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{{DISPLAYTITLE:Dynamics And Logic}}
 
{{DISPLAYTITLE:Dynamics And Logic}}
 +
<pre>
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Dynamics And Logic
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 1
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
I am going to excerpt some of my previous explorations
 +
on differential logic and dynamic systems and bring them
 +
to bear on the sorts of discrete dynamical themes that we
 +
find of interest in the NKS Forum.  This adaptation draws on
 +
the "Cactus Rules", "Propositional Equation Reasoning Systems",
 +
and "Reductions Among Relations" threads, and will in time be
 +
applied to the "Differential Analytic Turing Automata" thread:
 +
 +
CR.    http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=256
 +
PERS.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=297
 +
RAR.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=400
 +
DATA.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=228
 +
 +
One of the first things that you can do, once you have
 +
a moderately functional calculus for boolean functions
 +
or propositional logic, whatever you choose to call it,
 +
is to start thinking about, and even start computing,
 +
the differentials of these functions or propositions.
 +
 +
Let us start with a proposition of the form "p and q",
 +
that is graphed as two labels attached to a root node:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                      p q                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                    p and q                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Written as a string, this is just the concatenation "p q".
 +
 +
The proposition pq may be taken as a boolean function f<p, q>
 +
having the abstract type f : B x B -> B, where B = {0, 1} is
 +
read in such a way that 0 means "false" and 1 means "true".
 +
 +
In this style of graphical representation,
 +
the value "true" looks like a blank label
 +
and the value "false" looks like an edge.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                      true                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        o                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                      false                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Back to the proposition pq.  Imagine yourself standing
 +
in a fixed cell of the corresponding venn diagram, say,
 +
the cell where the proposition pq is true, as pictured:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|        /            \ /            \        |
 +
|        /              o              \        |
 +
|      /              /%\              \      |
 +
|      /              /%%%\              \      |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |      P      |%%%%%|      Q      |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|      \              \%%%/              /      |
 +
|      \              \%/              /      |
 +
|        \              o              /        |
 +
|        \            / \            /        |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Now ask yourself:  What is the value of the
 +
proposition pq at a distance of dp and dq
 +
from the cell pq where you are standing?
 +
 +
Don't think about it -- just compute:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  dp o  o dq                  |
 +
|                    / \ / \                    |
 +
|                  p o---@---o q                  |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                (p, dp) (q, dq)                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
To make future graphs easier to draw in Asciiland,
 +
I'll use devices like @=@=@ and o=o=o to identify
 +
several nodes into one, as in this next redrawing:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  p  dp q  dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                (p, dp) (q, dq)                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
However you draw it, these expressions follow because the
 +
expression p + dp, where the plus sign indicates addition
 +
in B and thus corresponds to the exclusive-or in logic,
 +
parses to a graph of the following form:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                    p    dp                    |
 +
|                      o---o                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                    (p, dp)                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Next question:  What is the difference between the value of the
 +
proposition pq "over there", at a remove of dp dq, and the value
 +
of the proposition pq where you are, all expressed in the form of
 +
a general formula, of course?  Here is the appropriate formulation:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|            p  dp q  dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /                          |
 +
|                \| |/        p q                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|              ((p, dp)(q, dq), p q)              |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
There is one thing that I ought to mention at this point:
 +
Computed over B, plus and minus are identical operations.
 +
This will make the relation between the differential and
 +
the integral parts of the appropriate calculus slightly
 +
stranger than usual, but we will get into that later.
 +
 +
Last question, for now:  What is the value of this expression
 +
from your current standpoint, that is, evaluated at the point
 +
where pq is true?  Well, substituting 1 for p and 1 for q in
 +
the graph amounts to erasing the labels "p" and "q", like so:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                dp    dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /                          |
 +
|                \| |/                            |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|              (( , dp)( , dq),    )              |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
And this is equivalent to the following graph:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                    dp  dq                    |
 +
|                      o  o                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        o                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                  ((dp) (dq))                  |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 2
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
We have just met with the fact that
 +
the differential of the "and" is
 +
the "or" of the differentials.
 +
 +
p and q --Diff--> dp or dq.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                    dp  dq      |
 +
|                                    o  o      |
 +
|                                      \ /        |
 +
|                                      o        |
 +
|        p q                            |        |
 +
|        @          --Diff-->          @        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|        p q        --Diff-->    ((dp) (dq))    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
It will be necessary to develop a more refined analysis of
 +
this statement directly, but that is roughly the nub of it.
 +
 +
If the form of the above statement reminds you of DeMorgan's rule,
 +
it is no accident, as differentiation and negation turn out to be
 +
closely related operations.  Indeed, one can find discussions of
 +
logical difference calculus in the Boole-DeMorgan correspondence
 +
and Peirce also made use of differential operators in a logical
 +
context, but the exploration of these ideas has been hampered
 +
by a number of factors, not the least of which has been the
 +
lack of a syntax that was up to handling the complexity of
 +
the expressions that evolve.
 +
 +
Let us run through the initial example again, this time attempting
 +
to interpret the formulas that develop at each stage along the way.
 +
 +
We begin with a proposition, or a boolean function, f<p, q> = pq.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|        /            \ /            \        |
 +
|        /              o              \        |
 +
|      /              /%\              \      |
 +
|      /              /%%%\              \      |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |      P      |% F %|      Q      |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|      \              \%%%/              /      |
 +
|      \              \%/              /      |
 +
|        \              o              /        |
 +
|        \            / \            /        |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                      p q                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
A function like this has an abstract type and a concrete type.
 +
The abstract type is what we invoke when we write things like
 +
f : B x B -> B or f : B^2 -> B.  The concrete type takes into
 +
account the qualitative dimensions or the "units" of the case,
 +
which can be explained as follows.
 +
 +
  Let !P! be the set of two values {(p), p} = {not-p, p} ~=~ B
 +
 +
  Let !Q! be the set of two values {(q), q} = {not-q, q} ~=~ B
 +
 +
Then interpret the usual propositions about p, q
 +
as functions of concrete type f : !P! x !Q! -> B.
 +
 +
We are going to consider various "operators" on these functions.
 +
Here, an operator W is a function that takes one function f into
 +
another function Wf.
 +
 +
The first couple of operators that we need to consider are
 +
logical analogues of the pair that play a founding role
 +
in the classical "finite difference calculus", namely:
 +
 +
  The "difference" operator [capital Delta], written here as D.
 +
 +
  The "enlargement" operator [capital Epsilon], written here as E.
 +
 +
These days, E is more often called the "shift" operator.
 +
 +
In order to describe the universe in which these operators operate,
 +
it will be necessary to enlarge our original universe of discourse.
 +
 +
Starting out from the initial space X = !P! x !Q!, we
 +
construct its (first order) "differential extension":
 +
 +
  EX  =  X x dX  =  !P! x !Q! x d!P! x d!Q!
 +
 +
  where:
 +
 +
    X  =  !P! x !Q!
 +
 +
    dX  =  d!P! x d!Q!
 +
 +
  d!P!  =  {(dp), dp}
 +
 +
  d!Q!  =  {(dq), dq}
 +
 +
The interpretations of these new symbols can be diverse,
 +
but the easiest interpretation for now is just to say
 +
that "dp" means "change p" and "dq" means "change q".
 +
 +
Drawing a venn diagram for the differential extension EX = X x dX
 +
requires four logical dimensions, !P!, !Q!, d!P!, d!Q!, but it is
 +
possible to project a suggestion of what the differential features
 +
dp and dq are about on the 2-dimensional base space X = !P! x !Q!
 +
by drawing arrows that cross the boundaries of the basic circles
 +
in the venn diagram for X, reading an arrow as dp if it crosses
 +
the boundary between p and (p) in either direction and reading
 +
an arrow as dq if it crosses the boundary between q and (q)
 +
in either direction.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|        /            \ /            \        |
 +
|        /      p      o      q      \        |
 +
|      /              /%\              \      |
 +
|      /              /%%%\              \      |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |        dq    |%%%%%|    dp        |    |
 +
|    |    <---------|--o--|--------->    |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|      \              \%%%/              /      |
 +
|      \              \%/              /      |
 +
|        \              o              /        |
 +
|        \            / \            /        |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
We can form propositions from these differential variables
 +
in the same way that we would any other logical variables,
 +
for example, taking the differential proposition (dp (dq))
 +
as saying that dp implies dq, in other words, that there
 +
is "no change in p without a change in q".
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 3
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
Given the proposition f<p, q> over the space X = !P! x !Q!,
 +
the (first order) "enlargement" of f is the proposition Ef
 +
over the differential extension EX that is defined by the
 +
following formula:
 +
 +
  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  f<p + dp, q + dq>
 +
 +
  =  f<(p, dp), (q, dq)>
 +
 +
In the example f<p, q> = pq, the enlargement Ef is given by:
 +
 +
  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  [p + dp][q + dq]
 +
 +
  =  (p, dp)(q, dq)
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  p  dp q  dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef =            (p, dp) (q, dq)                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Given the proposition f<p, q> over X = !P! x !Q!, the
 +
(first order) "difference" of f is the proposition Df
 +
over EX that is defined by the formula Df = Ef - f, or,
 +
written out in full:
 +
 +
  Df<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  f<p + dp, q + dq> - f<p, q>
 +
 +
  =  (f<(p, dp), (q, dq)>, f<p, q>)
 +
 +
In the example f<p, q> = pq, the difference Df is given by:
 +
 +
  Df<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  [p + dp][q + dq] - pq
 +
 +
  =  ((p, dp)(q, dq), pq)
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|            p  dp q  dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /                          |
 +
|                \| |/        p q                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df =          ((p, dp)(q, dq), pq)            |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
We did not yet go through the trouble to interpret this (first order)
 +
"difference of conjunction" fully, but were happy simply to evaluate
 +
it with respect to a single location in the universe of discourse,
 +
namely, at the point picked out by the singular proposition pq,
 +
in as much as if to say at the place where p = 1 and q = 1.
 +
This evaluation is written in the form Df|pq or Df|<1, 1>,
 +
and we arrived at the locally applicable law that states
 +
that f = pq = p and q => Df|pq = ((dp)(dq)) = dp or dq.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|          o-----------o  o-----------o          |
 +
|        /            \ /            \        |
 +
|        /      p      o      q      \        |
 +
|      /              /%\              \      |
 +
|      /              /%%%\              \      |
 +
|    o              o%%%%%o              o    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |      dq (dp)  |%%%%%|  dp (dq)      |    |
 +
|    |  o<----------|--o--|---------->o  |    |
 +
|    |              |%%|%%|              |    |
 +
|    |              |%%|%%|              |    |
 +
|    o              o%%|%%o              o    |
 +
|      \              \%|%/              /      |
 +
|      \              \|/              /      |
 +
|        \              |              /        |
 +
|        \            /|\            /        |
 +
|          o-----------o | o-----------o          |
 +
|                        |                        |
 +
|                      dp|dq                      |
 +
|                        |                        |
 +
|                        v                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                    dp  dq                    |
 +
|                      o  o                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        o                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df|pq =          ((dp) (dq))                  |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
The picture illustrates the analysis of the inclusive
 +
disjunction ((dp)(dq)) into the exclusive disjunction:
 +
dp(dq) + (dp)dq + dp dq, a differential proposition that
 +
may be interpreted to say "change p or change q or both".
