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Revision as of 20:12, 30 May 2008
, 20:12, 30 May 2008→Propositional Forms on Two Variables: sub new table
Table 2 exhibits the same information in a different order, grouping the sixteen functions into seven natural classes.
Table 2 exhibits the same information in a different order, grouping the sixteen functions into seven natural classes.
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
|+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables'''
|+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables'''
|- style="background:ghostwhite"
|- style="background:ghostwhite; height:36px"
| <math>\mathcal{L}_1</math>
| <math>\mathcal{L}_1</math>
| <math>\mathcal{L}_2</math>
| <math>\mathcal{L}_2</math>
| <math>\mathcal{L}_5</math>
| <math>\mathcal{L}_5</math>
| <math>\mathcal{L}_6</math>
| <math>\mathcal{L}_6</math>
|- style="background:ghostwhite"
|- style="background:ghostwhite; height:48px"
| <p> </p>
|
| align="right" | <p><math>x\!</math> :</p>
|
| <p>1 1 0 0</p>
{| align="right" style="background:ghostwhite; text-align:right"
| <p> </p>
|-
| <p> </p>
| <math>x\!</math> :
| <p> </p>
|-
|- style="background:ghostwhite"
| <math>y\!</math> :
| <p> </p>
|}
| align="right" | <p><math>y\!</math> :</p>
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{| align="center" style="background:ghostwhite"
|-
| 1 1 0 0
|-
|-
| 1 0 1 0
|}
|
|
|
|- style="height:36px"
| <p><math>f_{0}\!</math></p>
| <p><math>f_{0}\!</math></p>
| <p><math>f_{0000}\!</math></p>
| <p><math>f_{0000}\!</math></p>
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{1}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{1}\!</math></p>
<p><math>f_{2}\!</math></p>
|-
<p><math>f_{4}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{2}\!</math></p>
<p><math>f_{8}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{4}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{8}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{0001}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0001}\!</math></p>
<p><math>f_{0010}\!</math></p>
|-
<p><math>f_{0100}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0010}\!</math></p>
<p><math>f_{1000}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{0100}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1000}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p>0 0 0 1</p>
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<p>0 0 1 0</p>
|-
<p>0 1 0 0</p>
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<p>1 0 0 0</p>
|-
| height="36px" | <p>0 1 0 0</p>
|-
| height="36px" | <p>1 0 0 0</p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>(x)(y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x)(y)\!</math></p>
<p><math>(x)\ y\!</math></p>
|-
<p><math>x\ (y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x)\ y\!</math></p>
<p><math>x\ y\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ (y)\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ y\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
<p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
|-
<p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
| height="36px" | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
<p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
<p><math>\lnot x \land y</math></p>
|-
<p><math>x \land \lnot y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\lnot x \land y</math></p>
<p><math>x \land y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x \land \lnot y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x \land y</math></p>
|}
|}
|-
|-
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{3}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{3}\!</math></p>
<p><math>f_{12}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{12}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{0011}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0011}\!</math></p>
<p><math>f_{1100}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1100}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p>0 0 1 1</p>
| height="36px" | <p>0 0 1 1</p>
<p>1 1 0 0</p>
|-
| height="36px" | <p>1 1 0 0</p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>(x)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x)\!</math></p>
<p><math>x\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\operatorname{not}\ x</math></p>
| height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ x</math></p>
<p><math>x\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\lnot x</math></p>
| height="36px" | <p><math>\lnot x</math></p>
<p><math>x\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\!</math></p>
|}
|}
|-
|-
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{6}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{6}\!</math></p>
<p><math>f_{9}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{9}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{0110}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0110}\!</math></p>
<p><math>f_{1001}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1001}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p>0 1 1 0</p>
| height="36px" | <p>0 1 1 0</p>
<p>1 0 0 1</p>
|-
| height="36px" | <p>1 0 0 1</p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>(x,\ y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x,\ y)\!</math></p>
<p><math>((x,\ y))\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>((x,\ y))\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p>
| height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p>
<p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>x \ne y</math></p>
| height="36px" | <p><math>x \ne y</math></p>
<p><math>x = y\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x = y\!</math></p>
|}
|}
|-
|-
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{5}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{5}\!</math></p>
<p><math>f_{10}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{10}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{0101}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0101}\!</math></p>
<p><math>f_{1010}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1010}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p>0 1 0 1</p>
| height="36px" | <p>0 1 0 1</p>
<p>1 0 1 0</p>
|-
| height="36px" | <p>1 0 1 0</p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>(y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(y)\!</math></p>
<p><math>y\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>y\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
<p><math>y\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>y\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\lnot y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\lnot y</math></p>
<p><math>y\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>y\!</math></p>
|}
|}
|-
|-
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{7}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{7}\!</math></p>
<p><math>f_{11}\!</math></p>
|-
<p><math>f_{13}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{11}\!</math></p>
<p><math>f_{14}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{13}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{14}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>f_{0111}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{0111}\!</math></p>
<p><math>f_{1011}\!</math></p>
|-
<p><math>f_{1101}\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>f_{1011}\!</math></p>
<p><math>f_{1110}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1101}\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>f_{1110}\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p>0 1 1 1</p>
| height="36px" | <p>0 1 1 1</p>
<p>1 0 1 1</p>
|-
<p>1 1 0 1</p>
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<p>1 1 1 0</p>
|-
| height="36px" | <p>1 1 0 1</p>
|-
| height="36px" | <p>1 1 1 0</p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>(x\ y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x\ y)\!</math></p>
<p><math>(x\ (y))\!</math></p>
|-
<p><math>((x)\ y)\!</math></p>
| height="36px" | <p><math>(x\ (y))\!</math></p>
<p><math>((x)(y))\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>((x)\ y)\!</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>((x)(y))\!</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
<p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
|-
<p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
| height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
<p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
|}
|}
|
|
{| align="center"
{| align="center"
|
|-
<p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
| height="36px" | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
<p><math>x \Rightarrow y</math></p>
|-
<p><math>x \Leftarrow y</math></p>
| height="36px" | <p><math>x \Rightarrow y</math></p>
<p><math>x \lor y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x \Leftarrow y</math></p>
|-
| height="36px" | <p><math>x \lor y</math></p>
|}
|}
|-
|- style="height:36px"
| <p><math>f_{15}\!</math></p>
| <p><math>f_{15}\!</math></p>
| <p><math>f_{1111}\!</math></p>
| <p><math>f_{1111}\!</math></p>