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Directory:Jon Awbrey/Papers/Differential Logic and Dynamic Systems (view source)

Revision as of 19:12, 24 August 2007

17,412 bytes removed ,  19:12, 24 August 2007
→‎Transformations of Type '''B'''<sup>2</sup> → '''B'''<sup>2</sup>: sub [image stubs/ascii grafix]
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Figure&nbsp;61 shows how one might paint a picture of the logical transformation ''F'' on the canvass that was earlier primed for this purpose (way back in Figure&nbsp;30).
 
Figure&nbsp;61 shows how one might paint a picture of the logical transformation ''F'' on the canvass that was earlier primed for this purpose (way back in Figure&nbsp;30).
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 61 -- Propositional Transformation.gif|center]]</p>
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            | U                                                  |
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<p><center><font size="+1">'''Figure 61.  Propositional Transformation'''</font></center></p>
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            |      |      u      |    |      v      |      |
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| U                      |                          |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
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            | X      \  |                          |  /        |
  −
            |          \|                          |/          |
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            |      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
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            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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Figure 61.  Propositional Transformation
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Figure&nbsp;62 extracts the gist of Figure&nbsp;61, exemplifying a style of diagram that is adequate for most purposes.
 
Figure&nbsp;62 extracts the gist of Figure&nbsp;61, exemplifying a style of diagram that is adequate for most purposes.
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 62 -- Propositional Transformation (Short Form).gif|center]]</p>
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| U                      | |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
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<p><center><font size="+1">'''Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)'''</font></center></p>
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|      o---o  o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
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|    //////\ //////\    | |\\\\\/    \\/    \\\\\\|
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|    ////////o///////\    | |\\\\/      o      \\\\\|
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|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
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|  |// u //|///|// v //|  | |\\|  u  |\\\|  v  |\\|
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|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
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|  \///////\//////////  | |\\\\      \\/      /\\\|
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  \                  /      \                  /
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    \        f        /        \        g        /
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      \            /            \            /
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        \      /                  \      /
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| X        \  /                      \  /          |
  −
|          \ /                        \ /          |
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|          ////////////////o\\\\\\\\\\\\\\\\          |
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|        /////////////////X\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
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|        /////////////////XXX\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
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|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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|      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
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|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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|      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
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|        \///////////////\XXX/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
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|        \///////////////\X/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
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|          \///////////////o\\\\\\\\\\\\\\\/          |
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|          \////////////// \\\\\\\\\\\\\\/          |
  −
|            o-----------o  o-----------o            |
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|                                                    |
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Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)
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Figure&nbsp;63 give a more complete picture of the transformation ''F'', showing how the points of ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> are transformed into points of ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>.  The lines that cross from one universe to the other trace the action that ''F'' induces on points, in other words, they depict the aspect of the transformation that acts as a mapping from points to points, and chart its effects on the elements that are variously called cells, points, positions, or singular propositions.
 
