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Directory talk:Jon Awbrey/Papers/Differential Propositional Calculus (view source)

Revision as of 20:46, 28 May 2008

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scratch that
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===Version 1===
 
===Version 1===
−
  −
To broaden our experience with simple examples, let us now contemplate the sixteen functions of concrete type <math>X \times Y \to \mathbb{B}</math> and abstract type <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}.</math>  For future reference, I will set here a few Tables that detail the actions of <math>\operatorname{E}</math> and <math>\operatorname{D}</math> on each of these functions, allowing us to view the results in several different ways.
  −
  −
By way of initial orientation, Table&nbsp;1 lists equivalent expressions for the sixteen functions in a number of different languages for zeroth order logic.
      
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
Line 2,347: Line 2,343:  
| <math>f_{0000}\!</math>
 
| <math>f_{0000}\!</math>
 
| 0 0 0 0
 
| 0 0 0 0
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
 
| false
 
| false
 
| <math>0\!</math>
 
| <math>0\!</math>
Line 2,354: Line 2,350:  
| <math>f_{0001}\!</math>
 
| <math>f_{0001}\!</math>
 
| 0 0 0 1
 
| 0 0 0 1
−
| <math>(\!|x|\!)(\!|y|\!)</math>
+
| <math>(x)(y)\!</math>
 
| neither x nor y
 
| neither x nor y
−
| <math>\lnot x \land \lnot y</math>
+
| <math>\lnot x \land \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{2}\!</math>
 
| <math>f_{2}\!</math>
 
| <math>f_{0010}\!</math>
 
| <math>f_{0010}\!</math>
 
| 0 0 1 0
 
| 0 0 1 0
−
| <math>(\!|x|\!)\ y</math>
+
| <math>(x)\ y\!</math>
 
| y and not x
 
| y and not x
−
| <math>\lnot x \land y</math>
+
| <math>\lnot x \land y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{3}\!</math>
 
| <math>f_{3}\!</math>
 
| <math>f_{0011}\!</math>
 
| <math>f_{0011}\!</math>
 
| 0 0 1 1
 
| 0 0 1 1
−
| <math>(\!|x|\!)</math>
+
| <math>(x)\!</math>
 
| not x
 
| not x
−
| <math>\lnot x</math>
+
| <math>\lnot x\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{4}\!</math>
 
| <math>f_{4}\!</math>
 
| <math>f_{0100}\!</math>
 
| <math>f_{0100}\!</math>
 
| 0 1 0 0
 
| 0 1 0 0
−
| <math>x\ (\!|y|\!)</math>
+
| <math>x\ (y)\!</math>
 
| x and not y
 
| x and not y
−
| <math>x \land \lnot y</math>
+
| <math>x \land \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{5}\!</math>
 
| <math>f_{5}\!</math>
 
| <math>f_{0101}\!</math>
 
| <math>f_{0101}\!</math>
 
| 0 1 0 1
 
| 0 1 0 1
−
| <math>(\!|y|\!)</math>
+
| <math>(y)\!</math>
 
| not y
 
| not y
−
| <math>\lnot y</math>
+
| <math>\lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{6}\!</math>
 
| <math>f_{6}\!</math>
 
| <math>f_{0110}\!</math>
 
| <math>f_{0110}\!</math>
 
| 0 1 1 0
 
| 0 1 1 0
−
| <math>(\!|x,\ y|\!)</math>
+
| <math>(x,\ y)\!</math>
 
| x not equal to y
 
| x not equal to y
−
| <math>x \ne y</math>
+
| <math>x \ne y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{7}\!</math>
 
| <math>f_{7}\!</math>
 
| <math>f_{0111}\!</math>
 
| <math>f_{0111}\!</math>
 
| 0 1 1 1
 
| 0 1 1 1
−
| <math>(\!|x\ y|\!)</math>
+
| <math>(x\ y)\!</math>
 
| not both x and y
 
| not both x and y
−
| <math>\lnot x \lor \lnot y</math>
+
| <math>\lnot x \lor \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>f_{1000}\!</math>
 
| <math>f_{1000}\!</math>
 
| 1 0 0 0
 
| 1 0 0 0
−
| <math>x\ y</math>
+
| <math>x\ y\!</math>
 
| x and y
 
| x and y
−
| <math>x \land y</math>
+
| <math>x \land y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{9}\!</math>
 
