Changes

MyWikiBiz, Author Your Legacy — Friday November 22, 2024
Jump to navigationJump to search

Directory:Jon Awbrey/Papers/Differential Logic and Dynamic Systems (view source)

Revision as of 17:27, 30 May 2007

509 bytes added ,  17:27, 30 May 2007
wiki table
Line 3,040: Line 3,040:  
Table 27 summarizes the thematic extensions of all propositions on two variables.  Column 4 lists the equations of form ((&nbsp;''f''<sup>&nbsp;¢</sup>&nbsp;,&nbsp;''f''<sup>&nbsp;¢</sup>‹''u'',&nbsp;''v''›&nbsp;)) and Column 5 simplifies these equations into the form of algebraic expressions.  (As always, "+" refers to exclusive disjunction, and "''f''&nbsp;" should be read as "''f''<sub>''i''</sub><sup>¢</sup>" in the body of the Table.)
 
Table 27 summarizes the thematic extensions of all propositions on two variables.  Column 4 lists the equations of form ((&nbsp;''f''<sup>&nbsp;¢</sup>&nbsp;,&nbsp;''f''<sup>&nbsp;¢</sup>‹''u'',&nbsp;''v''›&nbsp;)) and Column 5 simplifies these equations into the form of algebraic expressions.  (As always, "+" refers to exclusive disjunction, and "''f''&nbsp;" should be read as "''f''<sub>''i''</sub><sup>¢</sup>" in the body of the Table.)
   −
<pre>
+
<br><font face="courier new">
−
Table 27.  Thematization of Bivariate Propositions
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
|+ Table 27.  Thematization of Bivariate Propositions
−
|       u : 1 1 0 0 |   f     |     theta (f)      |     theta (f)      |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|       v : 1 0 1 0 |         |                   |                   |
+
|
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
{| align="right" style="background:paleturquoise; text-align:right"
−
|         |         |         |                   |                   |
+
| u :
−
| f_0    | 0 0 0 0 |   ()    | (( f ,    ()    )) | f              + 1 |
+
|-
−
|         |         |         |                   |                   |
+
| v :
−
| f_1    | 0 0 0 1 | (u)(v) | (( f ,  (u)(v)  )) | f + u + v + uv    |
+
|}
−
|         |         |         |                   |                   |
+
|
−
| f_2    | 0 0 1 0 | (u) v  | (( f , (u) v   )) | f    + v + uv + 1 |
+
{| style="background:paleturquoise"
−
|         |        |          |                    |                    |
+
| 1 1 0 0
−
| f_3    | 0 0 1 1 |  (u)     | (( f , (u)     )) | f + u              |
+
|-
−
|         |        |          |                    |                    |
+
| 1 0 1 0
−
| f_4    | 0 1 0 0 |  u (v)  | (( f ,   u (v) )) | f + u    + uv + 1 |
+
|}
−
|         |        |          |                    |                    |
+
|
−
| f_5    | 0 1 0 1 |    (v)  | (( f ,     (v) )) | f    + v          |
+
{| style="background:paleturquoise"
−
|         |        |          |                    |                    |
+
| f
−
| f_6    | 0 1 1 0 |  (u, v) | (( f , (u, v) )) | f + u + v     + 1 |
+
|-
−
|         |         |         |                   |                   |
+
| &nbsp;
−
| f_7    | 0 1 1 1 | (u v)  | (( f ,  (u  v)  )) | f         + uv     |
+
|}
−
|         |         |         |                   |                   |
+
|
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
{| style="background:paleturquoise"
−
|         |         |         |                   |                   |
+
| &theta;f
−
| f_8    | 1 0 0 0 |   u  v  | (( f ,  u  v  )) | f        + uv + 1 |
+
|-
−
|         |         |         |                   |                   |
+
| &nbsp;
−
| f_9    | 1 0 0 1 | ((u, v)) | (( f , ((u, v)) )) | f + u + v         |
+
|}
−
|         |         |         |                   |                   |
+
|
−
| f_10    | 1 0 1 0 |      v  | (( f ,      v   )) | f    + v      + 1 |
+
{| style="background:paleturquoise"
−
|         |         |          |                    |                    |
+
| &theta;f
−
| f_11    | 1 0 1 1 |  (u (v)) | (( f , (u (v)) )) | f + u    + uv    |
+
|-
−
|         |        |          |                    |                    |
+
| &nbsp;
−
| f_12    | 1 1 0 0 |  u      | (( f ,   u     )) | f + u          + 1 |
+
|}
−
|         |        |          |                    |                    |
+
|-
−
| f_13    | 1 1 0 1 | ((u) v) | (( f , ((u) v) )) | f    + v + uv    |
+
|
−
|         |        |          |                    |                    |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| f_14    | 1 1 1 0 | ((u)(v)) | (( f , ((u)(v)) )) | f + u + v + uv + 1 |
+
| f<sub>0</sub>
−
|         |         |         |                   |                   |
+
|-
−
| f_15    | 1 1 1 1 |   (())  | (( f ,  (())  )) | f                 |
+
| f<sub>1</sub>
−
|         |         |          |                    |                    |
+
|-
−
o---------o---------o----------o--------------------o--------------------o
+
| f<sub>2</sub>
−
</pre>
+
|-
−
 
