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Directory:Jon Awbrey/Papers/Theme One Program : Exposition (view source)

Revision as of 22:12, 9 December 2015

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'''Author: Jon Awbrey'''
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{{DISPLAYTITLE:Theme One Program : Exposition}}
 
{{DISPLAYTITLE:Theme One Program : Exposition}}
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'''Author: [[User:Jon Awbrey|Jon Awbrey]]'''
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==Expository Note 1==
    
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TOP.  Theme One Program -- Exposition
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TOP.  Expository Note 1
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Theme One Program Exposition
 
Theme One Program Exposition
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particular varieties and the specific variants of cactoid graphs
 
particular varieties and the specific variants of cactoid graphs
 
that constitute the main formal media of the program's operation.
 
that constitute the main formal media of the program's operation.
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==Expository Note 2==
−
 
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TOP.  Expository Note 2
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2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers
 
2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers
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of identifiers, the "paints", plus three punctuation marks,
 
of identifiers, the "paints", plus three punctuation marks,
 
the left parenthesis, the comma, and the right parenthesis.
 
the left parenthesis, the comma, and the right parenthesis.
 +
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   −
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==Expository Note 3==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 3
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<pre>
 
2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers (cont.)
 
2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers (cont.)
   Line 230: Line 219:  
PERS.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/thread.html#1391
 
PERS.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/thread.html#1391
 
PERS.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=297
 
PERS.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=297
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==Expository Note 4==
−
 
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TOP.  Expository Note 4
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2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers (concl.)
 
2.  Painted And Rooted Cacti And Conifers (concl.)
   Line 320: Line 307:  
but it cannot be segmented, that is, the 'by'-cycle corresponding to the
 
but it cannot be segmented, that is, the 'by'-cycle corresponding to the
 
root node can bear no commas.
 
root node can bear no commas.
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   −
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==Expository Note 5==
   −
TOP.  Expository Note 5
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3.  Lexical, Literal, Logical
   −
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Theme One puts cactus graphs to work in three distinct but related ways,
−
 
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3.  Lexical, Literal, Logical
  −
 
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Theme One puts cactus graphs to work in three distinct but related ways,
   
what we shall call the "lexical", the "literal", and the "logical" uses,
 
what we shall call the "lexical", the "literal", and the "logical" uses,
 
and these applications make use of three distinct but overlapping subsets
 
and these applications make use of three distinct but overlapping subsets
Line 350: Line 335:  
of cactus graphs we have a bit more to do in the way of detailing their
 
of cactus graphs we have a bit more to do in the way of detailing their
 
syntactic utilities.  So those are the matters that I will turn to next.
 
syntactic utilities.  So those are the matters that I will turn to next.
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+
==Expository Note 6==
−
 
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TOP.  Expository Note 6
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<pre>
 
3.1.  Lexical Cacti
 
3.1.  Lexical Cacti
   Line 402: Line 385:  
the left and right parentheses, and the period, as these latter
 
the left and right parentheses, and the period, as these latter
 
marks are reserved to special purposes by the Theme One program.
 
marks are reserved to special purposes by the Theme One program.
 +
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   −
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+
==Expository Note 7==
−
 
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TOP.  Expository Note 7
  −
 
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      +
<pre>
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
   Line 479: Line 460:     
   Figure 5.  Concrete Lexical Cactus:  am
 
   Figure 5.  Concrete Lexical Cactus:  am
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   −
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+
==Expository Note 8==
−
 
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TOP.  Expository Note 8
  −
 
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      +
<pre>
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
   Line 587: Line 566:     
   Figure 6.  Lexical Cactus:  all bees buzz
 
   Figure 6.  Lexical Cactus:  all bees buzz
 +
</pre>
   −
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+
==Expository Note 9==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 9
  −
 
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o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
      +
<pre>
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
 
3.1.  Lexical Cacti (cont.)
   Line 683: Line 660:  
to view these for now as a form of "parity checks", or a built-in
 
to view these for now as a form of "parity checks", or a built-in
 
redundancy for controlling potential errors in coding the data.
 
redundancy for controlling potential errors in coding the data.
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</pre>
   −
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+
==Expository Note 10==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 10
  −
 
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      +
<pre>
 
3.1.  Lexical Cacti (concl.)
 
3.1.  Lexical Cacti (concl.)
   Line 883: Line 858:     
   Figure 9.  Making a Big Point of a Prefix Word
 
   Figure 9.  Making a Big Point of a Prefix Word
 +
</pre>
   −
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==Expository Note 11==
−
 
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TOP.  Expository Note 11
  −
 
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<pre>
 
3.2.  Literal Cacti
 
3.2.  Literal Cacti
   Line 1,068: Line 1,041:     
   Figure 11.  Lexical Cactus + Literal Cactus:  am
 
   Figure 11.  Lexical Cactus + Literal Cactus:  am
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</pre>
   −
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+
==Expository Note 12==
−
 
