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User:Jon Awbrey/TABLE (view source)

Revision as of 03:40, 26 May 2007

53,841 bytes removed ,  03:40, 26 May 2007
→‎Logical Tables: del dup
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\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
   −
==Logical Tables==
     −
===Higher Order Propositions===
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| \ ''x'' || 1 0 || ''F''
  −
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
  −
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| ''F'' \ || &nbsp; || &nbsp;
  −
|00||01||02||03||04||05||06||07||08||09||10||11||12||13||14||15
  −
|-
  −
| ''F<sub>0</sub> || 0 0 ||  0  ||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1||0||1
  −
|-
  −
| ''F<sub>1</sub> || 0 1 || (x) ||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1||0||0||1||1
  −
|-
  −
| ''F<sub>2</sub> || 1 0 ||  x  ||0||0||0||0||1||1||1||1||0||0||0||0||1||1||1||1
  −
|-
  −
| ''F<sub>3</sub> || 1 1 ||  1  ||0||0||0||0||0||0||0||0||1||1||1||1||1||1||1||1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
|Measure||Happening||Exactness||Existence||Linearity||Uniformity||Information
  −
|-
  −
|''m''<sub>0</sub>||nothing happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>1</sub>||&nbsp;||just false||nothing exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>2</sub>||&nbsp;||just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>3</sub>||&nbsp;||&nbsp;||nothing is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>4</sub>||&nbsp;||just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>5</sub>||&nbsp;||&nbsp;||everything is x||F is linear||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>6</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is not uniform||F is informed
  −
|-
  −
|''m''<sub>7</sub>||&nbsp;||not just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>8</sub>||&nbsp;||just true||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>9</sub>||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||F is uniform||F is not informed
  −
|-
  −
|''m''<sub>10</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is not x||F is not linear||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>11</sub>||&nbsp;||not just x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>12</sub>||&nbsp;||&nbsp;||something is x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>13</sub>||&nbsp;||not just not x||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>14</sub>||&nbsp;||not just false||something exists||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
|''m''<sub>15</sub>||anything happens||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
  −
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
  −
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
  −
|''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''||''m''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
  −
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12
  −
|13||14||15||16||17||18||19||20||21||22||23
  −
|-
  −
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
  −
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
  −
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
  −
| 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1    || 0    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
  −
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
  −
| 0    || 0    || 1    || 1    || 0    || 0    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
| 0    || 0    || 0    || 0    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
| 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0    || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|-
  −
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering:  &alpha;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f''<sub>''i''</sub> &rArr; ''f'')'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
  −
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
  −
|&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;||&alpha;
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
  −
|15||14||13||12||11||10||9||8||7||6||5||4||3||2||1||0
  −
|-
  −
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  &beta;<sub>''i''&nbsp;</sub>''f'' = &Upsilon;(''f'' &rArr; ''f''<sub>''i''</sub>)'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
  −
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
  −
|&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;||&beta;
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
  −
|0||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15
  −
|-
  −
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
| 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    ||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1    || 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    ||&nbsp;|| 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1    || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;
  −
|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;|| 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions'''
  −
| A
  −
| align=left | Universal Affirmative
  −
| align=left | All
  −
| x || is || y
  −
| align=left | Indicator of " x (y)" = 0
  −
|-
  −
| E
  −
| align=left | Universal Negative
  −
| align=left | All
  −
| x || is || (y)
  −
| align=left | Indicator of " x  y " = 0
  −
|-
  −
| I
  −
| align=left | Particular Affirmative
  −
| align=left | Some
  −
| x || is || y
  −
| align=left | Indicator of " x  y " = 1
  −
|-
  −
| O
  −
| align=left | Particular Negative
  −
| align=left | Some
  −
| x || is || (y)
  −
| align=left | Indicator of " x (y)" = 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
|Mnemonic||Category||Classical Form||Alternate Form||Symmetric Form||Operator
