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|}
−<br>
−==Detail of Calculation for the Difference Map==
−{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−|+ '''Detail of Calculation for <math>\operatorname{D}f = \operatorname{E}f + f</math>'''
−|- style="background:ghostwhite; height:60px"
−|
−|
−<math>\begin{array}{cr}
− & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−+ & f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−\end{array}</math>
−|
−<math>\begin{array}{cr}
− & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
−+ & f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
−= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
−\end{array}</math>
−|
−<math>\begin{array}{cr}
− & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
−+ & f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
−= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
−\end{array}</math>
−|
−<math>\begin{array}{cr}
− & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
−+ & f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
−= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
−\end{array}</math>
−|- style="height:40px"
−| <math>f_{0}\!</math>
−| <math>0 + 0 = 0\!</math>
−| <math>0 + 0 = 0\!</math>
−| <math>0 + 0 = 0\!</math>
−| <math>0 + 0 = 0\!</math>
−|-
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" | <math>f_{1}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{2}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{4}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{8}\!</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & (x, & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & x & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & (x, & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & x & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x) & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & x & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & x & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x)\ y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x)\ y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x\ y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x\ y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" | <math>f_{3}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{12}\!</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & 1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & x & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & 1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & 1 & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & 1 & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & 0 & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & 0 & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & x & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & x & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" | <math>f_{6}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{9}\!</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x , y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x , y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & 0 & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & 0 & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x , y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & 1 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x , y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & 1 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x , y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & 1 & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x , y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & 1 & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" | <math>f_{5}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{10}\!</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & & 1 & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & & 1 & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & 0 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & 0 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & & 1 & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & & 1 & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & & y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & & y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" | <math>f_{7}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{11}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{13}\!</math>
−|-
−| height="60px" | <math>f_{14}\!</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & (x & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & (x, & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x) & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & (x, & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x) & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−= & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x & y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x & y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & (x & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x) & y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) & y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−+ & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−= & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|-
−| height="60px" |
−<math>\begin{smallmatrix}
− & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−+ & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−= & 0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|- style="height:40px"
−| <math>f_{15}\!</math>
−| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−|}
−<br>
−==Differential Forms==
−===Expanded on a Logical Basis===
−{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−|+ '''Differential Forms Expanded on a Logical Basis'''
−|- style="background:ghostwhite; height:36px"
−|
−| <math>f\!</math>
−| <math>\operatorname{D}f</math>
−| <math>\operatorname{d}f</math>
−|- style="height:36px"
−| <math>f_{0}\!</math>
−| <math>(~)\!</math>
−| <math>0\!</math>
−| <math>0\!</math>
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{1} \\
−f_{2} \\
−f_{4} \\
−f_{8} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(x) & (y) \\
−(x) & y \\
− x & (y) \\
− x & y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− (x) & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−((x, y)) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− (x) & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− (x, y) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− x & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− (x, y) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− x & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−((x, y)) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
− y & \partial x & + & (x) & \partial y \\
−(y) & \partial x & + & x & \partial y \\
− y & \partial x & + & x & \partial y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{3} \\
−f_{12} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(x) \\
− x \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\partial x \\
−\partial x \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{6} \\
−f_{9} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− (x, & y) \\
−((x, & y)) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
− \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\partial x & + & \partial y \\
−\partial x & + & \partial y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{5} \\
−f_{10} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(y) \\
− y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\partial y \\
−\partial y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{7} \\
−f_{11} \\
−f_{13} \\
−f_{14} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− (x & y) \\
− (x & (y)) \\
−((x) & y) \\
−((x) & (y)) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− y & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− x & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−((x, y)) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− x & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− (x, y) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− (x) & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
− (x, y) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
− (x) & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−((x, y)) & \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− y & \partial x & + & x & \partial y \\
−(y) & \partial x & + & x & \partial y \\
− y & \partial x & + & (x) & \partial y \\
−(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|- style="height:36px"
−| <math>f_{15}\!</math>
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−| <math>0\!</math>
−| <math>0\!</math>
−|}
−<br>
−===Expanded on an Algebraic Basis===
−{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−|+ '''Differential Forms Expanded on an Algebraic Basis'''
−|- style="background:ghostwhite; height:36px"
−|
−| <math>f\!</math>
−| <math>\operatorname{D}f</math>
−| <math>\operatorname{d}f</math>
−|- style="height:36px"
−| <math>f_{0}\!</math>
−| <math>(~)\!</math>
−| <math>0\!</math>
−| <math>0\!</math>
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{1} \\
−f_{2} \\
−f_{4} \\
−f_{8} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(x) & (y) \\
−(x) & y \\
− x & (y) \\
− x & y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(y) & \operatorname{d}x & + &
−(x) & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + &
−(x) & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + &
− x & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + &
− x & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(y) & \operatorname{d}x & + & (x) & \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + & (x) & \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + & x & \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + & x & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{3} \\
−f_{12} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(x) \\
− x \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}x \\
−\operatorname{d}x \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}x \\
−\operatorname{d}x \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{6} \\
−f_{9} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− (x, & y) \\
−((x, & y)) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}x & + & \operatorname{d}y \\
−\operatorname{d}x & + & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}x & + & \operatorname{d}y \\
−\operatorname{d}x & + & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{5} \\
−f_{10} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−(y) \\
− y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}y \\
−\operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−\operatorname{d}y \\
−\operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|-
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
−f_{7} \\
−f_{11} \\
−f_{13} \\
−f_{14} \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− (x & y) \\
− (x & (y)) \\
−((x) & y) \\
−((x) & (y)) \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− y & \operatorname{d}x & + &
− x & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + &
− x & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + &
−(x) & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + &
−(x) & \operatorname{d}y & + &
− \operatorname{d}x\ \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|
−{| align="center"
−|
−<math>\begin{smallmatrix}
− y & \operatorname{d}x & + & x & \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + & x & \operatorname{d}y \\
− y & \operatorname{d}x & + & (x) & \operatorname{d}y \\
−(y) & \operatorname{d}x & + & (x) & \operatorname{d}y \\
−\end{smallmatrix}</math>
−|}
−|- style="height:36px"
−| <math>f_{15}\!</math>
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−| <math>0\!</math>
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