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Directory:Jon Awbrey/Papers/Differential Propositional Calculus (view source)

Revision as of 15:08, 19 June 2008

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==Appendix 1==
 
==Appendix 1==
−
  −
==Appendix 2==
      
===Propositional Forms on Two Variables===
 
===Propositional Forms on Two Variables===
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<br>
 
<br>
   −
===Detail of Calculation for the Difference Map===
+
==Appendix 2==
 +
 
 +
===Differential Forms===
 +
 
 +
====Expanded on a Logical Basis====
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
|+ '''Detail of Calculation for <math>\operatorname{D}f = \operatorname{E}f + f</math>'''
+
|+ '''Differential Forms Expanded on a Logical Basis'''
−
|- style="background:ghostwhite; height:60px"
+
|- style="background:ghostwhite; height:36px"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
| <math>f\!</math>
 +
| <math>\operatorname{D}f</math>
 +
| <math>\operatorname{d}f</math>
 +
|- style="height:36px"
 +
| <math>f_{0}\!</math>
 +
| <math>(~)\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
|-
 
|
 
|
−
<math>\begin{array}{cr}
+
{| align="center"
−
  & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
  −
+ &                f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
  −
= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
  −
\end{array}</math>
   
|
 
|
−
<math>\begin{array}{cr}
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
+
f_{1} \\
−
+ &                f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
+
f_{2} \\
−
= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
+
f_{4} \\
−
\end{array}</math>
+
f_{8} \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{array}{cr}
+
{| align="center"
−
  & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
  −
+ &                f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
  −
= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
  −
\end{array}</math>
   
|
 
|
−
<math>\begin{array}{cr}
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
+
(x) & (y) \\
−
+ &                f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
+
(x) &  y \\
−
= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
+
x  & (y) \\
−
\end{array}</math>
+
x &  y \\
−
|- style="height:40px"
+
\end{smallmatrix}</math>
−
| <math>f_{0}\!</math>
+
|}
−
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
  −
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
  −
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
  −
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
  −
|-
   
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" | <math>f_{1}\!</math>
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
|-
+
    (y)  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
| height="60px" | <math>f_{2}\!</math>
+
(x)    & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
−
|-
+
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
−
| height="60px" | <math>f_{4}\!</math>
+
    y  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
|-
+
(x)    & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
−
| height="60px" | <math>f_{8}\!</math>
+
(x, y)  &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
 +
    (y)  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
 +
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
 +
(x, y)  &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
 +
    y  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
 +
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
 +
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
 +
|
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
 +
y  & \partial x & + & (x) & \partial y \\
 +
(y) & \partial x & + &  x  & \partial y \\
 +
y  & \partial x & + &  x  & \partial y \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x  &  y  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
f_{3}  \\
−
+ &  (x) & (y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
f_{12} \\
−
= & ((x, &  y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
\end{smallmatrix}</math>
−
\end{smallmatrix}</math>
  −
|-
  −
| height="60px" |
  −
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  & x  & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
+ & (x) &  y  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
= & (x, &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
  −
|-
  −
| height="60px" |
  −
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  & (x) &  y  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
+ &  x  & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
= & (x, &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
  −
|-
  −
| height="60px" |
  −
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  &  (x) & (y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
+ &  x  &  y  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
= & ((x, &  y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
  −
\end{smallmatrix}</math>  
   
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" |
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x  & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
(x) \\
−
+ & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
x \\
−
= &    & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x  &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
+ & (x) & y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y  \\
−
= &     &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
 +
\operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
\partial x \\
−
+ &  x & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
\partial x \\
−
= &    & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x) &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
f_{6} \\
−
+ &  x  &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
f_{9} \\
−
= &    &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" |
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x) & y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
(x, & y) \\
−
+ & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
((x, & y)) \\
−
= & (x) &    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
+ & (x) &  y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
−
= & (x) &     & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
 +
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x  &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
\partial x & + & \partial y \\
−
+ &  x  & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
\partial x & + & \partial y \\
−
= &  x &     & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x  & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
f_{5}  \\
−
+ &  x  &  y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
f_{10} \\
−
= &  x  &    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" |
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
(y) \\
−
+ & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
y \\
−
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & (x)\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−
+ & (x)\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
−
= &   0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
 +
\operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|-
+
|}
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  &  x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
\partial y \\
−
+ &  x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
\partial y \\
−
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
|
 +
{| align="center"
 +
|
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & x\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
f_{7} \\
−
+ &  x\  y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
f_{11} \\
−
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
f_{13} \\
 +
f_{14} \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
−
|-
   