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TOP.  Expository Note 12
  −
 
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      +
<pre>
 
3.2.  Literal Cacti (concl.)
 
3.2.  Literal Cacti (concl.)
   Line 1,209: Line 1,180:  
that we need to get back to logical cacti, and that amounts to such
 
that we need to get back to logical cacti, and that amounts to such
 
a compelling subject that I cannot resist returning to it at once.
 
a compelling subject that I cannot resist returning to it at once.
 +
</pre>
   −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
==Expository Note 13==
   −
TOP.  Expository Note 13
+
'''3.3.  Logical Cacti'''
   −
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+
Up till now we've been working to hammer out a two-edged sword of syntax, honing the syntax of ''painted and rooted cacti and expressions'' (PARCAE), and turning it to use in taming the syntax of two-level formal languages.
   −
3.3.  Logical Cacti
+
But the purpose of a logical syntax is to support a logical semantics, which means, for starters, to bear interpretation as sentential signs that can denote objective propositions about some universe of objects.
   −
Up till now we've been working to hammer out a two-edged sword of syntax,
+
One of the difficulties that we face in this discussion is that the words ''interpretation'', ''meaning'', ''semantics'', and so on will have so many different meanings from one moment to the next of their use.  A dedicated neologician might be able to think up distinctive names for all of the aspects of meaning and all of the approaches to them that will concern us here, but I will just have to do the best that I can with the common lot of ambiguous terms, leaving it to context and the intelligent interpreter to sort it out as much as possible.
−
honing the syntax of "painted and rooted cacti and expressions" (PARCAE),
  −
and turning it to use in taming the syntax of two-level formal languages.
     −
But the purpose of a logical syntax is to support a logical semantics,
+
As it happens, the language of cacti is so abstract that it can bear at least two different interpretations as logical sentences denoting logical propositions.  The two interpretations that I know about are descended from the ones that C.S. Peirce called the ''entitative'' and the ''existential'' interpretations of his systems of graphical logics.  For our present aims, I shall briefly introduce the alternatives and then quickly move to the existential interpretation of logical cacti.
−
which means, for starters, to bear interpretation as sentential signs
  −
that can denote objective propositions about some universe of objects.
     −
One of the difficulties that we face in this discussion is that the
+
Table&nbsp;13 illustrates the ''existential interpretation'' of cactus graphs and cactus expressions by providing English translations for a few of the most basic and commonly occurring forms.
−
words "interpretation", "meaning", "semantics", and so on will have
  −
so many different meanings from one moment to the next of their use.
  −
A dedicated neologician might be able to think up distinctive names
  −
for all of the aspects of meaning and all of the approaches to them
  −
that will concern us here, but I will just have to do the best that
  −
I can with the common lot of ambiguous terms, leaving it to context
  −
and the intelligent interpreter to sort it out as much as possible.
     −
As it happens, the language of cacti is so abstract that it can bear
+
<br>
−
at least two different interpretations as logical sentences denoting
  −
logical propositions.  The two interpretations that I know about are
  −
descended from the ones that C.S. Peirce called the "entitative" and
  −
the "existential" interpretations of his systems of graphical logics.
  −
For our present aims, I shall briefly introduce the alternatives and
  −
then quickly move to the existential interpretation of logical cacti.
     −
Table 13 illustrates the "existential interpretation"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
−
of cactus graphs and cactus expressions by providing
+
|+ <math>\text{Table 13.}~~\text{Existential Interpretation}</math>
−
English translations for a few of the most basic and
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
commonly occurring forms.
+
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
 +
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a ~\operatorname{without}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
   −
Table 13.  The Existential Interpretation
+
<br>
−
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
| Ex |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
  −
|    |                  |                  |  Interpretation  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|  1 |        @        |        " "        |      true.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  2 |        @        |        ( )        |      untrue.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|  5 |        @        |      a b c      |  a and b and c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|    |      o o o      |                  |                  |
  −
|    |        \|/        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |    a implies b.  |
  −
|    |        a  b    |                  |                  |
  −
|    |        o---o    |                  |    if a then b.  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  7 |        @        |    ( a (b))      |    no a sans b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  | a exclusive-or b. |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a not equal to b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  | a if & only if b. |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a equates with b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  just one false  |
  −
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  |  out of a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o  o  o      |                  |                  |
  −
|    |      |  |  |      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  just one true  |
  −
| 11 |        @        |  ((a),(b),(c))  |  among a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |  genus a over    |
  −
|    |        b  c      |                  |  species b, c.  |
  −
|    |        o  o      |                  |                  |
  −
|    |      a  |  |      |                  |  partition a    |
  −
|    |      o--o--o      |                  |  among b & c.    |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |  whole pie a:    |
  −
| 12 |        @        |  ( a ,(b),(c))  |  slices b, c.    |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
     −
Table 14 illustrates the "entitative interpretation"
+
Table&nbsp;14 illustrates the ''entitative interpretation'' of cactus graphs and cactus expressions by providing English translations for a few of the most basic and commonly occurring forms.
−
of cactus graphs and cactus expressions by providing
  −
English translations for a few of the most basic and
  −
commonly occurring forms.
     −
Table 14.  The Entitative Interpretation
+
<br>
−
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
| En |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative    |
  −
|    |                  |                  |  Interpretation  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|  1 |        @        |        " "        |      untrue.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  2 |        @        |        ( )        |      true.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        a        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|  5 |        @        |      a b c      |    a or b or c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a b c      |                  |                  |
  −
|    |      o o o      |                  |                  |
  −
|    |        \|/        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |  a and b and c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |                  |                  |    a implies b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |        o a      |                  |    if a then b.  |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  7 |        @ b      |      (a) b        |    not a, or b.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  | a if & only if b. |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|  8 |        @        |    ( a , b )    | a equates with b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b      |                  |                  |
  −
|    |      o---o      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  | a exclusive-or b. |
  −
|    |        |        |                  |                  |
  −
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  | not just one true |
  −
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  | out of a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a  b  c      |                  |                  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |                  |
  −
|    |        \ /        |                  |                  |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |  just one true  |
  −
| 11 |        @        |  (( a , b , c ))  |  among a, b, c.  |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
|    |      a            |                  |                  |
  −
|    |      o            |                  |  genus a over    |
  −
|    |      |  b  c      |                  |  species b, c.  |
  −
|    |      o--o--o      |                  |                  |
  −
|    |      \  /      |                  |  partition a    |
  −
|    |        \ /        |                  |  among b & c.    |
  −
|    |        o        |                  |                  |
  −
|    |        |        |                  |  whole pie a:    |
  −
| 12 |        @        |  (((a), b , c ))  |  slices b, c.    |
  −
|    |                  |                  |                  |
  −
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
     −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table 14.}~~\text{Entitative Interpretation}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
 +
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
 +
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
 +
| <math>\operatorname{false}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(~)}</math>
 +
| <math>\operatorname{true}.</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
 +
| <math>a\!</math>
 +
| <math>a.\!</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a, ~\operatorname{or}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
   −
TOP.  Expository Note 14
+
<br>
   −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
==Expository Note 14==
    +
<pre>
 
