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Revision as of 21:28, 29 July 2009
, 21:28, 29 July 2009→Case analysis-synthesis theorem: del figure hatching
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| Case Analysis-Synthesis Theorem (CAST)` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Case Analysis-Synthesis Theorem (CAST) |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `x` ` ` ` ` ` |
| x |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` |
| o |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `x` `|` ` ` ` ` ` |
| x | |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` Q[o/x] o---o Q[|/x] ` ` |
| Q[o/x] o---o Q[|/x] |
| ` ` ` ` ` ` `Q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` |
| Q \ / |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| @ = @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` `Q` ` ` ` ` ` ` = ` ( Q[o/x] x , Q[|/x] (x) ) |
| Q = ( Q[o/x] x , Q[|/x] (x) ) |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| Precept L_1.` Indifference` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Precept L_1. Indifference |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` a ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| a |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| o |
| ` ` ` ` ` ` ` ` a ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` o---o ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| o---o |
| ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` @ ` ` ` ` = ` ` ` ` @ ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| @ = @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` ` `(a, (a)) ` ` = ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| (a, (a)) = |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` Split <---- | ----> Merge ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Split <---- | ----> Merge |
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| Precept L_2.` Equality. `The Following Are Equivalent:` ` |
| Precept L_2. Equality. The Following Are Equivalent: |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` b ` ` ` ` ` ` ` a ` b ` ` ` ` ` ` ` a ` ` ` ` ` |
| b a b a |
| ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` o---o ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` |
| o o---o o |
| ` ` ` a ` | ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` | ` b ` ` ` |
| a | \ / | b |
| ` ` ` o---o ` ` ` ` ` ` ` ` o ` ` ` ` ` ` ` ` o---o ` ` ` |
| o---o o o---o |
| ` ` ` `\ /` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` `\ /` ` ` ` |
| \ / | \ / |
| ` ` ` ` @ ` ` ` ` = ` ` ` ` @ ` ` ` ` = ` ` ` ` @ ` ` ` ` |
| @ = @ = @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` `(a, (b)) ` ` = ` ` ((a , b)) ` ` = ` ` ((a), b)` ` ` |
| (a, (b)) = ((a , b)) = ((a), b) |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| Precept L_3.` Dispersion` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Precept L_3. Dispersion |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| For k > 1, the following equation holds:` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| For k > 1, the following equation holds: |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` y_1 ` `y_2` `...` ` y_k ` ` x y_1 `x y_2` `...` x y_k ` |
| y_1 y_2 ... y_k x y_1 x y_2 ... x y_k |
| ` `o------o-...-o------o` ` ` ` `o------o-...-o------o` ` |
| o------o-...-o------o o------o-...-o------o |
| ` ` \ ` ` ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` ` ` / ` ` |
| \ / \ / |
| ` ` `\` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` ` ` `/` ` ` |
| \ / \ / |
| ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` ` ` / ` ` ` |
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| ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` ` ` `/` ` ` ` |
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| ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` ` ` / ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` ` ` `/` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ ` ` / ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `\` `/` ` ` ` ` ` |
| \ / \ / |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` |
| \ / \ / |
| ` ` ` ` ` `x O` ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` |
| x O = @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` x (y_1, ..., y_k) ` ` ` = ` ` (x y_1, ..., x y_k) ` ` |
| x (y_1, ..., y_k) = (x y_1, ..., x y_k) |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
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| ` ` ` ` ` Distill ` ` <---- | ----> ` ` Disperse` ` ` ` ` |
| Distill <---- | ----> Disperse |
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| Case Analysis-Synthesis Theorem.` Proof Sketch. ` ` ` ` ` |
| Case Analysis-Synthesis Theorem. Proof Sketch. |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` `Q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Q |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
o=============================< L1. Split " " >=============o
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` ` `x` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `x` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `o---o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `Q O` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Q O |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
o=============================< L3. Disperse "Q" >==========o
o=============================< L3. Disperse "Q" >==========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` `x` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `x` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x | |
| ` ` ` ` `Q o---o Q` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Q o---o Q |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| \ / |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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o=============================< C1. Reflect "x" >===========o
o=============================< C1. Reflect "x" >===========o
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
| ` ` ` ` ` ` ` `x` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `x` `|` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x | |
| ` ` ` ` `Q o---o Q[((x))/x] ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Q o---o Q[((x))/x] |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| \ / |
| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| |
o=============================< C2. Weed "x", "(x)" >=======o
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` `x` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x |
| ` ` ` ` ` ` ` `o` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` `x ` |` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| x | |
| ` ` Q[o/x] o---o Q[|/x] ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Q[o/x] o---o Q[|/x] |
| ` ` ` ` ` ` \ / ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` `@` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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o=============================< QES >=======================o
o=============================< QES >=======================o
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| Praeclarum Theorema.` Proof by CAST.` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Praeclarum Theorema. Proof by CAST. |
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| ` ` b o ` o c ` ` o bc` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| b o o c o bc |
| ` ` ` | ` | ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` a o ` o d ` ` o ad` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| a o o d o ad |
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| @ |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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o=============================< CAST "a" >==================o
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` b o ` o c ` o bc` ` ` ` ` ` ` b o ` o c ` o o ` ` ` ` |
| b o o c o bc b o o c o o |
| ` ` ` | ` | ` ` | ` ` ` ` ` ` ` ` ` | ` | ` ` |/` ` ` ` ` |
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| ` ` ` o ` o d ` o d ` ` ` ` ` ` `o--o ` o d ` o d ` ` ` ` |
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| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` b o ` o c ` o bc` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o c ` ` o ` ` ` ` |
| b o o c o bc o c o |
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| ` ` ` o ` o d ` o d ` ` ` ` ` ` `o--o ` o d ` o ` ` ` ` ` |
| o o d o d o--o o d o |
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| ` ` b o ` o c ` o bc` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o c ` ` ` ` ` ` ` |
| b o o c o bc o c |
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| ` ` ` o ` o d ` o d ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` o d ` ` ` ` ` ` ` |
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| ` ` b o ` o c ` o bc` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| b o o c o bc |
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| Either not 'a' and thus 'true' |
| ` ` Or ` ` 'a' and thus ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Or 'a' and thus |
| ` ` ` `Either not 'd' and thus 'true' ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Either not 'd' and thus 'true' |
| ` ` ` ` ` `Or ` ` 'd' and thus` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Or 'd' and thus |
| ` ` ` ` ` ` ` Either not 'b' and thus 'true'` ` ` ` ` ` ` |
| Either not 'b' and thus 'true' |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` Or ` ` 'b' and thus ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` |
| Or 'b' and thus |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `Either not 'c' and thus 'true' ` ` ` |
| Either not 'c' and thus 'true' |
| ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `Or ` ` 'c' and thus true.` ` ` ` |
| Or 'c' and thus true. |
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