 +
And this can be recognized as just what you need to do if
 +
you happen to find yourself in the center cell and require
 +
a complete and detailed description of ways to escape it.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 4
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
Last time we computed what will variously be called
 +
the "difference map", the "difference proposition",
 +
or the "local proposition" Df_x for the proposition
 +
f<p, q> = pq at the point x where p = 1 and q = 1.
 +
 +
In the universe X = !P! x !Q!, the four propositions
 +
pq, p(q), (p)q, (p)(q) that indicate the "cells",
 +
or the smallest regions of the venn diagram, are
 +
called "singular propositions".  These serve as
 +
an alternative notation for naming the points
 +
<1, 1>, <1, 0>, <0, 1>, <0, 0>, respectively.
 +
 +
Thus, we can write Df_x = Df|x = Df|<1, 1> = Df|pq,
 +
so long as we know the frame of reference in force.
 +
 +
Sticking with the example f<p, q> = pq, let us compute the
 +
value of the difference proposition Df at all of the points.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|            p  dp q  dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /                          |
 +
|                \| |/        p q                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df =        ((p, dp)(q, dq), pq)                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                dp    dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /                          |
 +
|                \| |/                            |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df|pq =          ((dp) (dq))                  |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  o                            |
 +
|                dp |  dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /        o                |
 +
|                \| |/          |                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df|p(q) =          (dp) dq                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|            o                                  |
 +
|            |  dp    dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /        o                |
 +
|                \| |/          |                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df|(p)q =            dp (dq)                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|            o    o                            |
 +
|            |  dp |  dq                        |
 +
|            o---o o---o                        |
 +
|              \  | |  /                          |
 +
|              \ | | /      o  o              |
 +
|                \| |/        \ /                |
 +
|                o=o-----------o                |
 +
|                  \          /                  |
 +
|                  \        /                  |
 +
|                    \      /                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        @                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Df|(p)(q) =          dp dq                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
The easy way to visualize the values of these graphical
 +
expressions is just to notice the following equivalents:
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|  e                                              |
 +
|  o-o-o-...-o-o-o                                |
 +
|  \          /                                |
 +
|    \        /                                  |
 +
|    \      /                                  |
 +
|      \    /                          e        |
 +
|      \  /                          o        |
 +
|        \ /                            |        |
 +
|        @              =              @        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  (e, , ... , , )      =            (e)        |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                o                                |
 +
| e_1 e_2  e_k  |                                |
 +
|  o---o-...-o---o                                |
 +
|  \          /                                |
 +
|    \        /                                  |
 +
|    \      /                                  |
 +
|      \    /                                    |
 +
|      \  /                                    |
 +
|        \ /                      e_1 ... e_k    |
 +
|        @              =              @        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  (e_1, ..., e_k, ())  =        e_1 ... e_k    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Laying out the arrows on the augmented venn diagram,
 +
one gets a picture of a "differential vector field".
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        o                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                      dp|dq                      |
 +
|                        |                        |
 +
|          o-----------o | o-----------o          |
 +
|        /            \|/            \        |
 +
|        /      p      |      q      \        |
 +
|      /              /|\              \      |
 +
|      /              /%|%\              \      |
 +
|    o              o%%|%%o              o    |
 +
|    |      (dp) dq  |%%v%%|  dp (dq)      |    |
 +
|    |  o-----------|->o<-|-----------o  |    |
 +
|    |              |%%%%%|              |    |
 +
|    |  o<----------|--o--|---------->o  |    |
 +
|    |      (dp) dq  |%%|%%|  dp (dq)      |    |
 +
|    o              o%%|%%o              o    |
 +
|      \              \%|%/              /      |
 +
|      \              \|/              /      |
 +
|        \              |              /        |
 +
|        \            /|\            /        |
 +
|          o-----------o | o-----------o          |
 +
|                        |                        |
 +
|                      dp|dq                      |
 +
|                        |                        |
 +
|                        v                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
This just amounts to a depiction of the points,
 +
truth-value assignments, or interpretations in
 +
EX = !P! x !Q! x d!P! x d!Q! that are indicated
 +
by the difference map Df : EX -> B, namely, the
 +
following six points or singular propositions:
 +
 +
  1.  p  q  dp  dq
 +
  2.  p  q  dp (dq)
 +
  3.  p  q (dp) dq
 +
  4.  p (q)(dp) dq
 +
  5.  (p) q  dp (dq)
 +
  6.  (p)(q) dp  dq
 +
 +
By inspection, it is fairly easy to understand Df
 +
as telling you what you have to do from each point
 +
of X in order to change the value borne by f<p, q>
 +
at the point in question, that is, in order to get
 +
to a point where the value of f<p, q> is different
 +
from what it is where you started.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 5
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
We have been studying the action of the difference operator D,
 +
also known as the "localization operator", on the proposition
 +
f : !P! x !Q! -> B that is commonly called the conjunction pq.
 +
We categorized Df as a (first order) differential proposition,
 +
a proposition of the type Df : !P! x !Q! x d!P! x d!Q! -> B.
 +
 +
Abstracting from the augmented venn diagram that shows how the
 +
models or the satisfying interpretations of Df distribute over
 +
the (first order) extended space EX = !P! x !Q! x d!P! x d!Q!,
 +
we can represent Df in the form of a digraph or directed graph,
 +
one whose points are labeled with the elements of X = !P! x !Q!
 +
and whose arcs are labeled with the elements of dX = d!P! x d!Q!.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
| Df =              p  q  ((dp)(dq))              |
 +
|                                                |
 +
|          +      p (q)  (dp) dq                |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p) q    dp (dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p)(q)  dp  dq                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                      p q                      |
 +
|  p (q) o<------------->o<------------->o (p) q  |
 +
|            (dp) dq    ^    dp (dq)            |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                    dp | dq                    |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        v                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                    (p) (q)                    |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Any proposition worth its salt has many equivalent ways to view it,
 +
any one of which may reveal some unsuspected aspect of its meaning.
 +
We will encounter more and more of these variant readings as we go.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 6
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
The enlargement operator E, also known as the "shift operator",
 +
has many interesting and very useful properties in its own right,
 +
so let us not fail to observe a few of the more salient features
 +
that play out on the surface of our simple example, f<p, q> = pq.
 +
 +
To begin we need to formulate a suitably generic
 +
definition of the extended universe of discourse:
 +
 +
  Relative to an initial domain X = X_1 x ... x X_k,
 +
 +
  EX = X x dX = X_1 x ... x X_k x dX_1 x ... x dX_k.
 +
 +
For a proposition f : X_1 x ... x X_k -> B,
 +
the (first order) "enlargement" of f is the
 +
proposition Ef : EX -> B that is defined by:
 +
 +
  Ef<x_1, ..., x_k, dx_1, ..., dx_k>
 +
 +
  =  f<x_1 + dx_1, ..., x_k + dx_k>
 +
 +
  =  f<(x_1, dx_1), ..., (x_k, dx_k)>
 +
 +
It should be noted that the so-called "differential variables" dx_j
 +
are really just the same type of boolean variables as the other x_j.
 +
It is conventional to give the additional variables these inflected
 +
names, but whatever extra connotations we attach to these syntactic
 +
conveniences are wholly external to their purely algebraic meanings.
 +
 +
In the case of the conjunction f<p, q> = pq,
 +
the enlargement Ef is formulated as follows:
 +
 +
  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  [p + dp][q + dq]
 +
 +
  =  (p, dp)(q, dq)
 +
 +
Given that this expression uses nothing more than the "boolean ring"
 +
operations of addition (+) and multiplication (*), it is permissible
 +
to "multiply things out" in the usual manner to arrive at the result:
 +
 +
  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  p q  +  p dq  +  q dp  +  dp dq
 +
 +
To understand what this means in logical terms,
 +
for instance, as expressed in a boolean expansion
 +
or a "disjunctive normal form" (DNF), it is perhaps
 +
a little better to go back and analyze the expression
 +
the same way that we did for Df.  Thus, let us compute
 +
the value of the enlarged proposition Ef at each of the
 +
points in the initial domain of discourse X = !P! x !Q!.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  p  dp q  dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef =            (p, dp) (q, dq)                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                      dp    dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef|pq =            (dp) (dq)                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        o                      |
 +
|                      dp |  dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef|p(q) =          (dp)  dq                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  o                            |
 +
|                  |  dp    dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef|(p)q =          dp  (dq)                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                  o    o                      |
 +
|                  |  dp |  dq                  |
 +
|                  o---o o---o                  |
 +
|                    \  | |  /                    |
 +
|                    \ | | /                    |
 +
|                      \| |/                      |
 +
|                      @=@                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
| Ef|(p)(q) =        dp  dq                    |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
Given the kind of data that arises from this form of analysis,
 +
we can now fold the disjoined ingredients back into a boolean
 +
expansion or a DNF that is equivalent to the proposition Ef.
 +
 +
  Ef = pq Ef_pq + p(q) Ef_p(q) + (p)q Ef_(p)q + (p)(q) Ef_(p)(q)
 +
 +
Here is a summary of the result, illustrated by means of
 +
a digraph picture, where the "no change" element (dp)(dq)
 +
is drawn as a loop at the point p q.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
| Ef =              p  q  (dp)(dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      p (q)  (dp) dq                |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p) q    dp (dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p)(q)  dp  dq                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                    (dp) (dq)                    |
 +
|                    .--->---.                    |
 +
|                    \    /                    |
 +
|                      \p q/                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|  p (q) o-------------->o<--------------o (p) q  |
 +
|            (dp) dq    ^    dp (dq)            |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                    dp | dq                    |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                    (p) (q)                    |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
We may understand the enlarged proposition Ef
 +
as telling us all the different ways to reach
 +
a model of f from any point of the universe X.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 7
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
To broaden our experience with simple examples, let us
 +
now contemplate the sixteen functions of concrete type
 +
!P! x !Q! -> B and abstract type B x B -> B.  For ease
 +
of future reference, I will set here a few tables that
 +
specify the actions of E and D on the 16 functions and
 +
allow us to view the results in several different ways.