  −
|-
  −
| E<br>Exclusive
  −
| Universal<br>Negative
  −
| align=left | All x is (y)
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | No x is y
  −
| (''L''<sub>11</sub>)
  −
|-
  −
| A<br>Absolute
  −
| Universal<br>Affirmative
  −
| align=left | All x is y
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | No x is (y)
  −
| (''L''<sub>10</sub>)
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| align=left | All y is x
  −
| align=left | No y is (x)
  −
| align=left | No (x) is y
  −
| (''L''<sub>01</sub>)
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| align=left | All (y) is x
  −
| align=left | No (y) is (x)
  −
| align=left | No (x) is (y)
  −
| (''L''<sub>00</sub>)
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| align=left | Some (x) is (y)
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | Some (x) is (y)
  −
| ''L''<sub>00</sub>
  −
|-
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| align=left | Some (x) is y
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | Some (x) is y
  −
| ''L''<sub>01</sub>
  −
|-
  −
| O<br>Obtrusive
  −
| Particular<br>Negative
  −
| align=left | Some x is (y)
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | Some x is (y)
  −
| ''L''<sub>10</sub>
  −
|-
  −
| I<br>Indefinite
  −
| Particular<br>Affirmative
  −
| align=left | Some x is y
  −
| align=left | &nbsp;
  −
| align=left | Some x is y
  −
| ''L''<sub>11</sub>
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''x'' : || 1100 || ''f''
  −
| (''L''<sub>11</sub>)
  −
| (''L''<sub>10</sub>)
  −
| (''L''<sub>01</sub>)
  −
| (''L''<sub>00</sub>)
  −
|  ''L''<sub>00</sub>
  −
|  ''L''<sub>01</sub>
  −
|  ''L''<sub>10</sub>
  −
|  ''L''<sub>11</sub>
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| align=right | ''y'' : || 1010 || &nbsp;
  −
| align=left |  no  x  <br> is  y
  −
| align=left |  no  x  <br> is (y)
  −
| align=left |  no (x) <br> is  y
  −
| align=left |  no (x) <br> is (y)
  −
| align=left | some (x) <br> is (y)
  −
| align=left | some (x) <br> is  y
  −
| align=left | some  x  <br> is (y)
  −
| align=left | some  x  <br> is  y
  −
|-
  −
| ''f<sub>0</sub> || 0000 || ( )
  −
| 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>1</sub> || 0001 || (x)(y)
  −
| 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>2</sub> || 0010 || (x) y
  −
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>3</sub> || 0011 || (x)
  −
| 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>4</sub> || 0100 || x (y)
  −
| 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>5</sub> || 0101 || (y)
  −
| 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>6</sub> || 0110 || (x, y)
  −
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>7</sub> || 0111 || (x  y)
  −
| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0
  −
|-
  −
| ''f<sub>8</sub> || 1000 || x  y
  −
| 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>9</sub> || 1001 || ((x, y))
  −
| 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>10</sub> || 1010 || y
  −
| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>11</sub> || 1011 || (x (y))
  −
| 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>12</sub> || 1100 || x
  −
| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>13</sub> || 1101 || ((x) y)
  −
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>14</sub> || 1110 || ((x)(y))
  −
| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1
  −
|-
  −
| ''f<sub>15</sub> || 1111 || (( ))
  −
| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
Table 7.  Higher Order Propositions (n = 1)
  −
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
  −
|  \ x | 1 0 |  F  |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m |m  |
  −
| F \  |    |    |00|01|02|03|04|05|06|07|08|09|10|11|12|13|14|15 |
  −
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
  −
|      |    |    |                                                |
  −
| F_0  | 0 0 |  0  | 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1  0  1 |
  −
|      |    |    |                                                |
  −
| F_1  | 0 1 | (x) | 0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1  0  0  1  1 |
  −
|      |    |    |                                                |
  −
| F_2  | 1 0 |  x  | 0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  1  1 |
  −
|      |    |    |                                                |
  −
| F_3  | 1 1 |  1  | 0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  1  1  1 |
  −
|      |    |    |                                                |
  −
o------o-----o-----o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o---o
  −
<br>
  −
  −
Table 8.  Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
|Measure| Happening| Exactness  | Existence  | Linearity|Uniformity|Information|
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_0  | nothing  |            |            |          |          |          |
  −
|      | happens  |            |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_1  |          |            | nothing    |          |          |          |
  −
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_2  |          |            |            |          |          |          |
  −
|      |          | just not x |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_3  |          |            | nothing    |          |          |          |
  −
|      |          |            | is x      |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_4  |          |            |            |          |          |          |
  −
|      |          | just x    |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_5  |          |            | everything | F is    |          |          |
  −