| <math>f_{9}\!</math>
 
| <math>f_{1001}\!</math>
 
| <math>f_{1001}\!</math>
 
| 1 0 0 1
 
| 1 0 0 1
−
| <math>(\!|(\!|x,\ y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((x,\ y))\!</math>
 
| x equal to y
 
| x equal to y
 
| <math>x = y\!</math>
 
| <math>x = y\!</math>
Line 2,424: Line 2,420:  
| <math>f_{1011}\!</math>
 
| <math>f_{1011}\!</math>
 
| 1 0 1 1
 
| 1 0 1 1
−
| <math>(\!|x\ (\!|y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(x\ (y))\!</math>
 
| not x without y
 
| not x without y
−
| <math>x \Rightarrow y</math>
+
| <math>x \Rightarrow y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{12}\!</math>
 
| <math>f_{12}\!</math>
Line 2,438: Line 2,434:  
| <math>f_{1101}\!</math>
 
| <math>f_{1101}\!</math>
 
| 1 1 0 1
 
| 1 1 0 1
−
| <math>(\!|(\!|x|\!)\ y|\!)</math>
+
| <math>((x)\ y)\!</math>
 
| not y without x
 
| not y without x
−
| <math>x \Leftarrow y</math>
+
| <math>x \Leftarrow y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{14}\!</math>
 
| <math>f_{14}\!</math>
 
| <math>f_{1110}\!</math>
 
| <math>f_{1110}\!</math>
 
| 1 1 1 0
 
| 1 1 1 0
−
| <math>(\!|(\!|x|\!)(\!|y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((x)(y))\!</math>
 
| x or y
 
| x or y
−
| <math>x \lor y</math>
+
| <math>x \lor y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{1111}\!</math>
 
| <math>f_{1111}\!</math>
 
| 1 1 1 1
 
| 1 1 1 1
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
 
| true
 
| true
 
| <math>1\!</math>
 
| <math>1\!</math>
 
|}<br>
 
|}<br>
−
  −
The next four Tables expand the expressions of <math>\operatorname{E}f</math> and <math>\operatorname{D}f</math> in two different ways, for each of the sixteen functions.  Notice that the functions are given in a different order, here being collected into a set of seven natural classes.
      
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
Line 2,464: Line 2,458:  
| style="width:16%" | &nbsp;
 
| style="width:16%" | &nbsp;
 
| style="width:16%" | <math>f\!</math>
 
| style="width:16%" | <math>f\!</math>
−
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
+
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}\!</math>
−
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{x(\!|y|\!)}</math>
+
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{x(y)}\!</math>
−
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{(\!|x|\!)y}</math>
+
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)y}\!</math>
−
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{(\!|x|\!)(\!|y|\!)}</math>
+
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)(y)}\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{0}\!</math>
 
| <math>f_{0}\!</math>
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
−
| <math>(\!|~|\!)</math>
+
| <math>(~)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{1}\!</math>
 
| <math>f_{1}\!</math>
−
| <math>(\!|x|\!)(\!|y|\!)</math>
+
| <math>(x)(y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{2}\!</math>
 
| <math>f_{2}\!</math>
−
| <math>(\!|x|\!) y</math>
+
| <math>(x) y\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{4}\!</math>
 
| <math>f_{4}\!</math>
−
| <math>x (\!|y|\!)</math>
+
| <math>x (y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>x y\!</math>
 
| <math>x y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{3}\!</math>
 
| <math>f_{3}\!</math>
−
| <math>(\!|x|\!)</math>
+
| <math>(x)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{12}\!</math>
 
| <math>f_{12}\!</math>
 
| <math>x\!</math>
 
| <math>x\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}x</math>
+
| <math>\operatorname{d}x\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{6}\!</math>
 
| <math>f_{6}\!</math>
−
| <math>(\!|x, y|\!)</math>
+
| <math>(x, y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x, \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x, \operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x, \operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x, \operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{9}\!</math>
 
| <math>f_{9}\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|x, y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((x, y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x, \operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x, \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x, \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x, \operatorname{d}y))\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{5}\!</math>
 
| <math>f_{5}\!</math>
−
| <math>(\!|y|\!)</math>
+
| <math>(y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{10}\!</math>
 
| <math>f_{10}\!</math>
 
| <math>y\!</math>
 
| <math>y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}y\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>\operatorname{d}y</math>
+
| <math>\operatorname{d}y\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{7}\!</math>
 
