Changes

Line 667: Line 667:  
</pre>
 
</pre>
   −
=====1.3.12.2.  Derived Equivalence Relations=====
+
=====1.3.12.2.  Derived Equivalence Relations <big>&#10004;</big>=====
 
  −
The uses of the equal sign for denoting equations or equivalences are recalled and extended in the following ways:
  −
 
  −
1.  If E is an arbitrary equivalence relation,
  −
 
  −
then the equation "x =E y" means that <x, y> C E.
  −
 
  −
2.  If R is a sign relation such that RSI is a SER on S = I,
  −
 
  −
then the semiotic equation "x =R y" means that <x, y> C RSI.
  −
 
  −
3.  If R is a sign relation such that F is its DER on S = I,
  −
 
  −
then the denotative equation "x =R y" means that <x, y> C F,
  −
 
  −
in other words, that Den(R, x) = Den(R, y).
  −
 
  −
The uses of square brackets for denoting equivalence classes are recalled and extended in the following ways:
  −
 
  −
1.  If E is an arbitrary equivalence relation,
  −
 
  −
then "[x]E" denotes the equivalence class of x under E.
  −
 
  −
2.  If R is a sign relation such that Con(R) is a SER on S = I,
  −
 
  −
then "[x]R" denotes the SEC of x under Con(R).
  −
 
  −
3.  If R is a sign relation such that Der(R) is a DER on S = I,
  −
 
  −
then "[x]R" denotes the DEC of x under Der(R).
  −
 
  −
By applying the form of Fact 1 to the special case where X = Den(R, x) and Y = Den(R, y), one obtains the following facts.
  −
 
  −
<pre>
  −
Fact 2.1
  −
 
  −
If R c OxSxI,
  −
 
  −
then the following are identical subsets of SxI:
  −
 
  −
F2.1a. DerR :D13a
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1b. Der(R) :D13b
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1c. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Den(R, x) = Den(R, y)
  −
 
  −
} :D13c
  −
 
  −
:R9a
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1d. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
{Den(R, x)} = {Den(R, y)}
  −
 
  −
} :R9b
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1e. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
for all o C O
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) = {Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
} :R9c
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1f. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) = {Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
} :R9d
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1g. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {Den(R, x)}(o) , {Den(R, y)}(o) ))
  −
 
  −
} :R9e
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1h. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {Den(R, x)} , {Den(R, y)} ))$(o)
  −
 
  −
} :R9f
  −
 
  −
:D12e
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.1i. {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {ROS.x} , {ROS.y} ))$(o)
  −
 
  −
} :D12a
  −
</pre>
  −
 
  −
<pre>
  −
Fact 2.2
  −
 
  −
If R c OxSxI,
  −
 
  −
then the following are equivalent:
  −
 
  −
F2.2a. DerR = {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
} :R11a
  −
::
  −
 
  −
F2.2b. {DerR} = { {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
}
  −
 
  −
} :R11b
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.2c. {DerR} c SxIxB
  −
 
  −
:
  −
 
  −
{DerR} = {<x, y, v> C SxIxB :
  −
 
  −
v =
  −
 
  −
[ Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
]
  −
 
  −
} :R11c
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.2d. {DerR} = {<x, y, v> C SxIxB :
  −
 
  −
v =
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
[ {Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
]
  −
 
  −
} :Log
  −
 
  −
F2.2e. {DerR} = {<x, y, v> C SxIxB :
  −
 
  −
v =
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {Den(R, x)}(o),
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
))
  −
 
  −
} :Log
  −
 
  −
F2.2f. {DerR} = {<x, y, v> C SxIxB :
  −
 
  −
v =
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {Den(R, x)},
  −
 
  −
{Den(R, y)}
  −
 
  −
))$(o)
  −
 
  −
} :$
  −
</pre>
  −
 
  −
<pre>
  −
Fact 2.3
  −
 
  −
If R c OxSxI,
  −
 
  −
then the following are equivalent:
  −
 
  −
F2.3a. DerR = {<x, y> C SxI :
  −
 
  −
Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
} :R11a
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.3b. {DerR} : SxI -> B
  −
 
  −
:
  −
 
  −
{DerR}(x, y) = [ Conj(o C O)
  −
 
  −
{Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
] :R11d
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.3c. {DerR}(x, y) = Conj(o C O)
  −
 
  −
[ {Den(R, x)}(o) =
  −
 
  −
{Den(R, y)}(o)
  −
 
  −
] :Log
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.3d. {DerR}(x, y) = Conj(o C O)
  −
 
  −
[ {DenR}(o, x) =
  −
 
  −
{DenR}(o, y)
  −
 
  −
] :Def
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.3e. {DerR}(x, y) = Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {DenR}(o, x),
  −
 
  −
{DenR}(o, y)
  −
 
  −
)) :Log
  −
 
  −
:D10b
  −
 
  −
::
  −
 
  −
F2.3f. {DerR}(x, y) = Conj(o C O)
  −
 
  −
(( {ROS}(o, x),
  −
 
  −
{ROS}(o, y)
  −
 
  −
)) :D10a
  −
</pre>
      
=====1.3.12.3.  Digression on Derived Relations <big>&#10004;</big>=====
 
=====1.3.12.3.  Digression on Derived Relations <big>&#10004;</big>=====
12,080

edits