|      |          |            | is x      | linear  |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_6  |          |            |            |          | F is not | F is      |
  −
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_7  |          | not        |            |          |          |          |
  −
|      |          | just true  |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_8  |          |            |            |          |          |          |
  −
|      |          | just true  |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_9  |          |            |            |          | F is    | F is not  |
  −
|      |          |            |            |          | uniform  | informed  |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_10  |          |            | something  | F is not |          |          |
  −
|      |          |            | is not x  | linear  |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_11  |          | not        |            |          |          |          |
  −
|      |          | just x    |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_12  |          |            | something  |          |          |          |
  −
|      |          |            | is x      |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_13  |          | not        |            |          |          |          |
  −
|      |          | just not x |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_14  |          | not        | something  |          |          |          |
  −
|      |          | just false | exists    |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
| m_15  | anything |            |            |          |          |          |
  −
|      | happens  |            |            |          |          |          |
  −
o-------o----------o------------o------------o----------o----------o-----------o
  −
<br>
  −
  −
Table 9.  Higher Order Propositions (n = 2)
  −
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
  −
|  | x | 1100 |    f    |m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|m|.|
  −
|  | y | 1010 |          |0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|1|1|1|1|1|.|
  −
| f \  |      |          |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|0|1|2|3|4|5|.|
  −
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_0  | 0000 |    ()    |0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |    1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1  |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_2  | 0010 |  (x) y  |        1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1  |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_3  | 0011 |  (x)    |                1 1 1 1 1 1 1 1  |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_5  | 0101 |    (y)  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_8  | 1000 |  x  y  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_10 | 1010 |      y  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_12 | 1100 |  x      |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
| f_15 | 1111 |  (())  |                                |
  −
|      |      |          |                                |
  −
o------o------o----------o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o
  −
<br>
  −
  −
Table 10.  Qualifiers of Implication Ordering:  !a!_i f  =  !Y!(f_i => f)
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
|  | x | 1100 |    f    |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |a |
  −
|  | y | 1010 |          |1 |1 |1 |1 |1 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |
  −
| f \  |      |          |5 |4 |3 |2 |1 |0 |9 |8 |7 |6 |5 |4 |3 |2 |1 |0 |
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_0  | 0000 |    ()    |                                            1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |                                          1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_2  | 0010 |  (x) y  |                                      1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_3  | 0011 |  (x)    |                                    1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_4  | 0100 |  x (y)  |                                1          1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_5  | 0101 |    (y)  |                              1  1        1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                          1    1    1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_8  | 1000 |  x  y  |                    1                      1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                  1  1                    1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_10 | 1010 |      y  |              1    1                1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_12 | 1100 |  x      |        1          1          1          1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_15 | 1111 |  (())  |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
<br>
  −
  −
Table 11.  Qualifiers of Implication Ordering:  !b!_i f  =  !Y!(f => f_i)
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
|  | x | 1100 |    f    |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |b |
  −
|  | y | 1010 |          |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |1 |1 |1 |1 |1 |1 |
  −
