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Directory:Jon Awbrey/Papers/Dynamics And Logic (view source)

Revision as of 01:53, 14 June 2009

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==Note 8==
   −
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+
The next four Tables expand the expressions of <math>\operatorname{E}f</math> and <math>\operatorname{D}f</math> in two different ways, for each of the sixteen functions. Notice that the functions are given in a different order, partitioned into seven natural classes by a group action.
−
The next four Tables expand the expressions of Ef and Df
  −
in two different ways, for each of the sixteen functions.
  −
Notice that the functions are given in a different order,
  −
partitioned into seven natural classes by a group action.
     −
Table 8-a.  Ef Expanded Over Ordinary Features
+
<br>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
|      |    f      |  Ef | pq  | Ef | p(q)  | Ef | (p)q  | Ef | (p)(q)|
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_1  |  (p)(q)  |  dp  dq  |  dp (dq)  |  (dp) dq  |  (dp)(dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_2  |  (p) q    |  dp (dq)  |  dp  dq  |  (dp)(dq)  |  (dp) dq  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_4  |    p (q)  |  (dp) dq  |  (dp)(dq)  |  dp  dq  |  dp (dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_8  |    p  q    |  (dp)(dq)  |  (dp) dq  |  dp (dq)  |  dp  dq  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_3  |  (p)      |  dp      |  dp      |  (dp)      |  (dp)      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_12 |    p      |  (dp)      |  (dp)      |  dp      |  dp      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_6  |  (p, q)  |  (dp, dq)  | ((dp, dq)) | ((dp, dq)) |  (dp, dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_9  |  ((p, q))  | ((dp, dq)) |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  | ((dp, dq)) |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_5  |      (q)  |      dq  |      (dq)  |      dq  |      (dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_10 |      q    |      (dq)  |      dq  |      (dq)  |      dq  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_7  |  (p  q)  | ((dp)(dq)) | ((dp) dq)  |  (dp (dq)) |  (dp  dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_11 |  (p (q))  | ((dp) dq)  | ((dp)(dq)) |  (dp  dq)  |  (dp (dq)) |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_13 |  ((p) q)  |  (dp (dq)) |  (dp  dq)  | ((dp)(dq)) | ((dp) dq)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_14 |  ((p)(q))  |  (dp  dq)  |  (dp (dq)) | ((dp) dq)  | ((dp)(dq)) |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
     −
Table 8-b. Df Expanded Over Ordinary Features
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|      |    f     |  Df | pq  | Df | p(q) | Df | (p)q  | Df | (p)(q)|
+
| width="10%" | &nbsp;
−
|     |           |            |           |           |           |
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| width="18%" |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
−
| f_0  |    ()     |    ()     |    ()     |    ()     |     ()     |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math></p>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| width="18%" |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math></p>
−
| f_1  |  (p)(q)   |  dp  dq  |  dp (dq) |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |
+
| width="18%" |
−
|     |            |            |            |            |            |
+
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
−
| f_2  |  (p) q    |   dp (dq) |  dp  dq  | ((dp)(dq)) | (dp) dq  |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math></p>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| width="18%" |
−
| f_4  |    p (q)   | (dp) dq  | ((dp)(dq)) |   dp  dq  |  dp (dq) |
+
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math></p>
−
| f_8  |    p  q    | ((dp)(dq)) | (dp) dq  |  dp (dq) |  dp  dq  |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>f_0\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>(~)</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_3  |  (p)     |   dp      |  dp      |  dp      |  dp      |
+
| <math>(~)</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_12 |    p       |  dp      |  dp      |  dp      |  dp      |
+
| <math>(~)</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|-
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|
−
|      |            |            |            |            |            |
+
<math>\begin{matrix}
−
| f_6  |  (p, q)   | (dp, dq)  |  (dp, dq) |  (dp, dq) |  (dp, dq)  |
+
f_1
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_9  |  ((p, q)) |  (dp, dq) |  (dp, dq) | (dp, dq) |  (dp, dq) |
+
f_2
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
f_4
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_5  |      (q)   |      dq  |      dq  |      dq  |      dq  |
+
f_8
−
|     |            |           |           |           |           |
+
\end{matrix}</math>
−
| f_10 |       q    |       dq  |       dq  |       dq  |      dq  |
+
|
−
|     |           |           |           |           |           |
+
<math>\begin{matrix}
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
(p)(q)
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_7  |  (p  q)   | ((dp)(dq)) | (dp) dq  |  dp (dq) |  dp  dq  |
+
(p)~q~
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_11 |  (p (q))  | (dp) dq  | ((dp)(dq)) |  dp  dq  |  dp (dq)  |
+
~p~(q)
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_13 |  ((p) q)   |  dp (dq) |  dp  dq  | ((dp)(dq)) | (dp) dq  |
+
~p~~q~
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\end{matrix}</math>
−
| f_14 |  ((p)(q))  |   dp  dq  |  dp (dq) |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |
+
|
−
|     |           |            |            |            |            |
+
<math>\begin{matrix}
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
~p~~q~
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
| f_15 |    (())    |     ()     |    ()     |     ()    |    ()    |
+
~p~(q)
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[4pt]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
(p)~q~
−
</pre>
+
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>4\!</math>
 +
| <math>16\!</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="10%" | &nbsp;
 +
| width="18%" | <math>f\!</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math>
 +
| width="18%" |
 +
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p~~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
    
==Note 9==
 
==Note 9==
Jon Awbrey
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