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Directory:Jon Awbrey/Papers/Cactus Language (view source)

Revision as of 18:40, 22 January 2009

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→‎The Cactus Language : Semantics: set table + reorder tables & text
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As for the rest, the other two functions are easily recognized as corresponding to the one-place logical connectives, or the monadic operators on <math>\underline\mathbb{B}.</math>  Thus, the function <math>F_1^{(1)} = F_{01}^{(1)}</math> is recognizable as the negation operation, and the function <math>F_2^{(1)} = F_{10}^{(1)}</math> is obviously the identity operation.
 
As for the rest, the other two functions are easily recognized as corresponding to the one-place logical connectives, or the monadic operators on <math>\underline\mathbb{B}.</math>  Thus, the function <math>F_1^{(1)} = F_{01}^{(1)}</math> is recognizable as the negation operation, and the function <math>F_2^{(1)} = F_{10}^{(1)}</math> is obviously the identity operation.
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Table&nbsp;17 presents the boolean functions on two variables, <math>F^{(2)} : \underline\mathbb(B)^2 \to \underline\mathbb(B),</math> of which there are precisely sixteen in number.
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<br>
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{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
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|+ '''Table 17.  Boolean Functions on Two Variables'''
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|- style="background:ghostwhite"
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| width="14%" | <math>F\!</math>
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| width="14%" | <math>F\!</math>
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| colspan="4" | <math>F(x, y)\!</math>
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| width="24%" | <math>F\!</math>
 +
|- style="background:ghostwhite"
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| width="14%" | &nbsp;
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| width="14%" | &nbsp;
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| width="12%" | <math>F(\underline{1}, \underline{1})</math>
 +
| width="12%" | <math>F(\underline{1}, \underline{0})</math>
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| width="12%" | <math>F(\underline{0}, \underline{1})</math>
 +
| width="12%" | <math>F(\underline{0}, \underline{0})</math>
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| width="24%" | &nbsp;
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|-
 +
| <math>F_{0}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{0000}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>(~)</math>
 +
|-
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| <math>F_{1}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{0001}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>(x)(y)\!</math>
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|-
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| <math>F_{2}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{0010}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>(x) y\!</math>
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|-
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| <math>F_{3}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{0011}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
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| <math>(x)\!</math>
 +
|-
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| <math>F_{4}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{0100}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>x (y)\!</math>
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|-
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| <math>F_{5}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{0101}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>(y)\!</math>
 +
|-
 +
| <math>F_{6}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{0110}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>(x, y)\!</math>
 +
|-
 +
| <math>F_{7}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{0111}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>(x y)\!</math>
 +
|-
 +
| <math>F_{8}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{1000}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>x y\!</math>
 +
|-
 +
| <math>F_{9}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{1001}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>((x, y))\!</math>
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|-
 +
| <math>F_{10}^{(2)}\!</math>
 +
| <math>F_{1010}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>y\!</math>
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|-
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| <math>F_{11}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{1011}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>(x (y))\!</math>
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|-
 +
| <math>F_{12}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{1100}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
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| <math>x\!</math>
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|-
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| <math>F_{13}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{1101}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{0}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>((x)y)\!</math>
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|-
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| <math>F_{14}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{1110}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
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| <math>((x)(y))\!</math>
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|-
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| <math>F_{15}^{(2)}\!</math>
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| <math>F_{1111}^{(2)}\!</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
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| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
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| <math>((~))</math>
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|}
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<br>
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 +
As before, all of the boolean functions of fewer variables are subsumed in this Table, though under a set of alternative names and possibly different interpretations.  Just to acknowledge a few of the more notable pseudonyms:
    
<pre>
 
<pre>
−
Table 17 presents the boolean functions on two variables, F^2 : %B%^2 -> %B%,
  −
of which there are precisely sixteen in number.  As before, all of the boolean
  −
functions of fewer variables are subsumed in this Table, though under a set of
  −
alternative names and possibly different interpretations.  Just to acknowledge
  −
a few of the more notable pseudonyms:
  −
   
The constant function %0% : %B%^2 -> %B% appears under the name of F^2_00.
 
The constant function %0% : %B%^2 -> %B% appears under the name of F^2_00.
   Line 2,217: Line 2,364:     
[x =/= y]  =  [x + y]  =  F^2_06 (x, y)  =  (x , y).
 
[x =/= y]  =  [x + y]  =  F^2_06 (x, y)  =  (x , y).
−
  −
Table 17.  Boolean Functions on Two Variables
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| Function | Function |                  F(x, y)                  | Function |
  −
o----------o----------o----------o----------o----------o----------o----------o
  −
|          |          | %1%, %1% | %1%, %0% | %0%, %1% | %0%, %0% |          |
  −
o----------o----------o----------o----------o----------o----------o----------o
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_00  | F^2_0000 |  %0%    |  %0%    |  %0%    |  %0%    |    ()    |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_01  | F^2_0001 |  %0%    |  %0%    |  %0%    |  %1%    |  (x)(y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_02  | F^2_0010 |  %0%    |  %0%    |  %1%    |  %0%    |  (x) y  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_03  | F^2_0011 |  %0%    |  %0%    |  %1%    |  %1%    |  (x)    |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_04  | F^2_0100 |  %0%    |  %1%    |  %0%    |  %0%    |  x (y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_05  | F^2_0101 |  %0%    |  %1%    |  %0%    |  %1%    |    (y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_06  | F^2_0110 |  %0%    |  %1%    |  %1%    |  %0%    |  (x, y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_07  | F^2_0111 |  %0%    |  %1%    |  %1%    |  %1%    |  (x  y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_08  | F^2_1000 |  %1%    |  %0%    |  %0%    |  %0%    |  x  y  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_09  | F^2_1001 |  %1%    |  %0%    |  %0%    |  %1%    | ((x, y)) |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_10  | F^2_1010 |  %1%    |  %0%    |  %1%    |  %0%    |      y  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_11  | F^2_1011 |  %1%    |  %0%    |  %1%    |  %1%    |  (x (y)) |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_12  | F^2_1100 |  %1%    |  %1%    |  %0%    |  %0%    |  x      |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_13  | F^2_1101 |  %1%    |  %1%    |  %0%    |  %1%    | ((x) y)  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_14  | F^2_1110 |  %1%    |  %1%    |  %1%    |  %0%    | ((x)(y)) |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
| F^2_15  | F^2_1111 |  %1%    |  %1%    |  %1%    |  %1%    |  (())  |
  −
|          |          |          |          |          |          |          |
  −
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Let me now address one last question that may have occurred to some.
 
Let me now address one last question that may have occurred to some.
Jon Awbrey
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