 +
 +
By way of initial orientation, Table 7 lists equivalent expressions
 +
for the sixteen functions in several different formalisms, indexing
 +
systems, or languages for the propositional calculus, also known as
 +
"zeroth order logic" (ZOL).
 +
 +
Table 7.  Propositional Forms on Two Variables
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
|        |      p : 1 1 0 0 |          |                  |          |
 +
|        |      q : 1 0 1 0 |          |                  |          |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()    | false            |    0    |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 |  (p)(q)  | neither p nor q  | ~p & ~q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_2    | f_0010  | 0 0 1 0 |  (p) q  | q and not p      | ~p &  q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 |  (p)    | not p            | ~p      |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_4    | f_0100  | 0 1 0 0 |  p (q)  | p and not q      |  p & ~q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |    (q)  | not q            |      ~q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_6    | f_0110  | 0 1 1 0 |  (p, q)  | p not equal to q |  p +  q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 |  (p  q)  | not both p and q | ~p v ~q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |  p  q  | p and q          |  p &  q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_9    | f_1001  | 1 0 0 1 | ((p, q)) | p equal to q    |  p =  q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_10    | f_1010  | 1 0 1 0 |      q  | q                |      q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_11    | f_1011  | 1 0 1 1 |  (p (q)) | not p without q  |  p => q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_12    | f_1100  | 1 1 0 0 |  p      | p                |  p      |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_13    | f_1101  | 1 1 0 1 | ((p) q)  | not q without p  |  p <= q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((p)(q)) | p or q          |  p v  q  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 8
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
The next four Tables expand the expressions of Ef and Df
 +
in two different ways, for each of the sixteen functions.
 +
Notice that the functions are given in a different order,
 +
partitioned into seven natural classes by a group action.
 +
 +
Table 8-a.  Ef Expanded Over Ordinary Features
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
|      |    f      |  Ef | pq  | Ef | p(q)  | Ef | (p)q  | Ef | (p)(q)|
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_1  |  (p)(q)  |  dp  dq  |  dp (dq)  |  (dp) dq  |  (dp)(dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_2  |  (p) q    |  dp (dq)  |  dp  dq  |  (dp)(dq)  |  (dp) dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_4  |    p (q)  |  (dp) dq  |  (dp)(dq)  |  dp  dq  |  dp (dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_8  |    p  q    |  (dp)(dq)  |  (dp) dq  |  dp (dq)  |  dp  dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_3  |  (p)      |  dp      |  dp      |  (dp)      |  (dp)      |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_12 |    p      |  (dp)      |  (dp)      |  dp      |  dp      |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_6  |  (p, q)  |  (dp, dq)  | ((dp, dq)) | ((dp, dq)) |  (dp, dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_9  |  ((p, q))  | ((dp, dq)) |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  | ((dp, dq)) |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_5  |      (q)  |      dq  |      (dq)  |      dq  |      (dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_10 |      q    |      (dq)  |      dq  |      (dq)  |      dq  |
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|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_7  |  (p  q)  | ((dp)(dq)) | ((dp) dq)  |  (dp (dq)) |  (dp  dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_11 |  (p (q))  | ((dp) dq)  | ((dp)(dq)) |  (dp  dq)  |  (dp (dq)) |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_13 |  ((p) q)  |  (dp (dq)) |  (dp  dq)  | ((dp)(dq)) | ((dp) dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_14 |  ((p)(q))  |  (dp  dq)  |  (dp (dq)) | ((dp) dq)  | ((dp)(dq)) |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
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|      |            |            |            |            |            |
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 +
Table 8-b.  Df Expanded Over Ordinary Features
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |    f      |  Df | pq  | Df | p(q)  | Df | (p)q  | Df | (p)(q)|
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_1  |  (p)(q)  |  dp  dq  |  dp (dq)  |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_2  |  (p) q    |  dp (dq)  |  dp  dq  | ((dp)(dq)) |  (dp) dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_4  |    p (q)  |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |  dp  dq  |  dp (dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_8  |    p  q    | ((dp)(dq)) |  (dp) dq  |  dp (dq)  |  dp  dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_3  |  (p)      |  dp      |  dp      |  dp      |  dp      |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_12 |    p      |  dp      |  dp      |  dp      |  dp      |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_6  |  (p, q)  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_9  |  ((p, q))  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |  (dp, dq)  |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_5  |      (q)  |      dq  |      dq  |      dq  |      dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_10 |      q    |      dq  |      dq  |      dq  |      dq  |
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|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_7  |  (p  q)  | ((dp)(dq)) |  (dp) dq  |  dp (dq)  |  dp  dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_11 |  (p (q))  |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |  dp  dq  |  dp (dq)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_13 |  ((p) q)  |  dp (dq)  |  dp  dq  | ((dp)(dq)) |  (dp) dq  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_14 |  ((p)(q))  |  dp  dq  |  dp (dq)  |  (dp) dq  | ((dp)(dq)) |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
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 +
DAL.  Note 9
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 +
Table 9-a.  Ef Expanded Over Differential Features
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |    f      |  T_11 f  |  T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
|      |            | Ef| dp dq  | Ef| dp(dq) | Ef| (dp)dq | Ef|(dp)(dq)|
 +
|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_1  |  (p)(q)  |    p  q    |    p (q)  |  (p) q    |  (p)(q)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_2  |  (p) q    |    p (q)  |    p  q    |  (p)(q)  |  (p) q    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_4  |    p (q)  |  (p) q    |  (p)(q)  |    p  q    |    p (q)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_8  |    p  q    |  (p)(q)  |  (p) q    |    p (q)  |    p  q    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_3  |  (p)      |    p      |    p      |  (p)      |  (p)      |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_12 |    p      |  (p)      |  (p)      |    p      |    p      |
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|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_6  |  (p, q)  |  (p, q)  |  ((p, q))  |  ((p, q))  |  (p, q)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_9  |  ((p, q))  |  ((p, q))  |  (p, q)  |  (p, q)  |  ((p, q))  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_5  |      (q)  |      q    |      (q)  |      q    |      (q)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_10 |      q    |      (q)  |      q    |      (q)  |      q    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_7  |  (p  q)  |  ((p)(q))  |  ((p) q)  |  (p (q))  |  (p  q)  |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_11 |  (p (q))  |  ((p) q)  |  ((p)(q))  |  (p  q)  |  (p (q))  |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_13 |  ((p) q)  |  (p (q))  |  (p  q)  |  ((p)(q))  |  ((p) q)  |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_14 |  ((p)(q))  |  (p  q)  |  (p (q))  |  ((p) q)  |  ((p)(q))  |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
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|      |            |            |            |            |            |
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|                  |            |            |            |            |
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| Fiped Point Total |      4    |      4    |      4    |    16    |
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|                  |            |            |            |            |
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Table 9-b.  Df Expanded Over Differential Features
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
|      |    f      | Df| dp dq  | Df| dp(dq) | Df| (dp)dq | Df|(dp)(dq)|
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_1  |  (p)(q)  |  ((p, q))  |    (q)    |    (p)    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_2  |  (p) q    |  (p, q)  |    q      |    (p)    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_4  |    p (q)  |  (p, q)  |    (q)    |    p      |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_8  |    p  q    |  ((p, q))  |    q      |    p      |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_3  |  (p)      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_12 |    p      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_6  |  (p, q)  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_9  |  ((p, q))  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_5  |      (q)  |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_10 |      q    |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_7  |  (p  q)  |  ((p, q))  |    q      |    p      |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_11 |  (p (q))  |  (p, q)  |    (q)    |    p      |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_13 |  ((p) q)  |  (p, q)  |    q      |    (p)    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
 +
| f_14 |  ((p)(q))  |  ((p, q))  |    (q)    |    (p)    |    ()    |
 +
|      |            |            |            |            |            |
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|      |            |            |            |            |            |
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| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
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|      |            |            |            |            |            |
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 +
DAL.  Note 10
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
If you think that I linger in the realm of logical difference calculus
 +
out of sheer vacillation about getting down to the differential proper,
 +
it is probably out of a prior expectation that you derive from the art
 +
or the long-engrained practice of real analysis.  But the fact is that
 +
ordinary calculus only rushes on to the sundry orders of approximation
 +
because the strain of comprehending the full import of E and D at once
 +
whelm over its discrete and finite powers to grasp them.  But here, in
 +
the fully serene idylls of ZOL, we find ourselves fit with the compass
 +
of a wit that is all we'd ever need to explore their effects with care.
 +
 +
So let us do just that.
 +
 +
I will first rationalize the novel grouping of propositional forms
 +
in the last set of Tables, as that will extend a gentle invitation
 +
to the mathematical subject of "group theory", and demonstrate its
 +
relevance to differential logic in a strikingly apt and useful way.
 +
The data for that account is contained in Table 9-a, above or here:
 +
 +
DAL 9.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1301#post1301
 +
DAL 9.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001408.html
 +
 +
The shift operator E can be understood as enacting
 +
a substitution operation on the proposition f that
 +
is given as its argument.  In our present focus on
 +
propositional forms that involve two variables, we
 +
have the following datatype and applied definition:
 +
 +
  E : (X -> B)  ->  (EX -> B)
 +
 +
  E :  f<p, q>  ->  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  Ef<p, q, dp, dq>
 +
 +
  =  f<p + dp, q + dq)
 +
 +
  =  f<(p, dp), (q, dq)>
 +
 +
Therefore, if we evaluate Ef at particular values of dp and dq,
 +
for example, dp = i and dq = j, where i, j are in B, we obtain:
 +
 +
  E_ij : (X -> B)  ->  (X -> B)
 +
 +
  E_ij :    f      ->  E_ij f
 +
 +
  E_ij f
 +
 +
  =  Ef | <dp = i, dq = j>
 +
 +
  =  f<p + i, q + j>
 +
 +
  =  f<(p, i), (q, j)>
 +
 +
The notation is a little bit awkward, but the data of the Table should
 +
make the sense clear.  The important thing to observe is that E_ij has
 +
the effect of transforming each proposition f : X -> B into some other
 +
proposition f' : X -> B.  As it happens, the action is one-to-one and
 +
onto for each E_ij, so the gang of four operators {E_ij : i, j in B}
 +
is an example of what is called a "transformation group" on the set
 +
of sixteen propositions.  Bowing to a longstanding linear and local
 +
tradition, I will therefore redub the four elements of this group
 +
as T_00, T_01, T_10, T_11, to bear in mind their transformative
 +
character, or nature, as the case may be.  Abstractly viewed,
 +
this group of order four has the following operation table:
 +
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|    *    %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o==========o==========o==========o==========o==========o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_00  %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_01  %  T_01  |  T_00  |  T_11  |  T_10  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_10  %  T_10  |  T_11  |  T_00  |  T_01  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|          %          |          |          |          |
 +
|  T_11  %  T_11  |  T_10  |  T_01  |  T_00  |
 +
|          %          |          |          |          |
 +
o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
 +
It happens that there are just two possible groups of 4 elements.
