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Directory:Jon Awbrey/Papers/Propositional Equation Reasoning Systems (view source)

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It remains to show that the right hand side of the equation <math>\texttt{(} p \texttt{(} q \texttt{))(} p \texttt{(} r \texttt{))} = \texttt{(} p \texttt{(} q r \texttt{))}</math> is logically equivalent to the DNF just obtained.  The needed chain of equations is as follows:  
 
It remains to show that the right hand side of the equation <math>\texttt{(} p \texttt{(} q \texttt{))(} p \texttt{(} r \texttt{))} = \texttt{(} p \texttt{(} q r \texttt{))}</math> is logically equivalent to the DNF just obtained.  The needed chain of equations is as follows:  
   −
{| align="center" cellpadding="8" style="text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" cellpadding="8"
 
|
 
|
−
<pre>
+
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center"
−
o-----------------------------------------------------------o
+
|-
−
| Equation E_1.  Proof 2, 2nd Half.                        |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-0.jpg|500px]]
−
o-----------------------------------------------------------o
+
|-
−
|                                                          |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-1.jpg|500px]]
−
|                  q r                                      |
+
|-
−
|                  o                                      |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cast P.jpg|500px]]
−
|                   |                                      |
+
|-
−
|                p o                                      |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-2.jpg|500px]]
−
|                  |                                      |
+
|-
−
|                  @                                      |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Domination.jpg|500px]]
−
|                                                          |
+
|-
−
o=============================< CAST "p" >==================o
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-3.jpg|500px]]
−
|                                                          |
+
|-
−
|              q r      q r                                |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cancellation.jpg|500px]]
−
|              o    o o                                  |
+
|-
−
|              |      \|                                  |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-4.jpg|500px]]
−
|              o      o                                  |
+
|-
−
|              |      |                                  |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cast Q.jpg|500px]]
−
|            p o-------o---o p                            |
+
|-
−
|               \    /                                    |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-5.jpg|500px]]
−
|                 \  /                                    |
+
|-
−
|                 \ /                                      |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Domination.jpg|500px]]
−
|                   @                                      |
+
|-
−
|                                                          |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-6.jpg|500px]]
−
o=============================< Domination >================o
+
|-
−
|                                                          |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cancellation.jpg|500px]]
−
|             q r                                          |
+
|-
−
|              o    o                                    |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-7.jpg|500px]]
−
|               |      \                                    |
+
|-
−
|              o      o                                  |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cast R.jpg|500px]]
−
|              |      |                                  |
+
|-
−
|            p o-------o---o p                            |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-8.jpg|500px]]
−
|               \    /                                    |
+
|-
−
|                 \  /                                    |
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- Cancellation.jpg|500px]]
−
|                  \ /                                      |
+
|-
−
|                  @                                      |
+
| [[Image:Proof (P (Q)) (P (R)) = (P (Q R)) 2-2-9.jpg|500px]]
−
|                                                          |
+
|-
−
o=============================< Cancellation >==============o
+
| [[Image:Equational Inference Bar -- DNF.jpg|500px]]
−
|                                                          |
+
|}
−
|             q r                                          |
  −
|               o                                          |
  −
|              |                                          |
  −
|              o                                          |
  −
|              |                                          |
  −
|            p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                 \  /                                    |
  −
|                  \ /                                      |
  −
|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< CAST "q" >==================o
  −
|                                                          |
  −
|                  o                                      |
  −
|                  |                                      |
  −
|          o r    o r                                    |
  −
|          |      |                                      |
  −
|          o      o                                      |
  −
|          |      |                                      |
  −
|        q o-------o---o q                                |
  −
|           \    /                                        |
  −
|            \  /                                        |
  −
|              \ /                                          |
  −
|             p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                 \  /                                    |
  −
|                  \ /                                      |
  −
|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< Domination >================o
  −
|                                                          |
  −
|                  o                                      |
  −
|                  |                                      |
  −
|          o r    o                                      |
  −
|          |      |                                      |
  −
|          o      o                                      |
  −
|          |      |                                      |
  −
|        q o-------o---o q                                |
  −
|           \    /                                        |
  −
|             \  /                                        |
  −
|              \ /                                          |
  −
|            p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                 \  /                                    |
  −
|                  \ /                                      |
  −
|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< Cancellation >==============o
  −
|                                                          |
  −
|          o r                                            |
  −
|          |                                              |
  −
|          o      o                                      |
  −
|          |      |                                      |
  −
|        q o-------o---o q                                |
  −
|           \    /                                        |
  −
|            \  /                                        |
  −
|              \ /                                          |
  −
|             p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                 \  /                                    |
  −
|                  \ /                                      |
  −
|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< CAST "r" >==================o
  −
|                                                          |
  −
|               o                                          |
  −
|              |                                          |
  −
|      o      o                                          |
  −
|      |      |                                          |
  −
|      o      o                                          |
  −
|      |      |                                          |
  −
|     r o-------o---o r                                    |
  −
|       \    /                                            |
  −
|         \  /    o                                      |
  −
|          \ /      |                                      |
  −
|        q o-------o---o q                                |
  −
|           \    /                                        |
  −
|             \  /                                        |
  −
|              \ /                                          |
  −
|            p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                 \  /                                    |
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|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< Cancellation >==============o
  −
|                                                          |
  −
|               o                                          |
  −
|              |                                          |
  −
|     r o-------o---o r                                    |
  −
|       \    /                                            |
  −
|         \  /    o                                      |
  −
|          \ /      |                                      |
  −
|        q o-------o---o q                                |
  −
|           \    /                                        |
  −
|             \  /                                        |
  −
|              \ /                                          |
  −
|            p o-------o---o p                            |
  −
|               \    /                                    |
  −
|                \  /                                    |
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|                  \ /                                      |
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|                  @                                      |
  −
|                                                          |
  −
o=============================< DNF >=======================o
  −
</pre>
   
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|}
 
|}
Jon Awbrey
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