Figure&nbsp;63 give a more complete picture of the transformation ''F'', showing how the points of ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> are transformed into points of ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>.  The lines that cross from one universe to the other trace the action that ''F'' induces on points, in other words, they depict the aspect of the transformation that acts as a mapping from points to points, and chart its effects on the elements that are variously called cells, points, positions, or singular propositions.
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 63 -- Transformation of Positions.gif|center]]</p>
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            |`U` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
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<p><center><font size="+1">'''Figure 63.  Transformation of Positions'''</font></center></p>
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            |` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` ` o-----------o ` o-----------o ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' '\`/' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' o ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' ' '/^\' ' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' /^^^\ ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` `|
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            |` ` ` `o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o' ' ' ' ' ' ' 'o` ` ` `|
  −
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
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            |` ` ` `|' ' ' ' u ' ' '|^^^^^|' ' ' v ' ' ' '|` ` ` `|
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            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
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            |` `@` `o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o' ' ' @ ' ' ' 'o` ` ` `|
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            |` ` \ ` \ ' ' ' | ' ' ' \^|^/ ' ' ' | ' ' ' / ` ` ` `|
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            |` ` `\` `\' ' ' | ' ' ' '\|/' ' ' ' | ' ' '/` ` ` ` `|
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            |` ` ` \ ` \ ' ' | ' ' ' ' | ' ' ' ' | ' ' / ` ` ` ` `|
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            |` ` ` `\` `\' ' | ' ' ' '/|\' ' ' ' | ' '/` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` `\` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` \ ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
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            o-----------\----|---------|---------|----------------o
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            " "           \  |        |        |              " "
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        "      "        \  |        |        |            "      "
  −
      "            "      \ |        |        |        "            "
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  "                  "    \|        |        |      "                  "
  −
o-------------------------o  \        |        |  o-------------------------o
  −
| U                      |  |\        |        |  |`U```````````````````````|
  −
|      o---o  o---o      |  | \      |        |  |``````o---o```o---o``````|
  −
|    /'''''\ /'''''\    |  |  \      |        |  |`````/    \`/    \`````|
  −
|    /'''''''o'''''''\    |  |  \    |        |  |````/      o      \````|
  −
|  /'''''''/'\'''''''\  |  |    \    |        |  |```/      /`\      \```|
  −
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |    \  |        |  |``o      o```o      o``|
  −
|  |'''u'''|'''|'''v'''|  |  |      \  |        |  |``|  u  |```|  v  |``|
  −
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |      \ |        |  |``o      o```o      o``|
  −
|  \'''''''\'/'''''''/  |  |        \|        |  |```\      \`/      /```|
  −
|    \'''''''o'''''''/    |  |        \        |  |````\      o      /````|
  −
|    \'''''/ \'''''/    |  |        |\        |  |`````\    /`\    /`````|
  −
|      o---o  o---o      |  |        | \      |  |``````o---o```o---o``````|
  −
|                        |  |        |  \      *  |`````````````````````````|
  −
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  −
\                        |  |        |    \  /    |                        /
  −
  \      ((u)(v))        |  |        |    \/      |        ((u, v))      /
  −
    \                    |  |        |    /\      |                    /
  −
      \                  |  |        |    /  \    |                  /
  −
        \                |  |        |  /    \    |                /
  −
          \              |  |        |  /      *  |              /
  −
            \            |  |        | /      |  |            /
  −
              \          |  |        |/        |  |          /
  −
                \        |  |        /        |  |        /
  −
                  \      |  |        /|        |  |      /
  −
            o-------\----|---|-------/-|---------|---|----/-------o
  −
            | X      \  |  |      /  |        |  |  /        |
  −
            |          \|  |    /  |        |  |/          |
  −
            |            o---|----/--o | o-------|---o            |
  −
            |          /' ' | ' / ' '\|/` ` ` ` | ` `\          |
  −
            |          / ' ' | '/' ' ' | ` ` ` ` | ` ` \          |
  −
            |        /' ' ' | / ' ' '/|\` ` ` ` | ` ` `\        |
  −
            |        / ' ' ' |/' ' ' /^|^\ ` ` ` | ` ` ` \        |
  −
            |  @  o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o` ` ` @ ` ` ` `o      |
  −
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
  −
            |      |' ' ' ' f ' ' '|^^^^^|` ` ` g ` ` ` `|      |
  −
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
  −
            |      o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o` ` ` ` ` ` ` `o      |
  −
            |        \ ' ' ' ' ' ' ' \^^^/ ` ` ` ` ` ` ` /        |
  −
            |        \' ' ' ' ' ' ' '\^/` ` ` ` ` ` ` `/        |
  −
            |          \ ' ' ' ' ' ' ' o ` ` ` ` ` ` ` /          |
  −
            |          \' ' ' ' ' ' '/ \` ` ` ` ` ` `/          |
  −
            |            o-----------o  o-----------o            |
  −
            |                                                    |
  −
            |                                                    |
  −
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  −
Figure 63.  Transformation of Positions
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Table&nbsp;64 shows how the action of the transformation ''F'' on cells or points is computed in terms of coordinates.
 
Table&nbsp;64 shows how the action of the transformation ''F'' on cells or points is computed in terms of coordinates.
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 69 -- Difference Map (Short Form).gif|center]]</p>
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<p><center><font size="+1">'''Figure 69.  Difference Map of F = ‹f,&nbsp;g› = ‹((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›'''</font></center></p>
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Figure 69.  Difference Map of F = <f, g> = <((u)(v)), ((u, v))>
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Figure&nbsp;70-a shows a graphical way of picturing the tangent functor map d''F''&nbsp;=&nbsp;‹d''f'',&nbsp;d''g''› for the transformation ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f'',&nbsp;''g''›&nbsp;=&nbsp;›((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›.  This amounts to the same information about d''f'' and d''g'' that was given in the computation summary of Tables&nbsp;66-i and 66-ii, the relevant rows of which are repeated here:
 
Figure&nbsp;70-a shows a graphical way of picturing the tangent functor map d''F''&nbsp;=&nbsp;‹d''f'',&nbsp;d''g''› for the transformation ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f'',&nbsp;''g''›&nbsp;=&nbsp;›((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›.  This amounts to the same information about d''f'' and d''g'' that was given in the computation summary of Tables&nbsp;66-i and 66-ii, the relevant rows of which are repeated here:
Jon Awbrey
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