| f \  |      |          |0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_0  | 0000 |    ()    |1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    1    1    1    1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_2  | 0010 |  (x) y  |      1  1        1  1        1  1        1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_3  | 0011 |  (x)    |        1          1          1          1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_4  | 0100 |  x (y)  |            1  1  1  1              1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_5  | 0101 |    (y)  |              1    1                1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |                  1  1                    1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |                    1                      1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_8  | 1000 |  x  y  |                        1  1  1  1  1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |                          1    1    1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_10 | 1010 |      y  |                              1  1        1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |                                1          1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_12 | 1100 |  x      |                                    1  1  1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |                                      1    1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |                                          1  1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_15 | 1111 |  (())  |                                            1 |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
o------o------o----------o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o--o
  −
<br>
  −
  −
Table 13.  Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions
  −
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
  −
|  |                        |                |                          |
  −
| A | Universal Affirmative  | All  x  is  y  | Indicator of " x (y)" = 0 |
  −
|  |                        |                |                          |
  −
| E | Universal Negative    | All  x  is (y) | Indicator of " x  y " = 0 |
  −
|  |                        |                |                          |
  −
| I | Particular Affirmative | Some  x  is  y  | Indicator of " x  y " = 1 |
  −
|  |                        |                |                          |
  −
| O | Particular Negative    | Some  x  is (y) | Indicator of " x (y)" = 1 |
  −
|  |                        |                |                          |
  −
o---o------------------------o-----------------o---------------------------o
  −
<br>
  −
  −
Table 14.  Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
| Mnemonic  | Category  | Classical | Alternate | Symmetric | Operator  |
  −
|            |            |  Form    |  Form    |  Form    |          |
  −
o============o============o===========o===========o===========o===========o
  −
|    E      | Universal  |  All  x  |          |  No  x  |  (L_11)  |
  −
| Exclusive  |  Negative  |  is  (y) |          |  is  y  |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|    A      | Universal  |  All  x  |          |  No  x  |  (L_10)  |
  −
| Absolute  |  Affrmtve  |  is  y  |          |  is  (y) |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|            |            |  All  y  |  No  y  |  No  (x) |  (L_01)  |
  −
|            |            |  is  x  |  is  (x) |  is  y  |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|            |            |  All  (y) |  No  (y) |  No  (x) |  (L_00)  |
  −
|            |            |  is  x  |  is  (x) |  is  (y) |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|            |            | Some  (x) |          | Some  (x) |  L_00    |
  −
|            |            |  is  (y) |          |  is  (y) |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|            |            | Some  (x) |          | Some  (x) |  L_01    |
  −
|            |            |  is  y  |          |  is  y  |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|    O      | Particular | Some  x  |          | Some  x  |  L_10    |
  −
| Obtrusive  |  Negative  |  is  (y) |          |  is  (y) |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
|    I      | Particular | Some  x  |          | Some  x  |  L_11    |
  −
| Indefinite |  Affrmtve  |  is  y  |          |  is  y  |          |
  −
o------------o------------o-----------o-----------o-----------o-----------o
  −
<br>
  −
  −
Table 15.  Simple Qualifiers of Propositions (n = 2)
  −
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
  −
|  | x | 1100 |    f    |(L11)|(L10)|(L01)|(L00)| L00 | L01 | L10 | L11 |
  −
|  | y | 1010 |          |no  x|no  x|no ~x|no ~x|sm ~x|sm ~x|sm  x|sm  x|
  −
| f \  |      |          |is  y|is ~y|is  y|is ~y|is ~y|is  y|is ~y|is  y|
  −
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_0  | 0000 |    ()    |  1    1    1    1    0    0    0    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_1  | 0001 |  (x)(y)  |  1    1    1    0    1    0    0    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_2  | 0010 |  (x) y  |  1    1    0    1    0    1    0    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_3  | 0011 |  (x)    |  1    1    0    0    1    1    0    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_4  | 0100 |  x (y)  |  1    0    1    1    0    0    1    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_5  | 0101 |    (y)  |  1    0    1    0    1    0    1    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_6  | 0110 |  (x, y)  |  1    0    0    1    0    1    1    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_7  | 0111 |  (x  y)  |  1    0    0    0    1    1    1    0  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_8  | 1000 |  x  y  |  0    1    1    1    0    0    0    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_9  | 1001 | ((x, y)) |  0    1    1    0    1    0    0    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_10 | 1010 |      y  |  0    1    0    1    0    1    0    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_11 | 1011 |  (x (y)) |  0    1    0    0    1    1    0    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_12 | 1100 |  x      |  0    0    1    1    0    0    1    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_13 | 1101 | ((x) y)  |  0    0    1    0    1    0    1    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_14 | 1110 | ((x)(y)) |  0    0    0    1    0    1    1    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
