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| | <br> | | <br> |
| | | | |
| − | =Work Area 1=
| + | {| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" |
| − | | + | |+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables''' |
| − | ==Propositional Forms on Two Variables==
| + | |- style="background:ghostwhite" |
| − | | |
| − | To broaden our experience with simple examples, let us now contemplate the sixteen functions of concrete type <math>X \times Y \to \mathbb{B}</math> and abstract type <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}.</math> For future reference, I will set here a few Tables that detail the actions of <math>\operatorname{E}</math> and <math>\operatorname{D}</math> on each of these functions, allowing us to view the results in several different ways.
| |
| − | | |
| − | By way of initial orientation, Table 1 lists equivalent expressions for the sixteen functions in a number of different languages for zeroth order logic.
| |
| − | | |
| − | ===Table 1===
| |
| − | | |
| − | {| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" | |
| − | |+ '''Table 1. Propositional Forms on Two Variables''' | |
| − | |- style="background:ghostwhite; height:36px" | |
| | | <math>\mathcal{L}_1</math> | | | <math>\mathcal{L}_1</math> |
| | | <math>\mathcal{L}_2</math> | | | <math>\mathcal{L}_2</math> |
| Line 2,875: |
Line 2,865: |
| | | <math>\mathcal{L}_5</math> | | | <math>\mathcal{L}_5</math> |
| | | <math>\mathcal{L}_6</math> | | | <math>\mathcal{L}_6</math> |
| − | |- style="background:ghostwhite; height:48px" | + | |- style="background:ghostwhite" |
| − | | | + | | <p> </p> |
| − | |
| + | | align="right" | <p><math>x\!</math> :</p> |
| − | {| align="right" style="background:ghostwhite; text-align:right"
| + | | <p>1 1 0 0</p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | |- style="background:ghostwhite" |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | align="right" | <p><math>y\!</math> :</p> |
| | + | | <p>1 0 1 0</p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>x\!</math> : | + | | <p><math>f_{0}\!</math></p> |
| | + | | <p><math>f_{0000}\!</math></p> |
| | + | | <p>0 0 0 0</p> |
| | + | | <p><math>(~)\!</math></p> |
| | + | | <p><math>\operatorname{false}</math></p> |
| | + | | <p><math>1\!</math></p> |
| | |- | | |- |
| − | | <math>y\!</math> : | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{1}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{2}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{4}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{8}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0001}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{0010}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{0100}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1000}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 0 0 1</p> |
| | + | <p>0 0 1 0</p> |
| | + | <p>0 1 0 0</p> |
| | + | <p>1 0 0 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x)(y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>(x)\ y\!</math></p> |
| | + | <p><math>x\ (y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>x\ y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p> |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| − | {| align="center" style="background:ghostwhite" | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p> |
| | + | <p><math>\lnot x \land y</math></p> |
| | + | <p><math>x \land \lnot y</math></p> |
| | + | <p><math>x \land y</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | 1 1 0 0 | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{3}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{12}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0011}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1100}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 0 1 1</p> |
| | + | <p>1 1 0 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x)\!</math></p> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{not}\ x</math></p> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x</math></p> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | 1 0 1 0 | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{6}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{9}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0110}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1001}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 1 1 0</p> |
| | + | <p>1 0 0 1</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x,\ y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>((x,\ y))\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>x \ne y</math></p> |
| | + | <p><math>x = y\!</math></p> |
| | |} | | |} |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| | |- | | |- |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{5}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{10}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0101}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1010}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 1 0 1</p> |
| | + | <p>1 0 1 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot y</math></p> |
| | + | <p><math>y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math>f_{0}\!</math></p> | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{7}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{11}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{13}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{14}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0111}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1011}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1101}\!</math></p> |
| | + | <p><math>f_{1110}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 1 1 1</p> |
| | + | <p>1 0 1 1</p> |
| | + | <p>1 1 0 1</p> |
| | + | <p>1 1 1 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x\ y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>(x\ (y))\!</math></p> |
| | + | <p><math>((x)\ y)\!</math></p> |
| | + | <p><math>((x)(y))\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p> |
| | + | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p> |
| | + | <p><math>x \Rightarrow y</math></p> |
| | + | <p><math>x \Leftarrow y</math></p> |
| | + | <p><math>x \lor y</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math> f_{1 }\!</math></p> | + | | <p><math>f_{15}\!</math></p> |
| | + | | <p><math>f_{1111}\!</math></p> |
| | + | | <p>1 1 1 1</p> |
| | + | | <p><math>((~))\!</math></p> |
| | + | | <p><math>\operatorname{true}</math></p> |
