+
|      |                        |                                              |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
+
| $e$  |                        | Radius Operator        $e$  =  <!e!, !h!>    |
−
| '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
+
| $E$  |                        | Secant Operator        $E$  =  <!e!,  E >    |
−
|-
+
| $D$  |                        | Chord Operator        $D$  =  <!e!,  D >    |
−
| &isin; ('''B'''<sup>''n''</sup>, '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B''')
+
| $T$  |                        | Tangent Functor        $T$  =  <!e!,  d >    |
−
|-
+
|      |                        |                                              |
−
| = ('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''') = ['''B'''<sup>''n''</sup>]
+
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
−
|}
+
</pre>
−
|-
+
 
−
| valign="top" |
+
<pre>
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
−
| W
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|}
+
|              | Operator            | Proposition        | Transformation      |
−
| valign="top" |
+
|              |    or                |    or              |    or                |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|              | Operand              | Component          | Mapping              |
−
| W&nbsp;:
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
+
| Operand      | F = <F_1, F_2>      | F_i : <|u,v|> -> B | F : [u, v] -> [x, y] |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
+
|              | F = <f, g> : U -> X  | F_i : B^n -> B    | F : B^n -> B^k      |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| &rarr;
+
| Tacit        | !e! :                | !e!F_i :          | !e!F :              |
−
|-
+
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x, y]  |
−
| (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
+
|              | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^n x D^n -> B    | [B^n x D^n]->[B^k]  |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| for each W in the set:
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| {<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>,&nbsp;E,&nbsp;D,&nbsp;d}
+
| Trope        | !h! :                | !h!F_i :          | !h!F :              |
−
|}
+
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
| valign="top" |
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|              |                      |                    |                      |
−
| Operator
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|}
+
|              |                      |                    |                      |
−
| valign="top" |
+
| Enlargement  | E :                  | EF_i :            | EF :                |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
| &nbsp;
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
+
| Difference  | D :                  | DF_i :            | DF :                |
−
|-
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| &rarr;
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
+
| Differential | d :                  | dF_i :            | dF :                |
−
|-
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
| &nbsp;
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| &nbsp;
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|}
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
| Remainder    | r :                  | rF_i :            | rF :                |
−
|
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
| <math>\epsilon</math>
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
| <math>\eta</math>
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$F :              |
−
| E
+
| Operator    |                      |                    |                      |
−
|-
+
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
−
| D
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| d
+
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
−
|}
+
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
−
| valign="top" | &nbsp;
+
|              |                      |                    |                      |
−
| colspan="2"  |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
+
|              |                      |                    |                      |
−
| Tacit Extension Operator || <math>\epsilon</math>
+
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$F :              |
−
|-
+
| Operator    |                      |                    |                      |
−
| Trope Extension Operator || <math>\eta</math>
+
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
−
|-
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
−
| Enlargement Operator    || E
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
−
| Difference Operator      || D
+
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| Differential Operator    || d
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|}
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                    | $D$F :              |
−
| valign="top" |
+
| Operator    |                      |                    |                      |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
−
| <font face=georgia>'''W'''</font>
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
−
|}
+
|              |                      |                    |                      |
−
| valign="top" |
+
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
−
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
+
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
−
| <font face=georgia>'''W'''</font>&nbsp;:
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dF_i :            | $T$F :              |
−
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
+
| Functor      |                      |                    |                      |
−
|-
+
|              | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u, v, du, dv] ->    |
−
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
−
|-
+
|              |                      |                    |                      |
−
| &rarr;
+
|              |                      | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n] ->      |
−
|-
+
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
−
| (<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
+
|              |                      |                    |                      |
−
|-
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
| for each <font face=georgia>'''W'''</font> in the set:
+
</pre>
−
|-
  −
| {<font face=georgia>'''e'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''E'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''D'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>}
  −
|}
  −
| valign="top" |
  −
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
  −
| Operator
  −
|}
  −
| valign="top" |
  −
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
  −
| &nbsp;
  −
|-
  −
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
  −
|-
  −
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
  −
|-
  −
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
  −
|-
  −
| &rarr;
  −
|-
  −
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
|}
  −
|-
  −
|
  −
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
  −
| <font face=georgia>'''e'''</font>
  −
|-
  −
| <font face=georgia>'''E'''</font>
  −
|-
  −
| <font face=georgia>'''D'''</font>
  −
|-
  −
| <font face=georgia>'''T'''</font>
  −
|}
  −
| valign="top" | &nbsp;
  −
| colspan="2"  |
  −
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
  −
| Radius Operator || <font face=georgia>'''e'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>›
  −
|-
  −
| Secant Operator || <font face=georgia>'''E'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;E›
  −
|-
  −
| Chord Operator  || <font face=georgia>'''D'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;D›
  −
|-
  −
| Tangent Functor || <font face=georgia>'''T'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;d›
  −
|}
  −
|}<br>
      
===Transformations of Type '''B'''<sup>2</sup> &rarr; '''B'''<sup>2</sup>===
 
===Transformations of Type '''B'''<sup>2</sup> &rarr; '''B'''<sup>2</sup>===
Jon Awbrey
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