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Directory:Jon Awbrey/Papers/Theme One Program : Exposition (view source)

Revision as of 22:12, 9 December 2015

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'''Author: Jon Awbrey'''
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{{DISPLAYTITLE:Theme One Program : Exposition}}
 
{{DISPLAYTITLE:Theme One Program : Exposition}}
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'''Author: [[User:Jon Awbrey|Jon Awbrey]]'''
    
==Expository Note 1==
 
==Expository Note 1==
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==Expository Note 13==
 
==Expository Note 13==
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<pre>
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'''3.3.  Logical Cacti'''
−
3.3.  Logical Cacti
+
 
 +
Up till now we've been working to hammer out a two-edged sword of syntax, honing the syntax of ''painted and rooted cacti and expressions'' (PARCAE), and turning it to use in taming the syntax of two-level formal languages.
 +
 
 +
But the purpose of a logical syntax is to support a logical semantics, which means, for starters, to bear interpretation as sentential signs that can denote objective propositions about some universe of objects.
 +
 
 +
One of the difficulties that we face in this discussion is that the words ''interpretation'', ''meaning'', ''semantics'', and so on will have so many different meanings from one moment to the next of their use.  A dedicated neologician might be able to think up distinctive names for all of the aspects of meaning and all of the approaches to them that will concern us here, but I will just have to do the best that I can with the common lot of ambiguous terms, leaving it to context and the intelligent interpreter to sort it out as much as possible.
 +
 