| | + | | <p><math>1\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | <br> |
| | + | |
| | + | {| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" |
| | + | |+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables''' |
| | + | |- style="background:ghostwhite" |
| | + | | <math>\mathcal{L}_1</math> |
| | + | | <math>\mathcal{L}_2</math> |
| | + | | <math>\mathcal{L}_3</math> |
| | + | | <math>\mathcal{L}_4</math> |
| | + | | <math>\mathcal{L}_5</math> |
| | + | | <math>\mathcal{L}_6</math> |
| | + | |- style="background:ghostwhite" |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | align="right" | <p><math> x\!</math> :</p> |
| | + | | <p>1 1 0 0</p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | |- style="background:ghostwhite" |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | align="right" | <p><math>y\!</math> :</p> |
| | + | | <p>1 0 1 0</p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | + | | <p> </p> |
| | |- | | |- |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 2}\!</math></p> | + | | <p><math>f_{0}\!</math></p> |
| | + | | <p><math>f_{0000}\!</math></p> |
| | + | | <p>0 0 0 0</p> |
| | + | | <p><math>(~)\!</math></p> |
| | + | | <p><math>\operatorname{false}</math></p> |
| | + | | <p><math>1\!</math></p> |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math>f_{ 3}\!</math></p> | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{1}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{2}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{4}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{8}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0001}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{0010}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{0100}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{1000}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 0 0 1</p><br> |
| | + | <p>0 0 1 0</p><br> |
| | + | <p>0 1 0 0</p><br> |
| | + | <p>1 0 0 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x)(y)\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>(x)\ y\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\ (y)\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\ y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p><br> |
| | + | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p><br> |
| | + | <p><math>\lnot x \land y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x \land \lnot y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x \land y</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math>f_{ 4}\!</math></p> | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{3}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{12}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0011}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{1100}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 0 1 1</p><br> |
| | + | <p>1 1 0 0</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x)\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\operatorname{not}\ x</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\!</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math>f_{ 5}\!</math></p> | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{6}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{9}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>f_{0110}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{1001}\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p>0 1 1 0</p><br> |
| | + | <p>1 0 0 1</p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>(x,\ y)\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>((x,\ y))\!</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p> |
| | + | |} |
| | + | | |
| | + | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>x \ne y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x = y\!</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height=" 36px" | <p><math>f_{ 6}\!</math></p> | + | | |
| − | |-
| + | {| align="center" |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 7}\!</math></p> | + | | |
| | + | <p><math>f_{5}\!</math></p><br> |
| | + | <p><math>f_{10}\!</math></p> |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0000}\!</math></p>
| + | <p><math>f_{0101}\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>f_{1010}\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0001}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0010}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0011}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0100}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0101}\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{0110}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 0111}\!</math></p> | |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | 0 0 0 0
| + | <p>0 1 0 1</p><br> |
| − | |-
| + | <p>1 0 1 0</p> |
| − | | height="36px" | 0 0 0 1
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 0 1 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 0 1 1
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 1 0 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 1 0 1
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 1 1 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 0 1 1 1
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math> (~)\!</math></p> | + | <p><math>(y)\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>y\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>(x)(y)\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(x)\ y\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(x)\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math> x\ (y )\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(y)\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(x,\ y)\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(x\ y)\!</math></p>
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{false}</math></p>
| + | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>y\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{not }\ x</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math> x\ \operatorname{not~equal~to}\ y </math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math> 0\!</math></p> | + | <p><math>\lnot y</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>y\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\lnot x \land y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\lnot x</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x \land \lnot y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\lnot y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math> x \ne y </math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