 +
One is the cyclic group Z_4 (German "Zyklus"), which this is not.
 +
The other is Klein's four-group V_4 (German "Vier"), which it is.
 +
 +
More concretely viewed, the group as a whole pushes the set
 +
of sixteen propositions around in such a way that they fall
 +
into seven natural classes, called "orbits".  One says that
 +
the orbits are preserved by the action of the group.  There
 +
is an "Orbit Lemma" of immense utility to "those who count"
 +
which, depending on your upbringing, you may associate with
 +
the names of Burnside, Cauchy, Frobenius, or some subset or
 +
superset of these three, vouching that the number of orbits
 +
is equal to the mean number of fixed points, in other words,
 +
the total number of points (in our case, propositions) that
 +
are left unmoved by the separate operations, divided by the
 +
order of the group.  In this instance, T_00 operates as the
 +
group identity, fixing all 16 propositions, while the other
 +
three group elements fix 4 propositions each, and so we get:
 +
Number of orbits  =  (4 + 4 + 4 + 16) / 4  =  7. -- Amazing!
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 11
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
We have been contemplating functions of the type f : X -> B,
 +
studying the action of the operators E and D on this family.
 +
These functions, that we may identify for our present aims
 +
with propositions, inasmuch as they capture their abstract
 +
forms, are logical analogues of "scalar potential fields".
 +
These are the sorts of fields that are so picturesquely
 +
presented in elementary calculus and physics textbooks
 +
by images of snow-covered hills and parties of skiers
 +
who trek down their slopes like least action heroes.
 +
The analogous scene in propositional logic presents
 +
us with forms more reminiscent of plateaunic idylls,
 +
being all plains at one of two levels, the mesas of
 +
verity and falsity, as it were, with nary a niche
 +
to inhabit between them, restricting our options
 +
for a sporting gradient of downhill dynamics to
 +
just one of two, standing still on level ground
 +
or falling off a bluff.
 +
 +
We are still working well within the logical analogue of the
 +
classical finite difference calculus, taking in the novelties
 +
that the logical transmutation of familiar elements is able to
 +
bring to light.  Soon we will take up several different notions
 +
of approximation relationships that may be seen to organize the
 +
space of propositions, and these will allow us to define several
 +
different forms of differential analysis applying to propositions.
 +
In time we will find reason to consider more general types of maps,
 +
having concrete types of the form X_1 x ... x X_k -> Y_1 x ... x Y_n
 +
and abstract types B^k -> B^n.  We will think of these mappings as
 +
transforming universes of discourse into themselves or into others,
 +
in short, as "transformations of discourse".
 +
 +
Before we continue with this intinerary, however, I would like
 +
to highlight another sort of "differential aspect" that concerns
 +
the "boundary operator" or the "marked connective" that serves as
 +
one of a pair of basic connectives in the cactus language for ZOL.
 +
 +
Consider the proposition f of concrete type f : !P! x !Q! x !R! -> B
 +
and abstract type f : B^3 -> B that is written as "(p, q, r)" in the
 +
cactus syntax.  Taken as an assertion in what C.S. Peirce called the
 +
"existential interpretation", the so-called boundary form "(p, q, r)"
 +
asserts that one and only one of the propositions p, q, r is false.
 +
It is instructive to consider this assertion in relation to the
 +
conjunction "p q r" of the same propositions.  A venn diagram
 +
for the boundary form (p, q, r) is shown in Figure 11.
 +
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
|                                                          |
 +
|                                                          |
 +
|                      o-------------o                      |
 +
|                    /              \                    |
 +
|                    /                \                    |
 +
|                  /                  \                  |
 +
|                  /                    \                  |
 +
|                /                      \                |
 +
|                o                        o                |
 +
|                |                        |                |
 +
|                |            P            |                |
 +
|                |                        |                |
 +
|                |                        |                |
 +
|                |                        |                |
 +
|            o--o----------o  o----------o--o            |
 +
|            /    \%%%%%%%%%%\ /%%%%%%%%%%/    \            |
 +
|          /      \%%%%%%%%%%o%%%%%%%%%%/      \          |
 +
|          /        \%%%%%%%%/ \%%%%%%%%/        \          |
 +
|        /          \%%%%%%/  \%%%%%%/          \        |
 +
|        /            \%%%%/    \%%%%/            \        |
 +
|      o              o--o-------o--o              o      |
 +
|      |                |%%%%%%%|                |      |
 +
|      |                |%%%%%%%|                |      |
 +
|      |                |%%%%%%%|                |      |
 +
|      |        Q        |%%%%%%%|        R        |      |
 +
|      |                |%%%%%%%|                |      |
 +
|      o                o%%%%%%%o                o      |
 +
|        \                \%%%%%/                /        |
 +
|        \                \%%%/                /        |
 +
|          \                \%/                /          |
 +
|          \                o                /          |
 +
|            \              / \              /            |
 +
|            o-------------o  o-------------o            |
 +
|                                                          |
 +
|                                                          |
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
Figure 11.  Boundary Form (p, q, r)
 +
 +
In relation to the center cell indicated by the conjunction pqr
 +
the region indicated by (p, q, r) is comprised of the "adjacent"
 +
or the "bordering" cells.  Thus they are the cells that are just
 +
across the boundary of the center cell, as if reached by way of
 +
Leibniz's "minimal changes" from the point of origin, here, pqr.
 +
 +
More generally speaking, in a k-dimensional universe of discourse
 +
that is based on the "alphabet" of features !X! = {x_1, ..., x_k},
 +
the same form of boundary relationship is manifested for any cell
 +
of origin that one might choose to indicate, say, by means of the
 +
conjunction of positive and negative basis features "u_1 ... u_k",
 +
where u_j = x_j or u_j = (x_j), for j = 1 to k.  The proposition
 +
(u_1, ..., u_k) indicates the disjunctive region consisting of
 +
the cells that are "just next door" to the cell u_1 ... u_k.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 12
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
| Consider what effects that might conceivably have
 +
| practical bearings you conceive the objects of your
 +
| conception to have.  Then, your conception of those
 +
| effects is the whole of your conception of the object.
 +
|
 +
| C.S. Peirce, "Maxim of Pragmaticism", 'Collected Papers', CP 5.438
 +
 +
One other subject that it would be opportune to mention at this point,
 +
while we have an object example of a mathematical group fresh in mind,
 +
is the relationship between the pragmatic maxim and what are commonly
 +
known in mathematics as "representation principles".  As it turns out,
 +
with regard to its formal characteristics, the pragmatic maxim unites
 +
the aspects of a representation principle with the attributes of what
 +
would ordinarily be known as a "closure principle".  We will consider
 +
the form of closure that is invoked by the pragmatic maxim on another
 +
occasion, focusing here and now on the topic of group representations.
 +
 +
Let us return to the example of the so-called "four-group" V_4.
 +
We encountered this group in one of its concrete representations,
 +
namely, as a "transformation group" that acts on a set of objects,
 +
in this particular case a set of sixteen functions or propositions.
 +
Forgetting about the set of objects that the group transforms among
 +
themselves, we may take the abstract view of the group's operational
 +
structure, say, in the form of the group operation table copied here:
 +
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  *  %  e  |  f  |  g  |  h  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o=======o=======o=======o=======o=======o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  e  %  e  |  f  |  g  |  h  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  f  %  f  |  e  |  h  |  g  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  g  %  g  |  h  |  e  |  f  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  h  %  h  |  g  |  f  |  e  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
 +
This table is abstractly the same as, or isomorphic to, the versions
 +
with the E_ij operators and the T_ij transformations that we took up
 +
earlier.  That is to say, the story is the same, only the names have
 +
been changed.  An abstract group can have a variety of significantly
 +
and superficially different representations.  But even after we have
 +
long forgotten the details of any particular representation there is
 +
a type of concrete representations, called "regular representations",
 +
that are always readily available, as they can be generated from the
 +
mere data of the abstract operation table itself.
 +
 +
For example, select a group element from the top margin of the Table,
 +
and "consider its effects" on each of the group elements as they are
 +
listed along the left margin.  We may record these effects as Peirce
 +
usually did, as a logical "aggregate" of elementary dyadic relatives,
 +
that is to say, a disjunction or a logical sum whose terms represent
 +
the ordered pairs of <input : output> transactions that are produced
 +
by each group element in turn.  This yields what is usually known as
 +
one of the "regular representations" of the group, specifically, the
 +
"first", the "post-", or the "right" regular representation.  It has
 +
long been conventional to organize the terms in the form of a matrix:
 +
 +
Reading "+" as a logical disjunction:
 +
 +
  G  =  e  +  f  +  g  + h,
 +
 +
And so, by expanding effects, we get:
 +
 +
  G =
 +
 +
  e:e  +  f:f  +  g:g  +  h:h  +
 +
 +
  e:f  +  f:e  +  g:h  +  h:g  +
 +
 +
  e:g  +  f:h  +  g:e  +  h:f  +
 +
 +
  e:h  +  f:g  +  g:f  +  h:e
 +
 +
More on the pragmatic maxim as a representation principle later.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 13
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
The above-mentioned fact about the regular representations
 +
of a group is universally known as "Cayley's Theorem".  It
 +
is usually stated in the form:  "Every group is isomorphic
 +
to a subgroup of Aut(X), where X is a suitably chosen set
 +
and Aut(X) is the group of its automorphisms".  There is
 +
in Peirce's early papers a considerable generalization
 +
of the concept of regular representations to a broad
 +
class of relational algebraic systems.  The crux of
 +
the whole idea can be summed up as follows:
 +
 +
  Contemplate the effects of the symbol
 +
  whose meaning you wish to investigate
 +
  as they play out on all the stages of
 +
  conduct on which you have the ability
 +
  to imagine that symbol playing a role.
 +
 +
This idea of definition by way of context transforming operators
 +
is basically the same as Jeremy Bentham's notion of "paraphrasis",
 +
a "method of accounting for fictions by explaining various purported
 +
terms away" (Quine, in Van Heijenoort, 'From Frege to Gödel', p. 216).
 +
Today we'd call these constructions "term models".  This, again, is
 +
the big idea behind Schönfinkel's combinators {S, K, I}, and hence
 +
of lambda calculus, and I reckon you all know where that leads.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 14
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
The next few excursions in this series will provide
 +
a scenic tour of various ideas in group theory that
 +
will turn out to be of constant guidance in several
 +
of the settings that are associated with our topic.