+
| f<sub>3</sub>
−
In order to show what all of the thematic extensions from two dimensions to three dimensions look like in terms of coordinates, Tables&nbsp;28 and 29 present ordinary truth tables for the functions ''f''<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;'''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B''' and for the corresponding thematizations &theta;''f''<sub>''i''</sub>&nbsp;=&nbsp;&phi;<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;'''B'''<sup>3</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''.
+
|-
−
 
+
| f<sub>4</sub>
−
<pre>
+
|-
−
Table 28.  Propositions on Two Variables
+
| f<sub>5</sub>
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
|-
−
| u  v |    | f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  |
+
| f<sub>6</sub>
−
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
+
|-
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
| f<sub>7</sub>
−
|      |    |                                                                |
+
|}
−
| 0  0 |    | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
+
|
−
|      |    |                                                                |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| 0  1 |    | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
+
| 0 0 0 0
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  0 |    | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
+
| 0 0 0 1
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  1 |    | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
+
| 0 0 1 0
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
| 0 0 1 1
−
</pre>
+
|-
−
 
+
| 0 1 0 0
−
<pre>
+
|-
−
Table 29.  Thematic Extensions of Bivariate Propositions
+
| 0 1 0 1
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
|-
−
| u  v | f^¢ |!f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! |
+
| 0 1 1 0
−
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
+
|-
−
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
+
| 0 1 1 1
−
|      |    |                                                                |
+
|}
−
| 0  0  |  0  | 1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  |
+
|
−
|      |    |                                                                |
+
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
−
| 0  0  |  1  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
+
| ()
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 0  1  |  0  | 1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  |
+
| &nbsp;(u)(v)&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 0  1  |  1  | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
+
| &nbsp;(u)&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  0  |  0  | 1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  |
+
| &nbsp;(u)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  0  |  1  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
+
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;(v)&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  1  |  0  | 1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  |
+
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(v)&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
−
| 1  1  |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
+
| &nbsp;(u,&nbsp;v)&nbsp;
−
|      |    |                                                                |
+
|-
 +
| &nbsp;(u&nbsp;&nbsp;v)&nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;()&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u)(v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u)&nbsp;v&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;u&nbsp;(v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u,&nbsp;v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u&nbsp;&nbsp;v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" cellpadding="2" style="background:lightcyan; text-align:left"
 +
| &nbsp; f + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + v + uv
 +
|-
 +
| &nbsp; f + v + uv + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + uv + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + v
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + v + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + uv
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| f<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| 1 0 0 0
 +
|-
 +
| 1 0 0 1
 +
|-
 +
| 1 0 1 0
 +
|-
 +
| 1 0 1 1
 +
|-
 +
| 1 1 0 0
 +
|-
 +
| 1 1 0 1
 +
|-
 +
| 1 1 1 0
 +
|-
 +
| 1 1 1 1
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| ((u,&nbsp;v))
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(u&nbsp;(v))
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| ((u)&nbsp;v)&nbsp;
 +
|-
 +
| ((u)(v))
 +
|-
 +
| (())
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;((u,&nbsp;v))&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;v&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;(u&nbsp;(v))&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;u&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;((u)&nbsp;v)&nbsp;&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;((u)(v))&nbsp;))
 +
|-
 +
| ((&nbsp;f&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;(())&nbsp;&nbsp;&nbsp;))
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" cellpadding="2" style="background:lightcyan; text-align:left"
 +
| &nbsp; f + uv + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + v
 +
|-
 +
| &nbsp; f + v + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + uv
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f + v + uv
 +
|-
 +
| &nbsp; f + u + v + uv + 1
 +
|-
 +
| &nbsp; f
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
In order to show what all of the thematic extensions from two dimensions to three dimensions look like in terms of coordinates, Tables&nbsp;28 and 29 present ordinary truth tables for the functions ''f''<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;'''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B''' and for the corresponding thematizations &theta;''f''<sub>''i''</sub>&nbsp;=&nbsp;&phi;<sub>''i''</sub>&nbsp;:&nbsp;'''B'''<sup>3</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''.
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 28.  Propositions on Two Variables
 +
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 +
| u  v |    | f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  f  |
 +
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
 +
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  0 |    | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  1 |    | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  0 |    | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  1 |    | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 29.  Thematic Extensions of Bivariate Propositions
 +
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 +
| u  v | f^¢ |!f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! !f! |
 +
|      |    | 00  01  02  03  04  05  06  07  08  09  10  11  12  13  14  15 |
 +
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  0  |  0  | 1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  0  |  1  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  1  |  0  | 1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 0  1  |  1  | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  0  |  0  | 1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  0  |  1  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  1  |  0  | 1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  0  |
 +
|      |    |                                                                |
 +
| 1  1  |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1  |
 +
|      |    |                                                                |
 
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 
o-------o-----o----------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
Line 7,749: Line 7,924:  
</pre>
 
</pre>
   −
<sharethis />
+
{{aficionados}}<sharethis />
 +
 
 
<!--semantic tags-->
 
<!--semantic tags-->
−
[[Author:=Jon Awbrey| ]]
+
[[Author:=Jon Awbrey|&nbsp;]]
−
[[Paper Name:=Differential Logic and Dynamic Systems| ]]
+
[[Paper Name:=Differential Logic and Dynamic Systems|&nbsp;]]
−
[[Paper Of::Directory:Jon Awbrey| ]]
+
[[Paper Of::Directory:Jon Awbrey|&nbsp;]]
Jon Awbrey
12,080

edits

Retrieved from "https://mywikibiz.com/Special:MobileDiff/19131"

Navigation menu