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Revision as of 13:50, 24 April 2009

18,806 bytes added ,  13:50, 24 April 2009
→‎Logic of Relatives
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==Grammar Stuff==
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==Logic of Relatives==
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 3.  Relational Composition
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    L    #    X    |    Y    |        |
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o---------o---------o---------o---------o
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|    M    #        |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  L o M  #    X    |        |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
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|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 3.  Relational Composition}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
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| <math>X\!</math>
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| <math>Y\!</math>
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| &nbsp;
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>M\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Y\!</math>
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| <math>Z\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L \circ M</math>
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| <math>X\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Z\!</math>
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|}
 +
 
 +
<br>
    +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 12.  Algorithmic Translation Rules
+
Table 9.  Composite of Triadic and Dyadic Relations
−
o------------------------o---------o------------------------o
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|                       | Parse  |                       |
+
|         #  !1!  |   !1!  |   !1!  |   !1!  |
−
| Sentence in PARCE      |   -->  | Graph in PARC          |
+
o=========o=========o=========o=========o=========o
−
o------------------------o---------o------------------------o
+
|   G    #    T    |   U    |        |   V    |
−
|                        |        |                        |
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
| Conc^0                |  -->  | Node^0                |
+
|    L    #        |    U    |    W    |        |
−
|                        |        |                        |
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
| Conc^k_j  S_j          |  -->  | Node^k_j  Parse(S_j)  |
+
|  G o L  #    T    |        |    W    |    V    |
−
|                        |        |                        |
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
| Surc^0                |  -->  | Lobe^0                |
  −
|                        |        |                        |
  −
| Surc^k_j  S_j          |  -->  | Lobe^k_j  Parse(S_j)  |
  −
|                        |        |                        |
  −
o------------------------o---------o------------------------o
   
</pre>
 
</pre>
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|}
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 +
<br>
   −
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:96%"
+
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:75%"
−
|
+
|+ <math>\text{Table 9.  Composite of Triadic and Dyadic Relations}\!</math>
−
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:96%"
+
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:20%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>G\!</math>
 +
| <math>T\!</math>
 +
| <math>U\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>V\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>U\!</math>
 +
| <math>W\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>G \circ L</math>
 +
| <math>T\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| From
+
| <math>W\!</math>
−
| <math>(A)\!</math>
+
| <math>V\!</math>
−
| and
+
|}
−
| <math>(\operatorname{d}A)\!</math>
+
 
−
| infer
+
<br>
−
| <math>(A)\!</math>
+
 
−
| next.
+
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 13.  Another Brand of Composition
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    G    #    X    |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    T    #        |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  G o T  #    X    |        |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 13.  Another Brand of Composition}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>G\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Z\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>T\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Z\!</math>
 
|-
 
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>G \circ T</math>
 +
| <math>X\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| From
+
| <math>Z\!</math>
−
| <math>(A)\!</math>
+
|}
−
| and
+
 
−
| <math>\operatorname{d}A\!</math>
+
<br>
−
| infer
+
 
−
| <math>A\!</math>
+
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
−
| next.
+
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 15.  Conjunction Via Composition
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    L,  #    X    |    X    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    S    #        |    X    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  L , S  #    X    |        |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 15.  Conjunction Via Composition}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L,\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>S\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 
|-
 
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L,\!S</math>
 +
| <math>X\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| From
+
| <math>Y\!</math>
−
| <math>A\!</math>
+
|}
−
| and
+
 
−
| <math>(\operatorname{d}A)\!</math>
+
<br>
−
| infer
+
 
−
| <math>A\!</math>
+
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
−
| next.
+
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 18.  Relational Composition P o Q
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    P    #    X    |    Y    |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    Q    #        |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  P o Q  #    X    |        |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 18.  Relational Composition}~ P \circ Q</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>P\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
|-
 
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>Q\!</math>
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| From
+
| <math>Y\!</math>
−
| <math>A\!</math>
+
| <math>Z\!</math>
−
| and
+
|-
−
| <math>\operatorname{d}A\!</math>
+
| style="border-right:1px solid black" | <math>P \circ Q</math>
−
| infer
+
| <math>X\!</math>
−
| <math>(A)\!</math>
  −
| next.
   
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 +
| <math>Z\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 20.  Arrow:  J(L(u, v)) = K(Ju, Jv)
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #    J    |    J    |    J    |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    K    #    X    |    X    |    X    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    L    #    Y    |    Y    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 20.  Arrow Equation:}~~ J(L(u, v)) = K(Ju, Jv)</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>K\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
==Grammar Stuff==
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 13.  Algorithmic Translation Rules'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 +
| width="33%"    | <math>\text{Sentence in PARCE}\!</math>
 +
| align="center" | <math>\xrightarrow{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="33%"    | <math>\text{Graph in PARC}\!</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Conc}^0</math>
 +
| align="center" | <math>\xrightarrow{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Node}^0</math>
 +
|-
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Conc}_{j=1}^k s_j</math>
 +
| align="center" | <math>\xrightarrow{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Node}_{j=1}^k \operatorname{Parse} (s_j)</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Surc}^0</math>
 +
| align="center" | <math>\xrightarrow{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Lobe}^0</math>
 +
|-
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Surc}_{j=1}^k s_j</math>
 +
| align="center" | <math>\xrightarrow{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="33%"    | <math>\operatorname{Lobe}_{j=1}^k \operatorname{Parse} (s_j)</math>
 +
|}
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 14.1  Semantic Translation : Functional Form'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Sentence}</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow[\operatorname{~~~~~~~~~~}]{\operatorname{Parse}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Graph}</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow[\operatorname{~~~~~~~~~~}]{\operatorname{Denotation}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Proposition}</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>s_j\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>C_j\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>q_j\!</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Conc}^0</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Node}^0</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\underline{1}</math>
 +
|-
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Conc}^k_j s_j</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Node}^k_j C_j</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Conj}^k_j q_j</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Surc}^0</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^0</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\underline{0}</math>
 +
|-
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Surc}^k_j s_j</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^k_j C_j</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Surj}^k_j q_j</math>
 +
|}
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 14.2  Semantic Translation : Equational Form'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Sentence} \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>\stackrel{\operatorname{Parse}}{=}</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Graph} \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>\stackrel{\operatorname{Denotation}}{=}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Proposition}</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft s_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft C_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>q_j\!</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Conc}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Node}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\underline{1}</math>
 +
|-
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==Table Stuff==
 
==Table Stuff==
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{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
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|+ '''Table 15.  Boolean Functions on Zero Variables'''
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|+ '''Table 16.  Boolean Functions on One Variable'''
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|+ '''Table 17.  Boolean Functions on Two Variables'''
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| <math>((~))</math>
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Jon Awbrey
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