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Directory talk:Jon Awbrey/Papers/Differential Logic : Introduction (view source)

Revision as of 21:08, 29 June 2009

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==Place for Discussion==
 
==Place for Discussion==
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…
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==Work Area==
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<pre>
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
TOP.  Expository Note 13
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
3.3.  Logical Cacti
 +
 +
Up till now we've been working to hammer out a two-edged sword of syntax,
 +
honing the syntax of "painted and rooted cacti and expressions" (PARCAE),
 +
and turning it to use in taming the syntax of two-level formal languages.
 +
 +
But the purpose of a logical syntax is to support a logical semantics,
 +
which means, for starters, to bear interpretation as sentential signs
 +
that can denote objective propositions about some universe of objects.
 +
 +
One of the difficulties that we face in this discussion is that the
 +
words "interpretation", "meaning", "semantics", and so on will have
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so many different meanings from one moment to the next of their use.
 +
A dedicated neologician might be able to think up distinctive names
 +
for all of the aspects of meaning and all of the approaches to them
 +
that will concern us here, but I will just have to do the best that
 +
I can with the common lot of ambiguous terms, leaving it to context
 +
and the intelligent interpreter to sort it out as much as possible.
 +
 +
As it happens, the language of cacti is so abstract that it can bear
 +
at least two different interpretations as logical sentences denoting
 +
logical propositions.  The two interpretations that I know about are
 +
descended from the ones that C.S. Peirce called the "entitative" and
 +
the "existential" interpretations of his systems of graphical logics.
 +
For our present aims, I shall briefly introduce the alternatives and
 +
then quickly move to the existential interpretation of logical cacti.
 +
 +
Table 13 illustrates the "existential interpretation"
 +
of cactus graphs and cactus expressions by providing
 +
English translations for a few of the most basic and
 +
commonly occurring forms.
 +
 +
Table 13.  The Existential Interpretation
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
| Ex |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
 +
|    |                  |                  |  Interpretation  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|  1 |        @        |        " "        |      true.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  2 |        @        |        ( )        |      untrue.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        a        |                  |                  |
 +
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        a        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a b c      |                  |                  |
 +
|  5 |        @        |      a b c      |  a and b and c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a b c      |                  |                  |
 +
|    |      o o o      |                  |                  |
 +
|    |        \|/        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |                  |                  |    a implies b.  |
 +
|    |        a  b    |                  |                  |
 +
|    |        o---o    |                  |    if a then b.  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  7 |        @        |    ( a (b))      |    no a sans b.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b      |                  |                  |
 +
|    |      o---o      |                  | a exclusive-or b. |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a not equal to b. |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b      |                  |                  |
 +
|    |      o---o      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  | a if & only if b. |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a equates with b. |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |  just one false  |
 +
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  |  out of a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o  o  o      |                  |                  |
 +
|    |      |  |  |      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |  just one true  |
 +
| 11 |        @        |  ((a),(b),(c))  |  among a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |                  |                  |  genus a over    |
 +
|    |        b  c      |                  |  species b, c.  |
 +
|    |        o  o      |                  |                  |
 +
|    |      a  |  |      |                  |  partition a    |
 +
|    |      o--o--o      |                  |  among b & c.    |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |  whole pie a:    |
 +
| 12 |        @        |  ( a ,(b),(c))  |  slices b, c.    |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
 +
Table 14 illustrates the "entitative interpretation"
 +
of cactus graphs and cactus expressions by providing
 +
English translations for a few of the most basic and
 +
commonly occurring forms.
 +
 +
Table 14.  The Entitative Interpretation
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
| En |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative    |
 +
|    |                  |                  |  Interpretation  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|  1 |        @        |        " "        |      untrue.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  2 |        @        |        ( )        |      true.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        a        |                  |                  |
 +
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        a        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a b c      |                  |                  |
 +
|  5 |        @        |      a b c      |    a or b or c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a b c      |                  |                  |
 +
|    |      o o o      |                  |                  |
 +
|    |        \|/        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |  a and b and c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |                  |                  |    a implies b.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |        o a      |                  |    if a then b.  |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  7 |        @ b      |      (a) b        |    not a, or b.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b      |                  |                  |
 +
|    |      o---o      |                  | a if & only if b. |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a equates with b. |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b      |                  |                  |
 +
|    |      o---o      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  | a exclusive-or b. |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  | not just one true |
 +
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  | out of a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |  just one true  |
 +
| 11 |        @        |  (( a , b , c ))  |  among a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a            |                  |                  |
 +
|    |      o            |                  |  genus a over    |
 +
|    |      |  b  c      |                  |  species b, c.  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |  partition a    |
 +
|    |        \ /        |                  |  among b & c.    |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |  whole pie a:    |
 +
| 12 |        @        |  (((a), b , c ))  |  slices b, c.    |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
TOP.  Expository Note 14
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
3.3.  Logical Cacti (cont.)
 +
 +
For the time being, the main things to take away from Tables 13 and 14 are
 +
the ideas that the compositional structure of cactus graphs and expressions
 +
can be articulated in terms of two different kinds of connective operations,
 +
and that there are two distinct ways of mapping this compositional structure
 +
into the compositional structure of propositional sentences, say, in English:
 +
 +