| f_15 | 1111 |  (())  |  0    0    0    0    1    1    1    1  |
  −
|      |      |          |                                              |
  −
o------o------o----------o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o-----o
  −
<br>
  −
  −
===[[Zeroth Order Logic]]===
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| &nbsp;
  −
| align="right" | x :
  −
| 1 1 0 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
|- style="background:paleturquoise"
  −
| &nbsp;
  −
| align="right" | y :
  −
| 1 0 1 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
|-
  −
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
  −
|-
  −
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
  −
|-
  −
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
  −
|-
  −
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
  −
|-
  −
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
  −
|-
  −
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
  −
|-
  −
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
  −
|-
  −
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
  −
|-
  −
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
  −
|-
  −
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
  −
|-
  −
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
  −
|-
  −
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
  −
|+ '''Table 1.  Propositional Forms on Two Variables'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | L<sub>1</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>2</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>3</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>4</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>5</sub>
  −
! style="width:15%" | L<sub>6</sub>
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
| &nbsp;
  −
| align="right" | x :
  −
| 1 1 0 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
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| &nbsp;
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
| &nbsp;
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| align="right" | y :
  −
| 1 0 1 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
|-
  −
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
  −
|-
  −
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
  −
|-
  −
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
  −
|-
  −
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
  −
|-
  −
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
  −
|-
  −
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
  −
|-
  −
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
  −
|-
  −
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
  −
|-
  −
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
  −
|-
  −
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
  −
|-
  −
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
  −
|-
  −
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
  −
|-
  −
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
===Template Draft===
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:98%"
  −
|+ '''Propositional Forms on Two Variables'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:14%" | L<sub>1</sub>
  −
! style="width:14%" | L<sub>2</sub>
  −
! style="width:14%" | L<sub>3</sub>
  −
! style="width:14%" | L<sub>4</sub>
  −
! style="width:14%" | L<sub>5</sub>
  −
! style="width:14%" | L<sub>6</sub>
  −
! style="width:14%" | Name
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
| &nbsp;
  −
| align="right" | x :
  −
| 1 1 0 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
| &nbsp;
  −
| align="right" | y :
  −
| 1 0 1 0
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
| &nbsp;
  −
|-
  −
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0 || Falsity
  −
|-
  −
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y || [[NNOR]]
  −
|-
  −
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y || Insuccede
  −
|-
  −
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x || Not One
  −
|-
  −
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y || Imprecede
  −
|-
  −
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y || Not Two
  −
|-
  −
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y || Inequality
  −
|-
  −
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y || NAND
  −
|-
  −
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y || [[Conjunction]]
  −
|-
  −
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y || Equality
  −
|-
  −
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y || Two
  −
|-
  −
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y || [[Logical implcation|Implication]]
  −
|-
  −
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x || One
  −
|-
  −
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y || [[Logical involution|Involution]]
  −
|-
  −
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y || [[Disjunction]]
  −
|-
  −
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1 || Tautology
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
===[[Truth Tables]]===
  −
  −
====[[Logical negation]]====
  −
  −
'''Logical negation''' is an [[logical operation|operation]] on one [[logical value]], typically the value of a [[proposition]], that produces a value of ''true'' when its operand is false and a value of ''false'' when its operand is true.