 +
 +
Let me return to Peirce's early papers on the algebra of relatives
 +
to pick up the conventions that he used there, and then rewrite my
 +
account of regular representations in a way that conforms to those.
 +
 +
Peirce expresses the action of an "elementary dual relative" like so:
 +
 +
| [Let] A:B be taken to denote
 +
| the elementary relative which
 +
| multiplied into B gives A.
 +
|
 +
| Peirce, 'Collected Papers', CP 3.123.
 +
 +
Peirce is well aware that it is not at all necessary to arrange the
 +
elementary relatives of a relation into arrays, matrices, or tables,
 +
but when he does so he tends to prefer organizing 2-adic relations
 +
in the following manner:
 +
 +
  a:b  +  a:b  +  a:c  +
 +
 +
  b:a  +  b:b  +  b:c  +
 +
 +
  c:a  +  c:b  +  c:c
 +
 +
For example, given the set X = {a, b, c}, suppose that
 +
we have the 2-adic relative term m = "marker for" and
 +
the associated 2-adic relation M c X x X, the general
 +
pattern of whose common structure is represented by
 +
the following matrix:
 +
 +
  M  =
 +
 +
  M_aa a:a  +  M_ab a:b  +  M_ac a:c  +
 +
 +
  M_ba b:a  +  M_bb b:b  +  M_bc b:c  +
 +
 +
  M_ca c:a  +  M_cb c:b  +  M_cc c:c
 +
 +
It has long been customary to omit the implicit plus signs
 +
in these matrical displays, but I have restored them here
 +
simply as a way of separating terms in this blancophage
 +
web format.
 +
 +
For at least a little while, I will make explicit
 +
the distinction between a "relative term" like m
 +
and a "relation" like M c X x X, but it is best
 +
to think of both of these entities as involving
 +
different applications of the same information,
 +
and so we could just as easily write this form:
 +
 +
  m  =
 +
 +
  m_aa a:a  +  m_ab a:b  +  m_ac a:c  +
 +
 +
  m_ba b:a  +  m_bb b:b  +  m_bc b:c  +
 +
 +
  m_ca c:a  +  m_cb c:b  +  m_cc c:c
 +
 +
By way of making up a concrete example,
 +
let us say that M is given as follows:
 +
 +
  a is a marker for a
 +
 +
  a is a marker for b
 +
 +
  b is a marker for b
 +
 +
  b is a marker for c
 +
 +
  c is a marker for c
 +
 +
  c is a marker for a
 +
 +
In sum, we have this matrix:
 +
 +
  M  =
 +
 +
  1 a:a  +  1 a:b  +  0 a:c  +
 +
 +
  0 b:a  +  1 b:b  +  1 b:c  +
 +
 +
  1 c:a  +  0 c:b  +  1 c:c
 +
 +
I think that will serve to fix notation
 +
and set up the remainder of the account.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 15
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
In Peirce's time, and even in some circles of mathematics today,
 +
the information indicated by the elementary relatives (i:j), as
 +
i, j range over the universe of discourse, would be referred to
 +
as the "umbral elements" of the algebraic operation represented
 +
by the matrix, though I seem to recall that Peirce preferred to
 +
call these terms the "ingredients".  When this ordered basis is
 +
understood well enough, one will tend to drop any mention of it
 +
from the matrix itself, leaving us nothing but these bare bones:
 +
 +
  M  =
 +
 +
  1  1  0
 +
 +
  0  1  1
 +
 +
  1  0  1
 +
 +
However the specification may come to be written, this
 +
is all just convenient schematics for stipulating that:
 +
 +
  M  =  a:a  +  b:b  +  c:c  +  a:b  +  b:c  +  c:a
 +
 +
Recognizing !1! = a:a + b:b + c:c as the identity transformation,
 +
the 2-adic relative term m = "marker for" can be represented as an
 +
element !1! + a:b + b:c + c:a of the so-called "group ring", all of
 +
which makes this element just a special sort of linear transformation.
 +
 +
Up to this point, we are still reading the elementary relatives
 +
of the form i:j in the way that Peirce customarily read them in
 +
logical contexts:  i is the relate, j is the correlate, and in
 +
our current example we reading i:j, or more exactly, m_ij = 1,
 +
to say that i is a marker for j.  This is the mode of reading
 +
that we call "multiplying on the left".
 +
 +
In the algebraic, permutational, or transformational contexts of
 +
application, however, Peirce converts to the alternative mode of
 +
reading, although still calling i the relate and j the correlate,
 +
the elementary relative i:j now means that i gets changed into j.
 +
In this scheme of reading, the transformation a:b + b:c + c:a is
 +
a permutation of the aggregate $1$ = a + b + c, or what we would
 +
now call the set {a, b, c}, in particular, it is the permutation
 +
that is otherwise notated as:
 +
 +
  ( a b c )
 +
  <      >
 +
  ( b c a )
 +
 +
This is consistent with the convention that Peirce uses in
 +
the paper "On a Class of Multiple Algebras" (CP 3.324-327).
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 16
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
We've been exploring the applications of a certain technique
 +
for clarifying abstruse concepts, a rough-cut version of the
 +
pragmatic maxim that I've been accustomed to refer to as the
 +
"operationalization" of ideas.  The basic idea is to replace
 +
the question of "What it is", which modest people comprehend
 +
is far beyond their powers to answer any time soon, with the
 +
question of "What it does", which most people know at least
 +
a modicum about.
 +
 +
In the case of regular representations of groups we found
 +
a non-plussing surplus of answers to sort our way through.
 +
So let us track back one more time to see if we can learn
 +
any lessons that might carry over to more realistic cases.
 +
 +
Here is is the operation table of V_4 once again:
 +
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  *  %  e  |  f  |  g  |  h  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o=======o=======o=======o=======o=======o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  e  %  e  |  f  |  g  |  h  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  f  %  f  |  e  |  h  |  g  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  g  %  g  |  h  |  e  |  f  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
|      %      |      |      |      |
 +
|  h  %  h  |  g  |  f  |  e  |
 +
|      %      |      |      |      |
 +
o-------o-------o-------o-------o-------o
 +
 +
A group operation table is really just a device for recording
 +
a certain 3-adic relation, specifically, the set of 3-tuples
 +
of the form <x, y, z> that satisfy the equation x * y = z,
 +
where the sign '*' that indicates the group operation is
 +
frequently omitted in contexts where it is understood.
 +
 +
In the case of V_4 = (G, *), where G is the "underlying set"
 +
{e, f, g, h}, we have the 3-adic relation L(V_4) c G x G x G
 +
whose triples are listed below:
 +
 +
  e:e:e
 +
  e:f:f
 +
  e:g:g
 +
  e:h:h
 +
 +
  f:e:f
 +
  f:f:e
 +
  f:g:h
 +
  f:h:g
 +
 +
  g:e:g
 +
  g:f:h
 +
  g:g:e
 +
  g:h:f
 +
 +
  h:e:h
 +
  h:f:g
 +
  h:g:f
 +
  h:h:e
 +
 +
It is part of the definition of a group that the 3-adic
 +
relation L c G^3 is actually a function L : G x G -> G.
 +
It is from this functional perspective that we can see
 +
an easy way to derive the two regular representations.
 +
 +
Since we have a function of the type L : G x G -> G,
 +
we can define a couple of substitution operators:
 +
 +
1.  Sub(x, <_, y>) puts any specified x into
 +
    the empty slot of the rheme <_, y>, with
 +
    the effect of producing the saturated
 +
    rheme <x, y> that evaluates to xy.
 +
 +
2.  Sub(x, <y, _>) puts any specified x into
 +
    the empty slot of the rheme <y, _>, with
 +
    the effect of producing the saturated
 +
    rheme <y, x> that evaluates to yx.
 +
 +
In (1), we consider the effects of each x in its
 +
practical bearing on contexts of the form <_, y>,
 +
as y ranges over G, and the effects are such that
 +
x takes <_, y> into xy, for y in G, all of which
 +
is summarily notated as x = {<y : xy> : y in G}.
 +
The pairs <y : xy> can be found by picking an x
 +
from the left margin of the group operation table
 +
and considering its effects on each y in turn as
 +
these run across the top margin.  This aspect of
 +
pragmatic definition we recognize as the regular
 +
ante-representation:
 +
 +
  e  =  e:e  +  f:f  +  g:g  +  h:h
 +
 +
  f  =  e:f  +  f:e  +  g:h  +  h:g
 +
 +
  g  =  e:g  +  f:h  +  g:e  +  h:f
 +
 +
  h  =  e:h  +  f:g  +  g:f  +  h:e
 +
 +
In (2), we consider the effects of each x in its
 +
practical bearing on contexts of the form <y, _>,
 +
as y ranges over G, and the effects are such that
 +
x takes <y, _> into yx, for y in G, all of which
 +
is summarily notated as x = {<y : yx> : y in G}.
 +
The pairs <y : yx> can be found by picking an x
 +
from the top margin of the group operation table
 +
and considering its effects on each y in turn as
 +
these run down the left margin.  This aspect of
 +
pragmatic definition we recognize as the regular
 +
post-representation:
 +
 +
  e  =  e:e  +  f:f  +  g:g  +  h:h
 +
 +
  f  =  e:f  +  f:e  +  g:h  +  h:g
 +
 +
  g  =  e:g  +  f:h  +  g:e  +  h:f
 +
 +
  h  =  e:h  +  f:g  +  g:f  +  h:e
 +
 +
If the ante-rep looks the same as the post-rep,
 +
now that I'm writing them in the same dialect,
 +
that is because V_4 is abelian (commutative),
 +
and so the two representations have the very
 +
same effects on each point of their bearing.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 17
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
So long as we're in the neighborhood, we might as well take in
 +
some more of the sights, for instance, the smallest example of
 +
a non-abelian (non-commutative) group.  This is a group of six
 +
elements, say, G = {e, f, g, h, i, j}, with no relation to any
 +
other employment of these six symbols being implied, of course,
 +
and it can be most easily represented as the permutation group
 +
on a set of three letters, say, X = {a, b, c}, usually notated
 +
as G = Sym(X) or more abstractly and briefly, as Sym(3) or S_3.
