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Revision as of 23:02, 9 December 2008

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====Tables====
 
====Tables====
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The auxiliary notations:
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: <math>\alpha_i f = \Upsilon (f_i, f),\!</math>
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: <math>\beta_i f = \Upsilon (f, f_i),\!</math>
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 +
define two series of measures:
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: <math>\alpha_i, \beta_i : (\mathbb{B}^2 \to \mathbb{B}) \to \mathbb{B},</math>
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incidentally providing compact names for the column headings of the next two Tables.
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{| align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
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|+ '''Table 1.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\alpha_i f = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)</math>'''
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|- style="background:ghostwhite"
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| align="right" | <math>p:</math><br><math>q:</math>
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| 1100<br>1010
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| <math>f\!</math>
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| <math>\alpha_{15}</math>
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| <math>\alpha_{14}</math>
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| <math>\alpha_{13}</math>
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| <math>\alpha_{12}</math>
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| <math>\alpha_{11}</math>
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| <math>\alpha_{10}</math>
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| <math>\alpha_9</math>
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| <math>\alpha_8</math>
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| <math>\alpha_7</math>
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| <math>\alpha_6</math>
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| <math>\alpha_5</math>
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| <math>\alpha_4</math>
 +
| <math>\alpha_3</math>
 +
| <math>\alpha_2</math>
 +
| <math>\alpha_1</math>
 +
| <math>\alpha_0</math>
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|-
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| <math>f_0</math> || 0000 || <math>(~)</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_1</math> || 0001 || <math>(p)(q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|-
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| <math>f_2</math> || 0010 || <math>(p) q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_3</math> || 0011 || <math>(p)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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|-
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| <math>f_4</math> || 0100 || <math>p (q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_5</math> || 0101 || <math>(q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|-
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| <math>f_6</math> || 0110 || <math>(p, q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_7</math> || 0111 || <math>(p q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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|-
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| <math>f_8</math> || 1000 || <math>p q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_9</math> || 1001 || <math>((p, q))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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| <math>f_{10}</math> || 1010 || <math>q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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| <math>f_{11}</math> || 1011 || <math>(p (q))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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| <math>f_{12}</math> || 1100 || <math>p\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_{13}</math> || 1101 || <math>((p) q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|-
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| <math>f_{14}</math> || 1110 || <math>((p)(q))\!</math>
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_{15}</math> || 1111 || <math>((~))</math>
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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|}<br>
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{| align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
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|+ '''Table 2.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\beta_i f = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)</math>'''
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|- style="background:ghostwhite"
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| align="right" | <math>p:</math><br><math>q:</math>
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| 1100<br>1010
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| <math>f\!</math>
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| <math>\beta_0</math>
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| <math>\beta_1</math>
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| <math>\beta_2</math>
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| <math>\beta_3</math>
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| <math>\beta_4</math>
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| <math>\beta_5</math>
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| <math>\beta_6</math>
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| <math>\beta_7</math>
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| <math>\beta_8</math>
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| <math>\beta_9</math>
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| <math>\beta_{10}</math>
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| <math>\beta_{13}</math>
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| <math>\beta_{14}</math>
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| <math>\beta_{15}</math>
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|-
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| <math>f_0</math> || 0000 || <math>(~)</math>
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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|-
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| <math>f_1</math> || 0001 || <math>(p)(q)\!</math>
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|-
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| <math>f_2</math> || 0010 || <math>(p) q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|-
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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|-
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| <math>f_5</math> || 0101 || <math>(q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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| <math>f_6</math> || 0110 || <math>(p, q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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|-
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| <math>f_7</math> || 0111 || <math>(p q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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| <math>f_8</math> || 1000 || <math>p q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
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|-
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| <math>f_9</math> || 1001 || <math>((p, q))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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| <math>f_{10}</math> || 1010 || <math>q\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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| <math>f_{11}</math> || 1011 || <math>(p (q))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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| <math>f_{12}</math> || 1100 || <math>p\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
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| <math>f_{13}</math> || 1101 || <math>((p) q)\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
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|-
 +
| <math>f_{14}</math> || 1110 || <math>((p)(y))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
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| <math>f_{15}</math> || 1111 || <math>((~))\!</math>
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
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|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
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|}<br>
    
{| align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
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|+ '''Table 1.  Simple Qualifiers of Propositions (''n'' = 2)'''
+
|+ '''Table 3.  Simple Qualifiers of Propositions (''n'' = 2)'''
 
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| align="right" | <math>p:</math><br><math>q:</math>
 
| align="right" | <math>p:</math><br><math>q:</math>
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|+ '''Table 2.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
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|+ '''Table 4.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
 
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| <math>\text{Mnemonic}</math>
 
| <math>\text{Mnemonic}</math>
Jon Awbrey
12,080

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