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" | <math>f_{3}\!</math>
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
|-
+
(x  &  y)  \\
−
| height="60px" | <math>f_{12}\!</math>
+
(x  & (y)) \\
 +
((x) &  y)  \\
 +
((x) & (y)) \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" |
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  x & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
    y   &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
+ & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−
= &  1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
((x, y)) & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
    (y)  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
|-
+
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−
| height="60px" |
+
(x, y)  & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
    y  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
−
  & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
(x)     & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
−
+ &  x  & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
  (x, y) & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
−
= &  1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
    (y)  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
 +
(x)    & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
 +
((x, y)) & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|-
+
|
−
| height="60px" |
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  & x & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
y  & \partial x & + & x & \partial y \\
−
+ & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
(y) & \partial x & + & x & \partial y \\
−
= & 1 & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
  y & \partial x & + & (x) & \partial y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
−
|-
  −
| height="60px" |
  −
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
+ &  x  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
= & 1  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 +
|- style="height:36px"
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
|}
 +
<br>
 +
 +
====Expanded on an Algebraic Basis====
 +
 +
==Appendix 3==
 +
 +
===Detail of Calculation for the Difference Map===
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Detail of Calculation for <math>\operatorname{D}f = \operatorname{E}f + f</math>'''
 +
|- style="background:ghostwhite; height:60px"
 +
| &nbsp;
 
|
 
|
−
{| align="center"
+
<math>\begin{array}{cr}
−
|-
+
  & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−
| height="60px" |
+
+ &                f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y} \\
−
   & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
\end{array}</math>
−
+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
|
−
= & 0  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
<math>\begin{array}{cr}
−
\end{smallmatrix}</math>
+
   & \operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
 +
+ &                f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
 +
= & \operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)} \\
 +
\end{array}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{array}{cr}
 +
  & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
 +
+ &                 f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
 +
= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y} \\
 +
\end{array}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{array}{cr}
 +
  & \operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
 +
+ &                 f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
 +
= & \operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)} \\
 +
\end{array}</math>
 +
|- style="height:40px"
 +
| <math>f_{0}\!</math>
 +
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
 +
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
 +
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
 +
| <math>0 + 0 = 0\!</math>
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
  −
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  &  x  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
  −
+ &  x  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
  −
= &  0  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
  −
|}
   
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
| height="60px" | <math>f_{1}\!</math>
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
|-
−
  & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
| height="60px" | <math>f_{2}\!</math>
−
+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
  −
= &  0  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
   
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
| height="60px" | <math>f_{4}\!</math>
−
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  &  x  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
  −
+ &  x  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
  −
= &  0  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
  −
|}
   
|-
 
|-
−
|
+
| height="60px" | <math>f_{8}\!</math>
−
{| align="center"
  −
|-
  −
| height="60px" | <math>f_{6}\!</math>
  −
|-
  −
| height="60px" | <math>f_{9}\!</math>
   
|}
 
|}
 
|
 
|
Line 7,797: Line 7,820:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  (x , y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   &  x  &  y   & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ &  (x , y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ &  (x) & (y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     0    & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= & ((x, &  y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
\end{smallmatrix}</math>  
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   &  x  & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) &  y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     0    & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= & (x, &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
\end{smallmatrix}</math>  
−
|}
  −
|
  −
{| align="center"
   
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x) &  y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ &  (x , y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ &  x  & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     1    & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= & (x, &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
\end{smallmatrix}</math>  
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  (x , y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   &  (x) & (y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ &   x &  y   & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     1    & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= & ((x, &  y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\end{smallmatrix}</math>
+
\end{smallmatrix}</math>  
 
|}
 
|}
 
|
 
|
Line 7,831: Line 7,851:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   &  x  & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & (x , y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= &     1     & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &    & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  (x , y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   &  x &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) &  y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= &    1    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &    & y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
  −
|
  −
{| align="center"
   
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x) & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ &  (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ &  x  & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= &     0     & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &    & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x) &  y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & x &  y & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &    & y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
−
|-
   