 +
Here are the permutation (= substitution) operations in Sym(X):
 +
 +
Table 17-a.  Permutations or Substitutions in Sym_{a, b, c}
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  a b c  |  a b c  |  a b c  |  a b c  |  a b c  |  a b c  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |
 +
|  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  a b c  |  c a b  |  b c a  |  a c b  |  c b a  |  b a c  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
 +
Here is the operation table for S_3, given in abstract fashion:
 +
 +
Table 17-b.  Symmetric Group S_3
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        o                        |
 +
|                    e / \ e                    |
 +
|                      /  \                      |
 +
|                    /  e  \                    |
 +
|                  f / \  / \ f                  |
 +
|                  /  \ /  \                  |
 +
|                  /  f  \  f  \                  |
 +
|              g / \  / \  / \ g              |
 +
|                /  \ /  \ /  \                |
 +
|              /  g  \  g  \  g  \              |
 +
|            h / \  / \  / \  / \ h            |
 +
|            /  \ /  \ /  \ /  \            |
 +
|            /  h  \  e  \  e  \  h  \            |
 +
|        i / \  / \  / \  / \  / \ i        |
 +
|          /  \ /  \ /  \ /  \ /  \          |
 +
|        /  i  \  i  \  f  \  j  \  i  \        |
 +
|      j / \  / \  / \  / \  / \  / \ j      |
 +
|      /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
 +
|      o  j  \  j  \  j  \  i  \  h  \  j  o      |
 +
|      \  / \  / \  / \  / \  / \  /      |
 +
|        \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /        |
 +
|        \  h  \  h  \  e  \  j  \  i  /        |
 +
|          \  / \  / \  / \  / \  /          |
 +
|          \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
 +
|            \  i  \  g  \  f  \  h  /            |
 +
|            \  / \  / \  / \  /            |
 +
|              \ /  \ /  \ /  \ /              |
 +
|              \  f  \  e  \  g  /              |
 +
|                \  / \  / \  /                |
 +
|                \ /  \ /  \ /                |
 +
|                  \  g  \  f  /                  |
 +
|                  \  / \  /                  |
 +
|                    \ /  \ /                    |
 +
|                    \  e  /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        o                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
 +
I think that the NKS reader can guess how we might apply
 +
this group to the space of propositions of type B^3 -> B.
 +
 +
By the way, we will meet with the symmetric group S_3 again
 +
when we return to take up the study of Peirce's early paper
 +
"On a Class of Multiple Algebras" (CP 3.324-327), and also
 +
his late unpublished work "The Simplest Mathematics" (1902)
 +
(CP 4.227-323), with particular reference to the section
 +
that treats of "Trichotomic Mathematics" (CP 4.307-323).
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 18
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
By way of collecting a short-term pay-off for all the work that we
 +
did on the regular representations of the Klein 4-group V_4, let us
 +
write out as quickly as possible in "relative form" a minimal budget
 +
of representations for the symmetric group on three letters, Sym(3).
 +
After doing the usual bit of compare and contrast among the various
 +
representations, we will have enough concrete material beneath our
 +
abstract belts to tackle a few of the presently obscured details
 +
of Peirce's early "Algebra + Logic" papers.
 +
 +
Writing the permutations or substitutions of Sym {a, b, c}
 +
in relative form generates what is generally thought of as
 +
a "natural representation" of S_3.
 +
 +
  e  =  a:a + b:b + c:c
 +
 +
  f  =  a:c + b:a + c:b
 +
 +
  g  =  a:b + b:c + c:a
 +
 +
  h  =  a:a + b:c + c:b
 +
 +
  i  =  a:c + b:b + c:a
 +
 +
  j  =  a:b + b:a + c:c
 +
 +
I have without stopping to think about it written out this natural
 +
representation of S_3 in the style that comes most naturally to me,
 +
to wit, the "right" way, whereby an ordered pair configured as x:y
 +
constitutes the turning of x into y.  It is possible that the next
 +
time we check in with CSP that we will have to adjust our sense of
 +
direction, but that will be an easy enough bridge to cross when we
 +
come to it.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 19
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
To construct the regular representations of S_3,
 +
we pick up from the data of its operation table,
 +
DAL 17, Table 17-b, at either one of these sites:
 +
 +
http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001419.html
 +
http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1321#post1321
 +
 +
Just by way of staying clear about what we are doing,
 +
let's return to the recipe that we worked out before:
 +
 +
It is part of the definition of a group that the 3-adic
 +
relation L c G^3 is actually a function L : G x G -> G.
 +
It is from this functional perspective that we can see
 +
an easy way to derive the two regular representations.
 +
 +
Since we have a function of the type L : G x G -> G,
 +
we can define a couple of substitution operators:
 +
 +
1.  Sub(x, <_, y>) puts any specified x into
 +
    the empty slot of the rheme <_, y>, with
 +
    the effect of producing the saturated
 +
    rheme <x, y> that evaluates to xy.
 +
 +
2.  Sub(x, <y, _>) puts any specified x into
 +
    the empty slot of the rheme <y, _>, with
 +
    the effect of producing the saturated
 +
    rheme <y, x> that evaluates to yx.
 +
 +
In (1), we consider the effects of each x in its
 +
practical bearing on contexts of the form <_, y>,
 +
as y ranges over G, and the effects are such that
 +
x takes <_, y> into xy, for y in G, all of which
 +
is summarily notated as x = {<y : xy> : y in G}.
 +
The pairs <y : xy> can be found by picking an x
 +
from the left margin of the group operation table
 +
and considering its effects on each y in turn as
 +
these run along the right margin.  This produces
 +
the regular ante-representation of S_3, like so:
 +
 +
  e  =  e:e  +  f:f  +  g:g  +  h:h  +  i:i  +  j:j
 +
 +
  f  =  e:f  +  f:g  +  g:e  +  h:j  +  i:h  +  j:i
 +
 +
  g  =  e:g  +  f:e  +  g:f  +  h:i  +  i:j  +  j:h
 +
 +
  h  =  e:h  +  f:i  +  g:j  +  h:e  +  i:f  +  j:g
 +
 +
  i  =  e:i  +  f:j  +  g:h  +  h:g  +  i:e  +  j:f
 +
 +
  j  =  e:j  +  f:h  +  g:i  +  h:f  +  i:g  +  j:e
 +
 +
In (2), we consider the effects of each x in its
 +
practical bearing on contexts of the form <y, _>,
 +
as y ranges over G, and the effects are such that
 +
x takes <y, _> into yx, for y in G, all of which
 +
is summarily notated as x = {<y : yx> : y in G}.
 +
The pairs <y : yx> can be found by picking an x
 +
on the right margin of the group operation table
 +
and considering its effects on each y in turn as
 +
these run along the left margin.  This generates
 +
the regular post-representation of S_3, like so:
 +
 +
  e  =  e:e  +  f:f  +  g:g  +  h:h  +  i:i  +  j:j
 +
 +
  f  =  e:f  +  f:g  +  g:e  +  h:i  +  i:j  +  j:h
 +
 +
  g  =  e:g  +  f:e  +  g:f  +  h:j  +  i:h  +  j:i
 +
 +
  h  =  e:h  +  f:j  +  g:i  +  h:e  +  i:g  +  j:f
 +
 +
  i  =  e:i  +  f:h  +  g:j  +  h:f  +  i:e  +  j:g
 +
 +
  j  =  e:j  +  f:i  +  g:h  +  h:g  +  i:f  +  j:e
 +
 +
If the ante-rep looks different from the post-rep,
 +
it is just as it should be, as S_3 is non-abelian
 +
(non-commutative), and so the two representations
 +
differ in the details of their practical effects,
 +
though, of course, being representations of the
 +
same abstract group, they must be isomorphic.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 20
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
You may be wondering what happened to the announced subject
 +
of "Dynamics And Logic".  What occurred was a bit like this:
 +
 +
We happened to make the observation that the shift operators {E_ij}
 +
form a transformation group that acts on the set of propositions of
 +
the form f : B x B -> B.  Group theory is a very attractive subject,
 +
but it did not draw us so far from our intended course as one might
 +
initially think.  For one thing, groups, especially the groups that
 +
are named after the Norwegian mathematician Marius Sophus Lie, turn
 +
out to be of critical importance in solving differential equations.
 +
For another thing, group operations provide us with an ample supply
 +
of triadic relations that have been extremely well-studied over the
 +
years, and thus they give us no small measure of useful guidance in
 +
the study of sign relations, another brand of 3-adic relations that
 +
have significance for logical studies, and in our acquaintance with
 +
which we have scarcely begun to break the ice.  Finally, I couldn't
 +
resist taking up the links between group representations, amounting
 +
to the very archetypes of logical models, and the pragmatic maxim.
 +
 +
Biographical Data for Marius Sophus Lie (1842-1899):
 +
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lie.html
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 21
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
We have seen a couple of groups, V_4 and S_3, represented in
 +
several different ways, and we have seen each of these types
 +
of representation presented in several different fashions.
 +
Let us look at one other stylistic variant for presenting
 +
a group representation that is often used, the so-called
 +
"matrix representation" of a group.
 +
 +
Returning to the example of Sym(3), we first encountered
 +
this group in concrete form as a set of permutations or
 +
substitutions acting on a set of letters X = {a, b, c}.
 +
This set of permutations was displayed in Table 17-a,
 +
copies of which can be found here:
 +
 +
http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001419.html
 +
http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1321#post1321
 +
 +
These permutations were then converted to "relative form":
 +
 +
  e  =  a:a + b:b + c:c
 +
 +
  f  =  a:c + b:a + c:b
 +
 +
  g  =  a:b + b:c + c:a
 +
 +
  h  =  a:a + b:c + c:b
 +
 +
  i  =  a:c + b:b + c:a
 +
 +
  j  =  a:b + b:a + c:c
 +
 +
From this relational representation of Sym {a, b, c} ~=~ S_3,
 +
one easily derives a "linear representation", regarding each
 +
permutation as a linear transformation that maps the elements
 +
of a suitable vector space into each other, and representing
 +
each of these linear transformations by means of a matrix,
 +
resulting in the following set of matrices for the group:
 +
 +
Table 21.  Matrix Representations of the Permutations in S_3
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
|  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |
 +
|  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |
 +
|  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |
 +
|        |        |        |        |        |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
 +
The key to the mysteries of these matrices is revealed by
 +
observing that their coefficient entries are arrayed and
 +
overlayed on a place mat that's marked like so:
 +
 +
o-----o-----o-----o
 +
| a:a | a:b | a:c |
 +
o-----o-----o-----o
 +
| b:a | b:b | b:c |
 +
o-----o-----o-----o
 +
| c:a | c:b | c:c |
 +
o-----o-----o-----o
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 22
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
It would be good to summarize, in rough but intuitive terms,
 +
the outlook on differential logic that we have reached so far.
 +
 +
We've been considering a class of operators on universes
 +
of discourse, each of which takes us from considering one
 +
universe of discourse, X%, to considering a larger universe
 +
of discourse, EX%.
 +
 +
Each of these operators, in broad terms having the form
 +
W : X% -> EX%, acts on each proposition f : X -> B of the
 +
source universe X% to produce a proposition Wf : EX -> B
 +
of the target universe EX%.
