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Directory:Jon Awbrey/Papers/Functional Logic : Quantification Theory (view source)

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incidentally providing compact names for the column headings of the next two Tables.
 
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{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
|+ '''Table 4.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\alpha_i f = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)</math>'''
 
|+ '''Table 4.  Qualifiers of Implication Ordering:&nbsp; <math>\alpha_i f = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)</math>'''
 
|- style="background:ghostwhite"
 
|- style="background:ghostwhite"
−
| align="right" | ''x'' : || 1100 || ''f''
+
| align="right" | <math>x:</math><br><math>y:</math>
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
| 1100<br>1010
−
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
+
| <math>f\!</math>
−
|- style="background:ghostwhite"
+
| <math>\alpha_{15}</math>
−
| align="right" | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
+
| <math>\alpha_{14}</math>
−
|15||14||13||12||11||10||9||8||7||6||5||4||3||2||1||0
+
| <math>\alpha_{13}</math>
 +
| <math>\alpha_{12}</math>
 +
| <math>\alpha_{11}</math>
 +
| <math>\alpha_{10}</math>
 +
| <math>\alpha_9</math>
 +
| <math>\alpha_8</math>
 +
| <math>\alpha_7</math>
 +
| <math>\alpha_6</math>
 +
| <math>\alpha_5</math>
 +
| <math>\alpha_4</math>
 +
| <math>\alpha_3</math>
 +
| <math>\alpha_2</math>
 +
| <math>\alpha_1</math>
 +
| <math>\alpha_0</math>
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
+
| <math>f_0</math> || 0000 || <math>(~)</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
+
| <math>f_1</math> || 0001 || <math>(x)(y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y  
+
| <math>f_2</math> || 0010 || <math>(x) y\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)  
+
| <math>f_3</math> || 0011 || <math>(x)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
+
| <math>f_4</math> || 0100 || <math>x (y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
+
| <math>f_5</math> || 0101 || <math>(y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
+
| <math>f_6</math> || 0110 || <math>(x, y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x y)
+
| <math>f_7</math> || 0111 || <math>(x y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x y  
+
| <math>f_8</math> || 1000 || <math>x y\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
+
| <math>f_9</math> || 1001 || <math>((x, y))\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
+
| <math>f_{10}</math> || 1010 || <math>y\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
+
| <math>f_{11}</math> || 1011 || <math>(x (y))\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
+
| <math>f_{12}</math> || 1100 || <math>x\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
+
| <math>f_{13}</math> || 1101 || <math>((x) y)\!</math>
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
+
| <math>f_{14}</math> || 1110 || <math>((x)(y))\!</math>
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
 
|-
 
|-
−
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
+
| <math>f_{15}</math> || 1111 || <math>((~))</math>
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
 
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
Jon Awbrey
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