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|-
 
|-
−
| height="60px" | <math>f_{5}\!</math>
+
| height="60px" |
−
|-
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
| height="60px" | <math>f_{10}\!</math>
+
  & (x) &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
|}
+
+ & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
|
+
= & (x) &    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
{| align="center"
+
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   & (x) & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) & y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= & & 1  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= & (x) &     & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   & x  &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ & &  y  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ &  x  & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= & &  1 & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= &  x  &    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 +
|-
 +
| height="60px" |
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
  &  x  & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
+ & x  &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
= &  x &     & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
Line 7,890: Line 7,913:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & (x) (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= & &  0 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= &   0   & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x)\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & (x)\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= & &  0 & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= &   0   & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
  −
|
  −
{| align="center"
   
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & &  y & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   &  x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & x\ (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= & &  1  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &   0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   & x\  y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & & y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & x\ y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= & &  1  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &   0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{3}\!</math>
 +
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{12}\!</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
Line 7,924: Line 7,952:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & x  & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= & &  0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &  1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & & y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x) & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & &  y & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ &  x & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= & &  0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &  1 & & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
−
|-
   
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|-
 
|-
−
| height="60px" | <math>f_{7}\!</math>
+
| height="60px" |
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
  &  x  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
+ & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
= &  1  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| height="60px" | <math>f_{11}\!</math>
+
| height="60px" |
−
|-
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
| height="60px" | <math>f_{13}\!</math>
+
  & (x) & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
|-
+
+ &  x  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
| height="60px" | <math>f_{14}\!</math>
+
= &  1  & & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
Line 7,953: Line 7,986:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ & (x & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= & 0  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x) & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   & x & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ &  (x  & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ &  x  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= &  (x, & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= &  0  & & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & ((x) & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x) & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= &  (x, & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= &  0  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  (x  & y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
   &  x  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
+ & x & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
+
= & 0  & & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 +
|-
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
| height="60px" | <math>f_{6}\!</math>
−
<math>\begin{smallmatrix}
  −
  & ((x) &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
+ &  (x  &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
= &      &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
   
|-
 
|-
−
| height="60px" |
+
| height="60px" | <math>f_{9}\!</math>
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
|}
−
  & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
|
−
+ &  (x  & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
{| align="center"
−
= &      & (y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
   
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   &  (x &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   &  (x , y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x) & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & (x , y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= &     0    & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
   & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     & (y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
+
= &     0    & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
Line 8,015: Line 8,045:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & (x &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x , y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= & x  &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &     1    & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   & (x , y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & (x & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & ((x , y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
= & x  &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &     1    & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x) &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & (x , y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= & (x) &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &     1    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x) &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
   & (x , y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
= & (x) &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
+
= &     1    & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
Line 8,046: Line 8,079:  
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x\  y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & (x\  y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & (x , y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= &   0   & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &     0     & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
+ & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & ((x , y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
= &   0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= &     0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center"
 +
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{5}\!</math>
 +
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{10}\!</math>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & &  y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= & & 1  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| height="60px" |
 
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
   & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
   & & (y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
+ & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
+ & &  y & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
= &     0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
+
= & & 1  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
−
|- style="height:40px"
+
|
−
| <math>f_{15}\!</math>
+
{| align="center"
−
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
+
|-
−
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
+
| height="60px" |
−
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
+
  & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
|}
+
+ & & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
<br>
+
= & &  0  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
 
+
\end{smallmatrix}</math>
−
===Differential Forms===
  −
 
  −
====Expanded on a Logical Basis====
  −
 
  −
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
  −
|+ '''Differential Forms Expanded on a Logical Basis'''
  −
|- style="background:ghostwhite; height:36px"
  −
| &nbsp;
  −
| <math>f\!</math>
  −
| <math>\operatorname{D}f</math>
  −
| <math>\operatorname{d}f</math>
  −
|- style="height:36px"
  −
| <math>f_{0}\!</math>
  −
| <math>(~)\!</math>
  −
| <math>0\!</math>
  −
| <math>0\!</math>
   