| <math>f_{7}\!</math>
−
| <math>(\!|x y|\!)</math>
+
| <math>(x y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x) \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x (\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{11}\!</math>
 
| <math>f_{11}\!</math>
−
| <math>(\!|x (\!|y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(x (y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x) \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x (\operatorname{d}y))\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{13}\!</math>
 
| <math>f_{13}\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|x|\!) y|\!)</math>
+
| <math>((x) y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x (\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x) \operatorname{d}y)\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{14}\!</math>
 
| <math>f_{14}\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|x|\!)(\!|y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((x)(y))\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|\operatorname{d}x (\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>(\operatorname{d}x (\operatorname{d}y))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x) \operatorname{d}y)\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
+
| <math>((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))\!</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{15}\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
−
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
+
| <math>((~))\!</math>
 
|}<br>
 
|}<br>
−
  −
<pre>
  −
Table 3.  Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
|      |    f      |  Df | xy  | Df | x(y)  | Df | (x)y  | Df | (x)(y)|
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_1  |  (x)(y)  |  dx  dy  |  dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_8  |    x  y    | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_3  |  (x)      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_12 |    x      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_6  |  (x, y)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_9  |  ((x, y))  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_5  |      (y)  |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_10 |      y    |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_7  |  (x  y)  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_11 |  (x (y))  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_13 |  ((x) y)  |  dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_14 |  ((x)(y))  |  dx  dy  |  dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
</pre>
  −
<pre>
  −
Table 4.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
|      |    f      |  T_11 f  |  T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
|      |            | Ef| dx dy  | Ef| dx(dy) | Ef| (dx)dy | Ef|(dx)(dy)|
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_1  |  (x)(y)  |    x  y    |    x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_2  |  (x) y    |    x (y)  |    x  y    |  (x)(y)  |  (x) y    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_4  |    x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |    x  y    |    x (y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_8  |    x  y    |  (x)(y)  |  (x) y    |    x (y)  |    x  y    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_3  |  (x)      |    x      |    x      |  (x)      |  (x)      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_12 |    x      |  (x)      |  (x)      |    x      |    x      |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_6  |  (x, y)  |  (x, y)  |  ((x, y))  |  ((x, y))  |  (x, y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_9  |  ((x, y))  |  ((x, y))  |  (x, y)  |  (x, y)  |  ((x, y))  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_5  |      (y)  |      y    |      (y)  |      y    |      (y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_10 |      y    |      (y)  |      y    |      (y)  |      y    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_7  |  (x  y)  |  ((x)(y))  |  ((x) y)  |  (x (y))  |  (x  y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_11 |  (x (y))  |  ((x) y)  |  ((x)(y))  |  (x  y)  |  (x (y))  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_13 |  ((x) y)  |  (x (y))  |  (x  y)  |  ((x)(y))  |  ((x) y)  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_14 |  ((x)(y))  |  (x  y)  |  (x (y))  |  ((x) y)  |  ((x)(y))  |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|                  |            |            |            |            |
  −
| Fixed Point Total |      4    |      4    |      4    |    16    |
  −
|                  |            |            |            |            |
  −
o-------------------o------------o------------o------------o------------o
  −
</pre>
  −
<pre>
  −
Table 5.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
|      |    f      | Df| dx dy  | Df| dx(dy) | Df| (dx)dy | Df|(dx)(dy)|
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_1  |  (x)(y)  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_2  |  (x) y    |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_4  |    x (y)  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_8  |    x  y    |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_3  |  (x)      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_12 |    x      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_6  |  (x, y)  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_9  |  ((x, y))  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_5  |      (y)  |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_10 |      y    |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_7  |  (x  y)  |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_11 |  (x (y))  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_13 |  ((x) y)  |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_14 |  ((x)(y))  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
  −
|      |            |            |            |            |            |
  −
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
  −
</pre>
      