  −
  −
The [[truth table]] of '''NOT p''' (also written as '''~p''' or '''&not;p''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:40%"
  −
|+ '''Logical Negation'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:20%" | p
  −
! style="width:20%" | &not;p
  −
|-
  −
| F || T
  −
|-
  −
| T || F
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
The logical negation of a proposition '''p''' is notated in different ways in various contexts of discussion and fields of application.  Among these variants are the following:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; width:40%"
  −
|+ '''Variant Notations'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="text-align:center" | Notation
  −
! Vocalization
  −
|-
  −
| style="text-align:center" | <math>\bar{p}</math>
  −
| bar ''p''
  −
|-
  −
| style="text-align:center" | <math>p'\!</math>
  −
| ''p'' prime,<p> ''p'' complement
  −
|-
  −
| style="text-align:center" | <math>!p\!</math>
  −
| bang ''p''
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
No matter how it is notated or symbolized, the logical negation &not;''p'' is read as "it is not the case that ''p''", or usually more simply as "not ''p''".
  −
  −
* Within a system of [[classical logic]], double negation, that is, the negation of the negation of a proposition ''p'', is [[logically equivalent]] to the initial proposition ''p''.  Expressed in symbolic terms, &not;(&not;''p'') &hArr; ''p''.
  −
  −
* Within a system of [[intuitionistic logic]], however, &not;&not;''p'' is a weaker statement than ''p''.  On the other hand, the logical equivalence &not;&not;&not;''p'' &hArr; &not;''p'' remains valid.
  −
  −
Logical negation can be defined in terms of other logical operations.  For example, ~''p'' can be defined as ''p'' &rarr; ''F'', where &rarr; is [[material implication]] and ''F'' is absolute falsehood.  Conversely, one can define ''F'' as ''p'' &amp; ~''p'' for any proposition ''p'', where &amp; is [[logical conjunction]].  The idea here is that any [[contradiction]] is false.  While these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they don't work in [[Brazilian logic]], where contradictions are not necessarily false.  But in classical logic, we get a further identity: ''p'' &rarr; ''q'' can be defined as ~''p'' &or; ''q'', where &or; is [[logical disjunction]].
  −
  −
Algebraically, logical negation corresponds to the ''complement'' in a [[Boolean algebra]] (for classical logic) or a [[Heyting algebra]] (for intuitionistic logic).
  −
  −
====[[Logical conjunction]]====
  −
  −
'''Logical conjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are true.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p AND q''' (also written as '''p &and; q''', '''p & q''', or '''p<math>\cdot</math>q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical Conjunction'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p &and; q
  −
|-
  −
| F || F || F
  −
|-
  −
| F || T || F
  −
|-
  −
| T || F || F
  −
|-
  −
| T || T || T
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
====[[Logical disjunction]]====
  −
  −
'''Logical disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are false.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p OR q''' (also written as '''p &or; q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical Disjunction'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p &or; q
  −
|-
  −
| F || F || F
  −
|-
  −
| F || T || T
  −
|-
  −
| T || F || T
  −
|-
  −
| T || T || T
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
====[[Logical equality]]====
  −
  −
'''Logical equality''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both operands are false or both operands are true.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p EQ q''' (also written as '''p = q''', '''p &harr; q''', or '''p &equiv; q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical Equality'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p = q
  −
|-
  −
| F || F || T
  −
|-
  −
| F || T || F
  −
|-
  −
| T || F || F
  −
|-
  −
| T || T || T
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
====[[Exclusive disjunction]]====
  −
  −
'''Exclusive disjunction''' is an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' just in case exactly one of its operands is true.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p XOR q''' (also written as '''p + q''', '''p &oplus; q''', or '''p &ne; q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Exclusive Disjunction'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p XOR q
  −
|-
  −
| F || F || F
  −
|-
  −
| F || T || T
  −
|-
  −
| T || F || T
  −
|-
  −
| T || T || F
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
The following equivalents can then be deduced:
  −
  −
: <math>\begin{matrix}
  −
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
  −
\\
  −
      & = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) \\
  −
\\
  −
      & = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q)
  −
\end{matrix}</math>
  −
  −
'''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits  is odd.