1.  The "node connective" joins a number of
 +
    component cacti C_1, ..., C_k at a node:
 +
 +
    C_1 ... C_k
 +
        @
 +
 +
2.  The "lobe connective" joins a number of
 +
    component cacti C_1, ..., C_k to a lobe:
 +
 +
    C_1 C_2  C_k
 +
    o---o-...-o
 +
      \      /
 +
      \    /
 +
        \  /
 +
        \ /
 +
          @
 +
 +
Table 15 summarizes the existential and entitative
 +
interpretations of the primitive cactus structures,
 +
in effect, the graphical constants and connectives.
 +
 +
Table 15.  Existential & Entitative Interpretations of Cactus Structures
 +
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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|  Cactus Graph  |  Cactus String  |  Existential    |  Entitative    |
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|                |                | Interpretation  | Interpretation  |
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o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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|                |                |                |                |
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|        @        |      " "      |      true      |      false      |
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|                |                |                |                |
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o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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|                |                |                |                |
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|        o        |                |                |                |
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|        |        |                |                |                |
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|        @        |      ( )      |      false      |      true      |
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|                |                |                |                |
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o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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|                |                |                |                |
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|  C_1 ... C_k  |                |                |                |
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|        @        |  C_1 ... C_k  | C_1 & ... & C_k | C_1 v ... v C_k |
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|                |                |                |                |
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o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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|                |                |                |                |
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|  C_1 C_2  C_k  |                |  Just one      |  Not just one  |
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|  o---o-...-o  |                |                |                |
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|    \      /    |                |  of the C_j,    |  of the C_j,    |
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|    \    /    |                |                |                |
 +
|      \  /      |                |  j = 1 to k,    |  j = 1 to k,    |
 +
|      \ /      |                |                |                |
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|        @        | (C_1, ..., C_k) |  is not true.  |  is true.      |
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|                |                |                |                |
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o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
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It is possible to specify "abstract rules of equivalence" (AROE's)
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between cacti, rules for transforming one cactus into another that
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are "formal" in the sense of being indifferent to the above choices
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for logical or semantic interpretations, and that partition the set
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of cacti into formal equivalence classes.
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A "reduction" is an equivalence transformation
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that is applied in the direction of decreasing
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graphical complexity.
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A "basic reduction" is a reduction that applies
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to one of the two families of basic connectives.
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Table 16 schematizes the two types of basic reductions
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in a purely formal, interpretation-independent fashion.
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Table 16.  Basic Reductions
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o---------------------------------------o
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|                                      |
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|    C_1 ... C_k                        |
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|        @        =        @        |
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|                                      |
 +
|    if and only if                    |
 +
|                                      |
 +
|    C_j = @ for all j = 1 to k        |
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|                                      |
 +
o---------------------------------------o
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|                                      |
 +
|  C_1 C_2  C_k                      |
 +
|    o---o-...-o                        |
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|    \      /                        |
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|      \    /                          |
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|      \  /                          |
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|        \ /                            |
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|        @        =        @        |
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|                                      |
 +
|  if and only if                      |
 +
|                                      |
 +
|        o                            |
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|        |                            |
 +
|  C_j = @ for exactly one j in [1, k] |
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|                                      |
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o---------------------------------------o
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The careful reader will have noticed that we have begun to use
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graphical paints like "a", "b", "c" and schematic proxies like
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"C_1", "C_j", "C_k" in a variety of novel and unjustified ways.
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The careful writer would have already introduced a whole bevy of
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technical concepts and proved a whole crew of formal theorems to
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justify their use before contemplating this stage of development,
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but I have been hurrying to proceed with the informal exposition,
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and this expedition must leave steps to the reader's imagination.
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Of course I mean the "active imagination".
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So let me assist the prospective exercise
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with a few hints of what it would take to
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guarantee that these practices make sense.
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Jon Awbrey
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