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Revision as of 22:26, 31 May 2009

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====Note 6====
 
====Note 6====
   −
To broaden our experience with simple examples, let us now contemplate the sixteen functions of concrete type <math>X \times Y \to \mathbb{B}</math> and abstract type <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}.</math>  For future reference, I will set here a few Tables that detail the actions of <math>\operatorname{E}</math> and <math>\operatorname{D}</math> and on each of these functions, allowing us to view the results in several different ways.
+
To broaden our experience with simple examples, let us examine the sixteen functions of concrete type <math>X \times Y \to \mathbb{B}</math> and abstract type <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}.</math>  A few Tables are set here that detail the actions of <math>\operatorname{E}</math> and <math>\operatorname{D}</math> and on each of these functions, allowing us to view the results in several different ways.
    
Tables A1 and A2 show two ways of arranging the 16 boolean functions on two variables, giving equivalent expressions for each function in several different systems of notation.
 
Tables A1 and A2 show two ways of arranging the 16 boolean functions on two variables, giving equivalent expressions for each function in several different systems of notation.
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<br>
 
<br>
   −
{| align="center" cellpadding="6" width="90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
−
| align="center" |
+
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
−
<pre>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
Table A6. Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
| width="10%" | &nbsp;
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
−
|     |     f     |  Df | xy  | Df | x(y) | Df | (x)y | Df | (x)(y)|
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{x(y)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)y}</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)(y)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|-
−
| f_0  |    ()     |     ()     |     ()     |     ()     |     ()     |
+
| <math>f_0\!</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>(~)</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>(~)</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_1 |   (x)(y)   |  dx  dy  |  dx (dy) |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
| <math>(~)</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>(~)</math>
−
| f_2  |  (x) y   |   dx (dy) |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|
−
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy) |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      |            |            |            |            |            |
+
f_1
−
| f_8  |    x  y    | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy) |  dx  dy  |
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
f_2
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
f_4
−
| f_3 |   (x)     |   dx      |   dx      |   dx      |  dx      |
+
\\[4pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
f_8
−
| f_12 |    x       |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
+
\end{matrix}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
<math>\begin{matrix}
−
|     |            |            |            |            |            |
+
(x)(y)
−
| f_6 |   (x, y)   |  (dx, dy) | (dx, dy) |  (dx, dy) | (dx, dy) |
+
\\[4pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
(x)~y~
−
| f_9  |  ((x, y))  | (dx, dy) |  (dx, dy) | (dx, dy) |  (dx, dy) |
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~x~(y)
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~x~~y~
−
| f_5 |     (y)   |       dy  |       dy  |       dy  |      dy  |
+
\end{matrix}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|
−
| f_10 |      y   |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
| f_7 |   (x y)   | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy) |  dx  dy  |
+
\\[4pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
−
| f_11 |  (x (y)) | (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy) |
+
\\[4pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
| f_13 |  ((x) y)  |   dx (dy) |  dx  dy  | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |
+
\end{matrix}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|
−
| f_14 |  ((x)(y)) |   dx  dy  |  dx (dy) |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
<math>\begin{matrix}
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[4pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
−
| f_15 |    (())   |     ()     |     ()     |     ()     |     ()     |
+
\\[4pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 
|}
 
|}
   −
If the medium truly is the message, the blank slate is the innate idea.
+
<br>
 +
 
 +
If the medium truly is the message, then the blank slate is the innate idea.
    
====Note 7====
 
====Note 7====
Jon Awbrey
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