 +
 +
The two main operators that we have worked with up to this
 +
point are the enlargement or shift operator E : X% -> EX%
 +
and the difference operator D : X% -> EX%.
 +
 +
E and D take a proposition in X%, that is, a proposition f : X -> B
 +
that is said to be "about" the subject matter of X, and produce the
 +
extended propositions Ef, Df : EX -> B, which may be interpreted as
 +
being about specified collections of changes that might occur in X.
 +
 +
Here we have need of visual representations,
 +
some array of concrete pictures to anchor our
 +
more earthy intuitions and to help us keep our
 +
wits about us before we try to climb any higher
 +
into the ever more rarefied air of abstractions.
 +
 +
One good picture comes to us by way of the "field" concept.
 +
Given a space X, a "field" of a specified type Y over X is
 +
formed by assigning to each point of X an object of type Y.
 +
If that sounds like the same thing as a function from X to
 +
the space of things of type Y -- it is -- but it does seem
 +
helpful to vary the mental images and to take advantage of
 +
the figures of speech that spring to mind under the emblem
 +
of this field idea.
 +
 +
In the field picture, a proposition f : X -> B becomes
 +
a "scalar" field, that is, a field of values in B, or
 +
a "field of model indications" (FOMI).
 +
 +
Let us take a moment to view an old proposition
 +
in this new light, for example, the conjunction
 +
pq : X -> B that is depicted in Figure 22-a.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|        o-------------o  o-------------o        |
 +
|      /              \ /              \      |
 +
|      /                o                \      |
 +
|    /                /%\                \    |
 +
|    /                /%%%\                \    |
 +
|  o                o%%%%%o                o  |
 +
|  |                |%%%%%|                |  |
 +
|  |        P        |%%%%%|        Q        |  |
 +
|  |                |%%%%%|                |  |
 +
|  o                o%%%%%o                o  |
 +
|    \                \%%%/                /    |
 +
|    \                \%/                /    |
 +
|      \                o                /      |
 +
|      \              / \              /      |
 +
|        o-------------o  o-------------o        |
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
Figure 22-a.  Conjunction pq : X -> B
 +
 +
Each of the operators E, D : X% -> EX% takes us from considering
 +
propositions f : X -> B, here viewed as "scalar fields" over X,
 +
to considering the corresponding "differential fields" over X,
 +
analogous to what are usually called "vector fields" over X.
 +
 +
The structure of these differential fields can be described this way.
 +
To each point of X there is attached an object of the following type:
 +
a proposition about changes in X, that is, a proposition g : dX -> B.
 +
In this frame, if X% is the universe that is generated by the set of
 +
coordinate propositions {p, q}, then dX% is the differential universe
 +
that is generated by the set of differential propositions {dp, dq}.
 +
These differential propositions may be interpreted as indicating
 +
"change in p" and "change in q", respectively.
 +
 +
A differential operator W, of the first order sort that we have
 +
been considering, takes a proposition f : X -> B and gives back
 +
a differential proposition Wf: EX -> B.
 +
 +
In the field view, we see the proposition f : X -> B as a scalar field
 +
and we see the differential proposition Wf: EX -> B as a vector field,
 +
specifically, a field of propositions about contemplated changes in X.
 +
 +
The field of changes produced by E on pq is shown in Figure 22-b.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|        o-------------o  o-------------o        |
 +
|      /              \ /              \      |
 +
|      /        P        o        Q        \      |
 +
|    /                /%\                \    |
 +
|    /                /%%%\                \    |
 +
|  o                o.->-.o                o  |
 +
|  |    p(q)(dp)dq  |%\%/%|  (p)q dp(dq)    |  |
 +
|  | o---------------|->o<-|---------------o |  |
 +
|  |                |%%^%%|                |  |
 +
|  o                o%%|%%o                o  |
 +
|    \                \%|%/                /    |
 +
|    \                \|/                /    |
 +
|      \                o                /      |
 +
|      \              /|\              /      |
 +
|        o-------------o | o-------------o        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                  (p)(q) dp dq                  |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
| Ef =              p  q  (dp)(dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      p (q)  (dp) dq                |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p) q    dp (dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p)(q)  dp  dq                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
Figure 22-b.  Enlargement E[pq] : EX -> B
 +
 +
The differential field E[pq] specifies the changes
 +
that need to be made from each point of X in order
 +
to reach one of the models of the proposition pq,
 +
that is, in order to satisfy the proposition pq.
 +
 +
The field of changes produced by D on pq is shown in Figure 22-c.
 +
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                                                |
 +
|        o-------------o  o-------------o        |
 +
|      /              \ /              \      |
 +
|      /        P        o        Q        \      |
 +
|    /                /%\                \    |
 +
|    /                /%%%\                \    |
 +
|  o                o%%%%%o                o  |
 +
|  |      (dp)dq    |%%%%%|    dp(dq)      |  |
 +
|  | o<--------------|->o<-|-------------->o |  |
 +
|  |                |%%^%%|                |  |
 +
|  o                o%%|%%o                o  |
 +
|    \                \%|%/                /    |
 +
|    \                \|/                /    |
 +
|      \                o                /      |
 +
|      \              /|\              /      |
 +
|        o-------------o | o-------------o        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        |                        |
 +
|                        v                        |
 +
|                        o                        |
 +
|                      dp dq                      |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|  f =                  p q                      |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
| Df =              p  q  ((dp)(dq))              |
 +
|                                                |
 +
|          +      p (q)  (dp) dq                |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p) q    dp (dq)              |
 +
|                                                |
 +
|          +      (p)(q)  dp  dq                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
Figure 22-c.  Difference D[pq] : EX -> B
 +
 +
The differential field D[pq] specifies the changes
 +
that need to be made from each point of X in order
 +
to feel a change in the felt value of the field pq.
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 23
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
I want to continue developing the basic tools of differential logic,
 +
which arose out of many years of thinking about the connections
 +
between dynamics and logic -- those there are and those there
 +
ought to be -- but I also wanted to give some hint of the
 +
applications that have motivated this work all along.
 +
One of these applications is to cybernetic systems,
 +
whether we see these systems as agents or cultures,
 +
individuals or species, organisms or organizations.
 +
 +
A cybernetic system has goals and actions for reaching them.
 +
It has a state space X, giving us all of the states that the
 +
system can be in, plus it has a goal space G c X, the set of
 +
states that the system "likes" to be in, in other words, the
 +
distinguished subset of possible states where the system is
 +
regarded as living, surviving, or thriving, depending on the
 +
type of goal that one has in mind for the system in question.
 +
As for actions, there is to begin with the full set !T! of all
 +
possible actions, each of which is a transformation of the form
 +
T : X -> X, but a given cybernetic system will most likely have
 +
but a subset of these actions available to it at any given time.
 +
And even if we begin by thinking of actions in very general and
 +
very global terms, as arbitrarily complex transformations acting
 +
on the whole state space X, we quickly find a need to analyze and
 +
approximate them in terms of simple transformations acting locally.
 +
The preferred measure of "simplicity" will of course vary from one
 +
paradigm of research to another.
 +
 +
A generic enough picture at this stage of the game, and one that will
 +
remind us of these fundamental features of the cybernetic system even
 +
as things get far more complex, is afforded by Figure 23.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o                                    |
 +
|          /                    \                                  |
 +
|          /                      \                                  |
 +
|        /                        \                                |
 +
|        /                          \                                |
 +
|      /                            \                              |
 +
|      /                              \                              |
 +
|    /                                \                            |
 +
|    o                                  o                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    |                G                |                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    |                                  |                            |
 +
|    o                                  o                            |
 +
|    \                                /                            |
 +
|      \                              /                              |
 +
|      \                          T /                              |
 +
|        \            o<------------/-------------o                  |
 +
|        \                        /                                |
 +
|          \                      /                                  |
 +
|          \                    /                                  |
 +
|            o-------------------o                                    |
 +
|                                                                    |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 23.  Elements of a Cybernetic System
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 24
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
Now that we've introduced the field picture for thinking about
 +
propositions and their analytic series, a very pleasing way of
 +
picturing the relationship among a proposition f : X -> B, its
 +
enlargement or shift map Ef : EX -> B, and its difference map
 +
Df : EX -> B can now be drawn.
 +
 +
To illustrate this possibility, let's return to the differential
 +
analysis of the conjunctive proposition f<p, q> = pq, giving the
 +
development a slightly different twist at the appropriate point.
 +
 +
Figure 24-1 shows the proposition pq once again, which we now view
 +
as a scalar field, in effect, a potential "plateau" of elevation 1
 +
over the shaded region, with an elevation of 0 everywhere else.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /                      o                      \          |
 +
|        /                      /%\                      \        |
 +
|        /                      /%%%\                      \        |
 +
|      /                      /%%%%%\                      \      |
 +
|      /                      /%%%%%%%\                      \      |
 +
|    /                      /%%%%%%%%%\                      \    |
 +
|    o                      o%%%%%%%%%%%o                      o    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    |          P            |%%%%%%%%%%%|            Q          |    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    |                      |%%%%%%%%%%%|                      |    |
 +
|    o                      o%%%%%%%%%%%o                      o    |
 +
|    \                      \%%%%%%%%%/                      /    |
 +
|      \                      \%%%%%%%/                      /      |
 +
|      \                      \%%%%%/                      /      |
 +
|        \                      \%%%/                      /        |
 +
|        \                      \%/                      /        |
 +
|          \                      o                      /          |
 +
|          \                    / \                    /          |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|                                                                    |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 24-1.  Proposition pq : X -> B
 +
 +
Given any proposition f : X -> B, the "tacit extension" of f to EX
 +
is notated !e!f : EX -> B and defined by the equation !e!f = f, so
 +
it's really just the same proposition living in a bigger universe.
 +
 +
Tacit extensions formalize the intuitive idea that a new function
 +
is related to an old function in such a way that it obeys the same
 +
constraints on the old variables, with a "don't care" condition on
 +
the new variables.