===Version 2===
 
===Version 2===
Line 2,780: Line 2,605:  
| <math>f_{0000}\!</math>
 
| <math>f_{0000}\!</math>
 
| 0 0 0 0
 
| 0 0 0 0
−
| <math>\circ\!(~)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|~|\!)</math>
 
| false
 
| false
 
| <math>0\!</math>
 
| <math>0\!</math>
Line 2,787: Line 2,612:  
| <math>f_{0001}\!</math>
 
| <math>f_{0001}\!</math>
 
| 0 0 0 1
 
| 0 0 0 1
−
| <math>\circ\!(x)\!\circ\circ\!(y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x|\!)(\!|y|\!)</math>
 
| neither x nor y
 
| neither x nor y
 
| <math>\lnot x \land \lnot y</math>
 
| <math>\lnot x \land \lnot y</math>
Line 2,794: Line 2,619:  
| <math>f_{0010}\!</math>
 
| <math>f_{0010}\!</math>
 
| 0 0 1 0
 
| 0 0 1 0
−
| <math>\circ\!(x)\!\circ\ y</math>
+
| <math>(\!|x|\!)\ y</math>
 
| y and not x
 
| y and not x
 
| <math>\lnot x \land y</math>
 
| <math>\lnot x \land y</math>
Line 2,801: Line 2,626:  
| <math>f_{0011}\!</math>
 
| <math>f_{0011}\!</math>
 
| 0 0 1 1
 
| 0 0 1 1
−
| <math>\circ\!(x)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x|\!)</math>
 
| not x
 
| not x
 
| <math>\lnot x</math>
 
| <math>\lnot x</math>
Line 2,808: Line 2,633:  
| <math>f_{0100}\!</math>
 
| <math>f_{0100}\!</math>
 
| 0 1 0 0
 
| 0 1 0 0
−
| <math>x\ \circ\!(y)\!\circ</math>
+
| <math>x\ (\!|y|\!)</math>
 
| x and not y
 
| x and not y
 
| <math>x \land \lnot y</math>
 
| <math>x \land \lnot y</math>
Line 2,815: Line 2,640:  
| <math>f_{0101}\!</math>
 
| <math>f_{0101}\!</math>
 
| 0 1 0 1
 
| 0 1 0 1
−
| <math>\circ\!(y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|y|\!)</math>
 
| not y
 
| not y
 
| <math>\lnot y</math>
 
| <math>\lnot y</math>
Line 2,822: Line 2,647:  
| <math>f_{0110}\!</math>
 
| <math>f_{0110}\!</math>
 
| 0 1 1 0
 
| 0 1 1 0
−
| <math>\circ\!(x,\ y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x,\ y|\!)</math>
 
| x not equal to y
 
| x not equal to y
 
| <math>x \ne y</math>
 
| <math>x \ne y</math>
Line 2,829: Line 2,654:  
| <math>f_{0111}\!</math>
 
| <math>f_{0111}\!</math>
 
| 0 1 1 1
 
| 0 1 1 1
−
| <math>\circ\!(x\ y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x\ y|\!)</math>
 
| not both x and y
 
| not both x and y
 
| <math>\lnot x \lor \lnot y</math>
 
| <math>\lnot x \lor \lnot y</math>
Line 2,843: Line 2,668:  
| <math>f_{1001}\!</math>
 
| <math>f_{1001}\!</math>
 
| 1 0 0 1
 
| 1 0 0 1
−
| <math>\circ\!(\circ\!(x,\ y)\!\circ)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|(\!|x,\ y|\!)|\!)</math>
 
| x equal to y
 
| x equal to y
 
| <math>x = y\!</math>
 
| <math>x = y\!</math>
Line 2,857: Line 2,682:  
| <math>f_{1011}\!</math>
 
| <math>f_{1011}\!</math>
 
| 1 0 1 1
 
| 1 0 1 1
−
| <math>\circ\!(x\ \circ\!(y)\!\circ)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x\ (\!|y|\!)|\!)</math>
 
| not x without y
 
| not x without y
 
| <math>x \Rightarrow y</math>
 
| <math>x \Rightarrow y</math>
Line 2,871: Line 2,696:  
| <math>f_{1101}\!</math>
 
| <math>f_{1101}\!</math>
 
| 1 1 0 1
 
| 1 1 0 1
−
| <math>\circ\!(\circ\!(x)\!\circ\ y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|(\!|x|\!)\ y|\!)</math>
 
| not y without x
 
| not y without x
 
| <math>x \Leftarrow y</math>
 
| <math>x \Leftarrow y</math>
Line 2,878: Line 2,703:  
| <math>f_{1110}\!</math>
 
| <math>f_{1110}\!</math>
 
| 1 1 1 0
 
| 1 1 1 0
−
| <math>\circ\!(\circ\!(x)\!\circ\circ\!(y)\!\circ)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|(\!|x|\!)(\!|y|\!)|\!)</math>
 