|-
 
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
f_{1} \\
+
  & &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
f_{2} \\
+
+ & &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
f_{4} \\
+
= & &  0  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
f_{8} \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
  & &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
= & &  1  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
\end{smallmatrix}</math>
 +
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(x) & (y) \\
+
  & & (y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
(x) & y \\
+
+ & &  y  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
  x & (y) \\
+
= & & 1 & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
x & y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
    (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
  & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
(x)     & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
+
+ & & (y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
+
= & &  0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
    y  & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
\end{smallmatrix}</math>
−
(x)    & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
+
|-
−
(x, y)  &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
+
| height="60px" |
−
    (y) &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
  −
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
  −
  (x, y) & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
  −
    y  &  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
  −
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
  −
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
  −
\end{smallmatrix}</math>
  −
|}
  −
|
  −
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
+
  & & y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
  y  & \partial x & + & (x) & \partial y \\
+
+ & & y  & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
(y) & \partial x & + &  x & \partial y \\
+
= & &  0 & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
y  & \partial x & + &  x  & \partial y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
Line 8,149: Line 8,170:  
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
| height="60px" | <math>f_{7}\!</math>
−
f_{3} \\
+
|-
−
f_{12} \\
+
| height="60px" | <math>f_{11}\!</math>
−
\end{smallmatrix}</math>
+
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{13}\!</math>
 +
|-
 +
| height="60px" | <math>f_{14}\!</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(x) \\
+
  & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
  x  \\
+
+ &  (x  &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 +
= & ((x, & y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
  & ((x) &  y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
+
+ &  (x  & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
= &  (x, &  y) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
\partial x \\
+
  &  (x  & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
\partial x \\
+
+ & ((x) &  y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 +
= &  (x, &  y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
   
|-
 
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
f_{6} \\
+
  &  (x  &  y)  & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
−
f_{9} \\
+
+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 +
= & ((x, &  y)) & \operatorname{d}x & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(x, & y) \\
+
  & ((x) & y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
((x, & y)) \\
+
+ &  (x  &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
= &      &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
  & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
+
+ & (x  & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
  \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
= &     & (y)  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
+
<math>\begin{smallmatrix}
−
|
+
  &  (x  &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
<math>\begin{smallmatrix}
+
+ & ((x) &  y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
\partial x & + & \partial y \\
+
= &      &  y  & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
\partial x & + & \partial y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
   
|-
 
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
f_{5}  \\
+
  &  (x  & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
−
f_{10} \\
+
+ & ((x) & (y)) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 +
= &      & (y) & \operatorname{d}x & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(y) \\
+
  & (x  & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
  y  \\
+
+ & (x  &  y) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
= & x  &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
+
  & (x  &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
+
+ & (x & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
+
= &  x  &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
\operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
\partial y \\
+
  & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
\partial y \\
+
+ & ((x) &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 +
= &  (x) &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
   
|-
 
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
f_{7} \\
+
  & ((x) &  y)  & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
f_{11} \\
+
+ & ((x) & (y)) & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
f_{13} \\
+
= &  (x) &      & (\operatorname{d}x) & \operatorname{d}y \\
−
f_{14} \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
 
{| align="center"
 
{| align="center"
−
|
+
|-
 +
| height="60px" |
 
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
  (x & y) \\
+
  & (x\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
  (x & (y)) \\
+
+ & (x\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
((x) & y) \\
+
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
((x) & (y)) \\
+
\end{smallmatrix}</math>
 +
|-
 +
| height="60px" |
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
  & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 +
+ & (x\ (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 +
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
 
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
    y   & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
+
   & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y & + &
+
+ & ((x)\ y) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
+
= &    0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
    (y) & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
  −
  x      & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
  −
(x, y) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y \\
  −
    y  & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
  −
(x)     & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
  −
(x, y)  & \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
  −
     (y)  & \operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y) & + &
  −
(x)     & (\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y  & + &
  −
((x, y)) &  \operatorname{d}x\  \operatorname{d}y  \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
−
|}
+
|-
−
|
+
| height="60px" |
−
{| align="center"
  −
|
   
<math>\begin{smallmatrix}
 
<math>\begin{smallmatrix}
−
y  & \partial x & + &  x  & \partial y \\
+
  & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
(y) & \partial x & + &  x  & \partial y \\
+
+ & ((x) (y)) & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
y  & \partial x & + & (x) & \partial y \\
+
= &     0    & (\operatorname{d}x) & (\operatorname{d}y) \\
−
(y) & \partial x & + & (x) & \partial y \\
   
\end{smallmatrix}</math>
 
\end{smallmatrix}</math>
 
|}
 
|}
−
|- style="height:36px"
+
|- style="height:40px"
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{15}\!</math>
−
| <math>((~))\!</math>
+
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−
| <math>0\!</math>
+
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
−
| <math>0\!</math>
+
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
 +
| <math>1 + 1 = 0\!</math>
 
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
−
  −
====Expanded on an Algebraic Basis====
  −
  −
==Appendix 3==
  −
  −
==Appendix 4==
      
=References=
 
=References=
Jon Awbrey
12,080

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