  −
  −
====[[Logical implication]]====
  −
  −
The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false.
  −
  −
The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rarr;&nbsp;q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p&nbsp;&rArr;&nbsp;q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical Implication'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p &rArr; q
  −
|-
  −
| F || F || T
  −
|-
  −
| F || T || T
  −
|-
  −
| T || F || F
  −
|-
  −
| T || T || T
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
====[[Logical NAND]]====
  −
  −
The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true.  In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p&nbsp;|&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&uarr;&nbsp;q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical NAND'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p &uarr; q
  −
|-
  −
| F || F || T
  −
|-
  −
| F || T || T
  −
|-
  −
| T || F || T
  −
|-
  −
| T || T || F
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
====[[Logical NNOR]]====
  −
  −
The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false.  In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true.
  −
  −
The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p&nbsp;&perp;&nbsp;q''' or '''p&nbsp;&darr;&nbsp;q''') is as follows:
  −
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%"
  −
|+ '''Logical NOR'''
  −
|- style="background:aliceblue"
  −
! style="width:15%" | p
  −
! style="width:15%" | q
  −
! style="width:15%" | p &darr; q
  −
|-
  −
| F || F || T
  −
|-
  −
| F || T || F
  −
|-
  −
| T || F || F
  −
|-
  −
| T || T || F
  −
|}
  −
<br>
  −
  −
===Exclusive Disjunction===
  −
  −
A + B = (A &#8743; !B) &#8744; (!A &#8743; B)
  −
      = {(A &#8743; !B) &#8744; !A} &#8743; {(A &#8743; !B) &#8744; B}
  −
      = {(A &#8744; !A) &#8743; (!B &#8744; !A)} &#8743; {(A &#8744; B) &#8743; (!B &#8744; B)}
  −
      = (!A &#8744; !B) &#8743; (A &#8744; B)
  −
      = !(A &#8743; B) &#8743; (A &#8744; B)
  −
  −
  −
p + q = (p &#8743; !q)  &#8744; (!p &#8743; B)
  −
  −
      = {(p &#8743; !q) &#8744; !p} &#8743; {(p &#8743; !q) &#8744; q}
  −
  −
      = {(p &#8744; !q) &#8743; (!q &#8744; !p)} &#8743; {(p &#8744; q) &#8743; (!q &#8744; q)}
  −
  −
      = (!p &#8744; !q) &#8743; (p &#8744; q)
  −
  −
      = !(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
  −
  −
  −
p + q = (p &#8743; ~q)  &#8744; (~p &#8743; q)
  −
  −
      = ((p &#8743; ~q) &#8744; ~p) &#8743; ((p &#8743; ~q) &#8744; q)
  −
  −
      = ((p &#8744; ~q) &#8743; (~q &#8744; ~p)) &#8743; ((p &#8744; q) &#8743; (~q &#8744; q))
  −
  −
      = (~p &#8744; ~q) &#8743; (p &#8744; q)
  −
  −
      = ~(p &#8743; q)  &#8743; (p &#8744; q)
  −
  −
: <math>\begin{matrix}
  −
p + q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\
  −
& = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \and & ((p \land \lnot q) \lor q) \\
  −
& = & ((p \lor \lnot q) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\
  −
& = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\
  −
& = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
  −
\end{matrix}</math>
      
==Relational Tables==
 
==Relational Tables==
Jon Awbrey
12,080

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