 +
As it happens, the language of cacti is so abstract that it can bear at least two different interpretations as logical sentences denoting logical propositions.  The two interpretations that I know about are descended from the ones that C.S. Peirce called the ''entitative'' and the ''existential'' interpretations of his systems of graphical logics.  For our present aims, I shall briefly introduce the alternatives and then quickly move to the existential interpretation of logical cacti.
   −
Up till now we've been working to hammer out a two-edged sword of syntax,
+
Table&nbsp;13 illustrates the ''existential interpretation'' of cactus graphs and cactus expressions by providing English translations for a few of the most basic and commonly occurring forms.
−
honing the syntax of "painted and rooted cacti and expressions" (PARCAE),
  −
and turning it to use in taming the syntax of two-level formal languages.
     −
But the purpose of a logical syntax is to support a logical semantics,
+
<br>
−
which means, for starters, to bear interpretation as sentential signs
  −
that can denote objective propositions about some universe of objects.
     −
One of the difficulties that we face in this discussion is that the
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
−
words "interpretation", "meaning", "semantics", and so on will have
+
|+ <math>\text{Table 13.}~~\text{Existential Interpretation}</math>
−
so many different meanings from one moment to the next of their use.
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
A dedicated neologician might be able to think up distinctive names
+
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
−
for all of the aspects of meaning and all of the approaches to them
+
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
−
that will concern us here, but I will just have to do the best that
+
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
−
I can with the common lot of ambiguous terms, leaving it to context
+
|-
−
and the intelligent interpreter to sort it out as much as possible.
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| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
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| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
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| <math>\operatorname{true}.</math>
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|-
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| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
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| <math>\texttt{(~)}</math>
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| <math>\operatorname{false}.</math>
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| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
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| <math>a\!</math>
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| <math>a.\!</math>
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|-
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| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
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| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
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<math>\begin{matrix}
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\tilde{a}
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\\[2pt]
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a^\prime
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\\[2pt]
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\lnot a
 +
\\[2pt]
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\operatorname{not}~ a.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
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| <math>a~b~c</math>
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<math>\begin{matrix}
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a \land b \land c
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\\[6pt]
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a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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a \lor b \lor c
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\\[6pt]
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a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
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| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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a \Rightarrow b
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\\[2pt]
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a ~\operatorname{implies}~ b.
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\\[2pt]
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\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
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\\[2pt]
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\operatorname{not}~ a ~\operatorname{without}~ b.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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a + b
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\\[2pt]
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a \neq b
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\\[2pt]
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a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
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\\[2pt]
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a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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a = b
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\\[2pt]
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a \iff b
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\\[2pt]
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a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
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a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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\operatorname{just~one~of}
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\\
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a, b, c
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\\
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\operatorname{is~false}.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
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a, b, c
 +
\\
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\operatorname{is~true}.
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\end{matrix}</math>
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|-
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| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
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| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
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|
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<math>\begin{matrix}
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\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
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\\[6pt]
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\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
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\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
   −
As it happens, the language of cacti is so abstract that it can bear
+
<br>
−
at least two different interpretations as logical sentences denoting
  −
logical propositions.  The two interpretations that I know about are
  −
descended from the ones that C.S. Peirce called the "entitative" and
  −
the "existential" interpretations of his systems of graphical logics.
  −
For our present aims, I shall briefly introduce the alternatives and
  −
then quickly move to the existential interpretation of logical cacti.
     −
Table 13 illustrates the "existential interpretation"
+
Table&nbsp;14 illustrates the ''entitative interpretation'' of cactus graphs and cactus expressions by providing English translations for a few of the most basic and commonly occurring forms.
−
of cactus graphs and cactus expressions by providing
  −
English translations for a few of the most basic and
  −
commonly occurring forms.
     −
Table 13.  The Existential Interpretation
+
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−
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
| Ex |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
  −
|    |                  |                  |  Interpretation  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|  1 |        @        |        " "        |      true.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  2 |        @        |        ( )        |      untrue.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|  5 |        @        |      a b c      |  a and b and c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|    |      o o o      |                  |                  |
  −
|    |        \|/        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |    a implies b.  |
  −
|    |        a  b    |                  |                  |
  −
|    |        o---o    |                  |    if a then b.  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  7 |        @        |    ( a (b))      |    no a sans b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  | a exclusive-or b. |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a not equal to b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  | a if & only if b. |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a equates with b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  just one false  |
  −
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  |  out of a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o  o  o      |                  |                  |
  −
|    |      |  |  |      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  just one true  |
  −
| 11 |        @        |  ((a),(b),(c))  |  among a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |  genus a over    |
  −
|    |        b  c      |                  |  species b, c.  |
  −
|    |        o  o      |                  |                  |
  −
|    |      a  |  |      |                  |  partition a    |
  −
|    |      o--o--o      |                  |  among b & c.    |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  whole pie a:    |
  −
| 12 |        @        |  ( a ,(b),(c))  |  slices b, c.    |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
     −
Table 14 illustrates the "entitative interpretation"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
−
of cactus graphs and cactus expressions by providing
+
|+ <math>\text{Table 14.}~~\text{Entitative Interpretation}</math>
−
English translations for a few of the most basic and
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
commonly occurring forms.
+
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
 +
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a, ~\operatorname{or}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
   −
Table 14.  The Entitative Interpretation
+
<br>
−
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
| En |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative    |
  −
|    |                  |                  |  Interpretation  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|  1 |        @        |        " "        |      untrue.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  2 |        @        |        ( )        |      true.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|  5 |        @        |      a b c      |    a or b or c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|    |      o o o      |                  |                  |
  −
|    |        \|/        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |  a and b and c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |    a implies b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o a      |                  |    if a then b.  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  7 |        @ b      |      (a) b        |    not a, or b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  | a if & only if b. |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a equates with b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  | a exclusive-or b. |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  | not just one true |
  −
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  | out of a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |  just one true  |
  −
| 11 |        @        |  (( a , b , c ))  |  among a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a            |                  |                  |
  −
|    |      o            |                  |  genus a over    |
  −
|    |      |  b  c      |                  |  species b, c.  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |  partition a    |
  −
|    |        \ /        |                  |  among b & c.    |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |  whole pie a:    |
  −
| 12 |        @        |  (((a), b , c ))  |  slices b, c.    |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
</pre>
      
==Expository Note 14==
 
==Expository Note 14==
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o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 
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</pre>
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[[Category:Adaptive Systems]]
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[[Category:Artificial Intelligence]]
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[[Category:Automated Reasoning]]
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[[Category:Charles Sanders Peirce]]
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[[Category:Constraint Satisfaction]]
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[[Category:Declarative Programming]]
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[[Category:Formal Languages]]
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[[Category:Graph Theory]]
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[[Category:Inquiry]]
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[[Category:Inquiry Driven Systems]]
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[[Category:Learning Systems]]
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[[Category:Learning Theory]]
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[[Category:Logic]]
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[[Category:Logical Graphs]]
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[[Category:Logical Modeling]]
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[[Category:Model Theory]]
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[[Category:Programming]]
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[[Category:Propositional Calculus]]
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[[Category:Scientific Method]]
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[[Category:Semiotics]]
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[[Category:Sign Relations]]
Jon Awbrey
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