3.3.  Logical Cacti (cont.)
 
3.3.  Logical Cacti (cont.)
   Line 1,568: Line 1,573:  
with a few hints of what it would take to
 
with a few hints of what it would take to
 
guarantee that these practices make sense.
 
guarantee that these practices make sense.
 +
</pre>
   −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
==Expository Note 15==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 15
  −
 
  −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
      +
<pre>
 
3.3.  Logical Cacti (cont.)
 
3.3.  Logical Cacti (cont.)
   Line 1,654: Line 1,657:  
arises in the case of logical cacti,
 
arises in the case of logical cacti,
 
so let us now turn to consider that.
 
so let us now turn to consider that.
 +
</pre>
   −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
==Expository Note 16==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 16
  −
 
  −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
      +
<pre>
 
3.3.1.  Bare Cacti and Their Arithmetic
 
3.3.1.  Bare Cacti and Their Arithmetic
   Line 1,813: Line 1,814:  
| Rule I_4` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
 
| Rule I_4` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
 
o-----------------------------------------------------------o
 
o-----------------------------------------------------------o
 +
</pre>
   −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
+
==Expository Note 17==
−
 
  −
TOP.  Expository Note 17
  −
 
  −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
      +
<pre>
 
3.3.1.  Bare Cacti and Their Arithmetic (cont.)
 
3.3.1.  Bare Cacti and Their Arithmetic (cont.)
 +
</pre>
    +
==Work Area==
   −
 
+
<pre>
−
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
  −
 
  −
Work Area
  −
 
  −
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
  −
 
   
  Example 1.  Painted And Rooted Cactus.
 
  Example 1.  Painted And Rooted Cactus.
   Line 2,619: Line 2,614:  
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
[[Category:Adaptive Systems]]
 +
[[Category:Artificial Intelligence]]
 +
[[Category:Automated Reasoning]]
 +
[[Category:Charles Sanders Peirce]]
 +
[[Category:Constraint Satisfaction]]
 +
[[Category:Declarative Programming]]
 +
[[Category:Formal Languages]]
 +
[[Category:Graph Theory]]
 +
[[Category:Inquiry]]
 +
[[Category:Inquiry Driven Systems]]
 +
[[Category:Learning Systems]]
 +
[[Category:Learning Theory]]
 +
[[Category:Logic]]
 +
[[Category:Logical Graphs]]
 +
[[Category:Logical Modeling]]
 +
[[Category:Model Theory]]
 +
[[Category:Programming]]
 +
[[Category:Propositional Calculus]]
 +
[[Category:Scientific Method]]
 +
[[Category:Semiotics]]
 +
[[Category:Sign Relations]]
Jon Awbrey
12,080

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