 +
 +
Figure 24-2 illustrates the "tacit extension" of the proposition
 +
or scalar field f = pq : X -> B to give the extended proposition
 +
or differential field that we notate as !e!f = !e![pq] : EX -> B.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /  P                    o                    Q  \          |
 +
|        /                      / \                      \        |
 +
|        /                      /  \                      \        |
 +
|      /                      /    \                      \      |
 +
|      /                      /      \                      \      |
 +
|    /                      /        \                      \    |
 +
|    o                      o (dp) (dq) o                      o    |
 +
|    |                      |  o-->--o  |                      |    |
 +
|    |                      |  \  /  |                      |    |
 +
|    |            (dp) dq  |    \ /    |  dp (dq)            |    |
 +
|    |          o<-----------------o----------------->o          |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    o                      o    |    o                      o    |
 +
|    \                      \    |    /                      /    |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|        \                      \ | /                      /        |
 +
|        \                      \|/                      /        |
 +
|          \                      |                      /          |
 +
|          \                    /|\                    /          |
 +
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                              dp | dq                              |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                                  v                                  |
 +
|                                  o                                  |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 24-2.  Tacit Extension !e![pq] : EX -> B
 +
 +
Thus we have a pictorial way of visualizing the following data:
 +
 +
  !e![pq]
 +
 +
    =
 +
 +
    p q . dp dq
 +
 +
    +
 +
 +
    p q . dp (dq)
 +
 +
    +
 +
 +
    p q . (dp) dq
 +
 +
    +
 +
 +
    p q . (dp)(dq)
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 25
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
Staying with the example pq : X -> B, Figure 25-1 shows
 +
the enlargement or shift map E[pq] : EX -> B in the same
 +
style of differential field picture that we drew for the
 +
tacit extension !e![pq] : EX -> B.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /  P                    o                    Q  \          |
 +
|        /                      / \                      \        |
 +
|        /                      /  \                      \        |
 +
|      /                      /    \                      \      |
 +
|      /                      /      \                      \      |
 +
|    /                      /        \                      \    |
 +
|    o                      o (dp) (dq) o                      o    |
 +
|    |                      |  o-->--o  |                      |    |
 +
|    |                      |  \  /  |                      |    |
 +
|    |            (dp) dq  |    \ /    |  dp (dq)            |    |
 +
|    |          o----------------->o<-----------------o          |    |
 +
|    |                      |    ^    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    o                      o    |    o                      o    |
 +
|    \                      \    |    /                      /    |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|        \                      \ | /                      /        |
 +
|        \                      \|/                      /        |
 +
|          \                      |                      /          |
 +
|          \                    /|\                    /          |
 +
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                              dp | dq                              |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                                  o                                  |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 25-1.  Enlargement E[pq] : EX -> B
 +
 +
A very important conceptual transition has just occurred here,
 +
almost tacitly, as it were.  Generally speaking, having a set
 +
of mathematical objects of compatible types, in this case the
 +
two differential fields !e!f and Ef, both of the type EX -> B,
 +
is very useful, because it allows us to consider these fields
 +
as integral mathematical objects that can be operated on and
 +
combined in the ways that we usually associate with algebras.
 +
 +
In this case one notices that the tacit extension !e!f and the
 +
enlargement Ef are in a certain sense dual to each other, with
 +
!e!f indicating all of the arrows out of the region where f is
 +
true, and with Ef indicating all of the arrows into the region
 +
where f is true.  The only arc that they have in common is the
 +
no-change loop (dp)(dq) at pq.  If we add the two sets of arcs
 +
mod 2, then the common loop drops out, leaving the 6 arrows of
 +
D[pq] = !e![pq] + E[pq] that are illustrated in Figure 25-2.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /  P                    o                    Q  \          |
 +
|        /                      / \                      \        |
 +
|        /                      /  \                      \        |
 +
|      /                      /    \                      \      |
 +
|      /                      /      \                      \      |
 +
|    /                      /        \                      \    |
 +
|    o                      o          o                      o    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |            (dp) dq  |          |  dp (dq)            |    |
 +
|    |          o<---------------->o<---------------->o          |    |
 +
|    |                      |    ^    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    |                      |    |    |                      |    |
 +
|    o                      o    |    o                      o    |
 +
|    \                      \    |    /                      /    |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|        \                      \ | /                      /        |
 +
|        \                      \|/                      /        |
 +
|          \                      |                      /          |
 +
|          \                    /|\                    /          |
 +
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                              dp | dq                              |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                                  v                                  |
 +
|                                  o                                  |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 25-2.  Difference Map D[pq] : EX -> B
 +
 +
The differential features of D[pq] may be collected cell by cell of
 +
the underlying universe X% = [p, q] to give the following expansion:
 +
 +
  D[pq]
 +
 +
  =
 +
 +
  p q . ((dp)(dq))
 +
 +
  +
 +
 +
  p (q) . (dp) dq
 +
 +
  +
 +
 +
  (p) q . dp (dq)
 +
 +
  +
 +
 +
  (p)(q) . dp dq
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Note 26
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
If we follow the classical line that singles out linear functions
 +
as ideals of simplicity, then we may complete the analytic series
 +
of the proposition f = pq : X -> B in the following way.
 +
 +
Figure 26-1 shows the differential proposition df = d[pq] : EX -> B
 +
that we get by extracting the cell-wise linear approximation to the
 +
difference map Df = D[pq] : EX -> B.  This is the logical analogue
 +
of what would ordinarily be called 'the' differential of pq, but
 +
since I've been attaching the adjective "differential" to just
 +
about everything in sight, the distinction tends to be lost.
 +
For the time being, I'll resort to using the alternative
 +
name "tangent map" for df.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /  P                    o                    Q  \          |
 +
|        /                      / \                      \        |
 +
|        /                      /  \                      \        |
 +
|      /                      /    \                      \      |
 +
|      /                      /  o  \                      \      |
 +
|    /                      /  ^ ^  \                      \    |
 +
|    o                      o  /  \  o                      o    |
 +
|    |                      |  /    \  |                      |    |
 +
|    |                      | /      \ |                      |    |
 +
|    |                      |/        \|                      |    |
 +
|    |                  (dp)/ dq    dp \(dq)                  |    |
 +
|    |                      /|          |\                      |    |
 +
|    |                    / |          | \                    |    |
 +
|    |                    /  |          |  \                    |    |
 +
|    o                  /  o          o  \                  o    |
 +
|    \                v    \  dp dq  /    v                /    |
 +
|      \              o<--------------------->o              /      |
 +
|      \                      \    /                      /      |
 +
|        \                      \  /                      /        |
 +
|        \                      \ /                      /        |
 +
|          \                      o                      /          |
 +
|          \                    / \                    /          |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|                                                                    |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 26-1.  Differential or Tangent d[pq] : EX -> B
 +
 +
Just to be clear about what's being indicated here,
 +
it's a visual way of specifying the following data:
 +
 +
  d[pq]
 +
 +
  =
 +
 +
  p q . (dp, dq)
 +
 +
  +
 +
 +
  p (q) . dq
 +
 +
  +
 +
 +
  (p) q . dp
 +
 +
  +
 +
 +
  (p)(q) . 0
 +
 +
To understand the extended interpretations, that is,
 +
the conjunctions of basic and differential features
 +
that are being indicated here, it may help to note
 +
the following equivalences:
 +
 +
  (dp, dq)  =  dp + dq  =  dp(dq) + (dp)dq
 +
 +
      dp      =  dp dq  +  dp(dq)
 +
 +
      dq      =  dp dq  +  (dp)dq
 +
 +
Capping the series that analyzes the proposition pq
 +
in terms of succeeding orders of linear propositions,
 +
Figure 26-2 shows the remainder map r[pq] : EX -> B,
 +
that happens to be linear in pairs of variables.
 +
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                    |
 +
|  X                                                                |
 +
|            o-------------------o  o-------------------o            |
 +
|          /                    \ /                    \          |
 +
|          /  P                    o                    Q  \          |
 +
|        /                      / \                      \        |
 +
|        /                      /  \                      \        |
 +
|      /                      /    \                      \      |
 +
|      /                      /      \                      \      |
 +
|    /                      /        \                      \    |
 +
|    o                      o          o                      o    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |                      |  dp dq  |                      |    |
 +
|    |            o<------------------------------->o            |    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |                      |          |                      |    |
 +
|    |                      |    o    |                      |    |
 +
|    o                      o    ^    o                      o    |
 +
|    \                      \    |    /                      /    |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
 +
|      \                      \  |  /                      /      |
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|        \                      \ | /                      /        |
 +
|        \                      \|/                      /        |
 +
|          \                    dp | dq                    /          |
 +
|          \                    /|\                    /          |
 +
|            o-------------------o | o-------------------o            |
 +
|                                  |                                  |
 +
|                                  |                                  |
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|                                  v                                  |
 +
|                                  o                                  |
 +
|                                                                    |
 +
o---------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 26-2.  Remainder r[pq] : EX -> B
 +
 +
Reading the arrows off the map produces the following data:
 +
 +
    r[pq]
 +
 +
    =
 +
 +
    p q . dp dq
 +
 +
    +
 +
 +
    p (q) . dp dq
 +
 +
    +
 +
 +
    (p) q . dp dq
 +
 +
    +
 +
 +
    (p)(q) . dp dq
 +
 +
In short, r[pq] is a constant field,
 +
having the value dp dq at each cell.
 +
 +
A more detailed presentation of Differential Logic can be found here:
 +
 +
DLOG D.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2003-May/thread.html#478
 +
DLOG D.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2003-June/thread.html#553
 +
DLOG D.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2003-June/thread.html#571
 +
 +
o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o~~~~~~~~~o
 +
 +
DAL.  Dynamics And Logic
 +
 +
Inquiry List
 +
 +
00.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/thread.html#1400
 +
00.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-July/thread.html#1685
 +
01.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001400.html
 +
02.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001401.html
 +
03.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001402.html
 +
04.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001403.html
 +
05.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001404.html
 +
06.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001405.html
 +
07.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001406.html
 +
08.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001407.html
 +
09.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001408.html
 +
10.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001410.html
 +
11.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001411.html
 +
12.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001412.html
 +
13.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001413.html
 +
14.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001415.html
 +
15.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001416.html
 +
16.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001418.html
 +
17.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001419.html
 +
18.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001420.html
 +
19.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001421.html
 +
20.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001422.html
 +
21.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001423.html
 +
22.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-May/001424.html
 +
23.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-July/001685.html
 +
24.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-July/001686.html
 +
25.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-July/001687.html
 +
26.  http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-July/001688.html
 +
 +
NKS Forum
 +
 +
00.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?threadid=420
 +
01.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1282#post1282
 +
02.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1285#post1285
 +
03.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1289#post1289
 +
04.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1292#post1292
 +
05.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1293#post1293
 +
06.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1294#post1294
 +
07.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1296#post1296
 +
08.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1299#post1299
 +
09.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1301#post1301
 +
10.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1304#post1304
 +
11.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1307#post1307
 +
12.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1309#post1309
 +
13.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1311#post1311
 +
14.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1314#post1314
 +
15.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1315#post1315
 +
16.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1318#post1318
 +
17.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1321#post1321
 +
18.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1323#post1323
 +
19.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1326#post1326
 +
20.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1327#post1327
 +
21.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1330#post1330
 +
22.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1331#post1331
 +
23.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1598#post1598
 +
24.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1601#post1601
 +
25.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1602#post1602
 +
26.  http://forum.wolframscience.com/showthread.php?postid=1603#post1603
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