| x or y
 
| x or y
 
| <math>x \lor y</math>
 
| <math>x \lor y</math>
Line 2,885: Line 2,710:  
| <math>f_{1111}\!</math>
 
| <math>f_{1111}\!</math>
 
| 1 1 1 1
 
| 1 1 1 1
−
| <math>\circ\!(\circ\!(~)\!\circ)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|(\!|~|\!)|\!)</math>
 
| true
 
| true
 
| <math>1\!</math>
 
| <math>1\!</math>
Line 2,896: Line 2,721:  
| style="width:16%" | <math>f\!</math>
 
| style="width:16%" | <math>f\!</math>
 
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
 
| style="width:16%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
−
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+
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−
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+
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−
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+
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|-
 
|-
 
| <math>f_{0}\!</math>
 
| <math>f_{0}\!</math>
−
| <math>\circ\!(~)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|~|\!)</math>
−
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+
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−
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+
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−
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+
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−
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+
| <math>(\!|~|\!)</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{1}\!</math>
 
| <math>f_{1}\!</math>
−
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+
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| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
 
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−
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+
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−
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+
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−
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+
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|-
 
|-
 
| <math>f_{2}\!</math>
 
| <math>f_{2}\!</math>
−
| <math>\circ\!(x)\!\circ y</math>
+
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−
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+
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| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
 
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
−
| <math>\circ\!(\operatorname{d}x)\!\circ\circ\!(\operatorname{d}y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
−
| <math>\circ\!(\operatorname{d}x)\!\circ \operatorname{d}y</math>
+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{4}\!</math>
 
| <math>f_{4}\!</math>
−
| <math>x \circ\!(y)\!\circ</math>
+
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−
| <math>\circ\!(\operatorname{d}x)\!\circ \operatorname{d}y</math>
+
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−
| <math>\circ\!(\operatorname{d}x)\!\circ\circ\!(\operatorname{d}y)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
 
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
 
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
−
| <math>\operatorname{d}x \circ\!(\operatorname{d}y)\!\circ</math>
+
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|-
 
|-
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>f_{8}\!</math>
 
| <math>x y\!</math>
 
| <math>x y\!</math>
−
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+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)(\!|\operatorname{d}y|\!)</math>
−
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+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!) \operatorname{d}y</math>
−
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+
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| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
 
| <math>\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{3}\!</math>
 
| <math>f_{3}\!</math>
−
| <math>\circ\!(x)\!\circ</math>
+
| <math>(\!|x|\!)</math>
 
| <math>\operatorname{d}x</math>
 
| <math>\operatorname{d}x</math>
 
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−
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+
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−
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+
| <math>(\!|\operatorname{d}x|\!)</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{12}\!</math>
 
| <math>f_{12}\!</math>
 
| <math>x\!</math>
 
| <math>x\!</math>
−
| <math>\circ\!(\operatorname{d}x)\!\circ</math>
+
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−
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+
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| <math>\operatorname{d}x</math>
 
| <math>\operatorname{d}x</math>
 
| <math>\operatorname{d}x</math>
 
| <math>\operatorname{d}x</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{6}\!</math>
 
| <math>f_{6}\!</math>
−
| <math>\circ\!(x, y)\!\circ</math>
+
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−
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+
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−
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+
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−
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+
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−
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+
| <math>(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{9}\!</math>
 
| <math>f_{9}\!</math>
−
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+
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−
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+
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−
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+
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−
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+
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−
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+
| <math>(\!|(\!|\operatorname{d}x, \operatorname{d}y|\!)|\!)</math>
 
|-
 
|-
 
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| <math>f_{5}\!</math>
−
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+
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−
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+
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| <math>\operatorname{d}y</math>
−
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+
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|-
 
|-
 
| <math>f_{10}\!</math>
 
| <math>f_{10}\!</math>
 
| <math>y\!</math>
 
| <math>y\!</math>
−
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+
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| <math>\operatorname{d}y</math>
−
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+
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| <math>\operatorname{d}y</math>
 
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|-
 
|-
 
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| <math>f_{7}\!</math>
−
| <math>\circ\!(x y)\!\circ</math>
+
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−
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|-
 
|-
 
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| <math>f_{11}\!</math>
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|-
 
|-
 
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|-
 
|-
 
| <math>f_{14}\!</math>
 
| <math>f_{14}\!</math>
−
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|-
 
|-
 
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| <math>f_{15}\!</math>
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+
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|}<br>
 
|}<br>
Jon Awbrey
12,080

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