| |
| | |} | | |} |
| | |- | | |- |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 8}\!</math></ p> | + | <p><math>f_{7}\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>f_{11}\!</math></p><br> |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{9}\!</math></p>
| + | <p><math>f_{13}\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>f_{14}\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{10}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{11}\!</math></ p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{12}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{13}\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{14}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 15}\!</math></p> | |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 1000}\!</math></ p> | + | <p><math>f_{0111}\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>f_{1011}\!</math></p><br> |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1001}\!</math></p>
| + | <p><math>f_{1101}\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>f_{1110}\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1010}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1011}\!</math></ p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1100}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1101}\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{1110}\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>f_{ 1111}\!</math></p> | |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | 1 0 0 0
| + | <p>0 1 1 1</p><br> |
| − | |-
| + | <p>1 0 1 1</p><br> |
| − | | height="36px" | 1 0 0 1
| + | <p>1 1 0 1</p><br> |
| − | |-
| + | <p>1 1 1 0</p> |
| − | | height="36px" | 1 0 1 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 1 0 1 1
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 1 1 0 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 1 1 0 1
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 1 1 1 0
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | 1 1 1 1
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math> x\ y\!</math></p> | + | <p><math>(x\ y)\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>(x\ (y))\!</math></p><br> |
| − | | height="36px" | <p><math>((x,\ y))\!</math></p>
| + | <p><math>((x)\ y)\!</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>((x)(y))\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>(x\ (y))\!</math></ p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>((x)\ y)\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>((x)(y ))\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>((~))\!</math></p>
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| − | |- | + | | |
| − | | height="36px" | <p><math> x\ \operatorname{ and}\ y</math></p> | + | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br> |
| − | | height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
| + | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br> |
| − | |-
| + | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y </math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>\operatorname{true}</math></p>
| |
| | |} | | |} |
| | | | | | |
| | {| align="center" | | {| align="center" |
| | + | | |
| | + | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x \Rightarrow y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x \Leftarrow y</math></p><br> |
| | + | <p><math>x \lor y</math></p> |
| | + | |} |
| | |- | | |- |
| − | | height="36px" | <p><math> x \land y</math></p> | + | | <p><math>f_{15}\!</math></p> |
| − | |-
| + | | <p><math>f_{1111}\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math>x = y\!</math></p>
| + | | <p>1 1 1 1</p> |
| − | |-
| + | | <p><math>((~))\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p><math> y\!</math></p> | + | | <p><math>\operatorname{true}</math></p> |
| − | |-
| + | | <p><math>1\!</math></p> |
| − | | height="36px" | <p> <math>x \Rightarrow y</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math> x\!</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math> x \ Leftarrow y</math></p> | |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>x \lor y</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | | height="36px" | <p><math>1\!</math></p> | |
| − | |}
| |
| | |} | | |} |
| | <br> | | <br> |
| | | | |
| − | ===Table 2 : Variant 1=== | + | =Work Area 1= |
| | + | |
| | + | ==Propositional Forms on Two Variables== |
| | + | |
| | + | To broaden our experience with simple examples, let us now contemplate the sixteen functions of concrete type <math>X \times Y \to \mathbb{B}</math> and abstract type <math>\mathbb{B} \times \mathbb{B} \to \mathbb{B}.</math> For future reference, I will set here a few Tables that detail the actions of <math>\operatorname{E}</math> and <math>\operatorname{D}</math> on each of these functions, allowing us to view the results in several different ways. |
| | + | |
| | + | By way of initial orientation, Table 1 lists equivalent expressions for the sixteen functions in a number of different languages for zeroth order logic. |
| | + | |
| | + | ===Table 1=== |
| | | | |
| | {| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" | | {| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" |
| − | |+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables''' | + | |+ '''Table 1. Propositional Forms on Two Variables''' |
| | |- style="background:ghostwhite; height:36px" | | |- style="background:ghostwhite; height:36px" |
| | | <math>\mathcal{L}_1</math> | | | <math>\mathcal{L}_1</math> |
| Line 3,390: |
Line 3,625: |
| | <br> | | <br> |
| | | | |
| − | ===Table 2 : Work Area=== | + | ===Table 2=== |
| | | | |
| | {| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" | | {| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%" |
| Line 3,691: |
Line 3,926: |
| | |} | | |} |
| | |- style="height:36px" | | |- style="height:36px" |
| − | | <p><math>f_{15}\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>f_{1111}\!</math></p>
| |
| − | | <p>1 1 1 1</p>
| |
| − | | <p><math>((~))\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>\operatorname{true}</math></p>
| |
| − | | <p><math>1\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | ===Table 2 : Variant 2===
| |
| − |
| |
| − | {| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
| |
| − | |+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables'''
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_1</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_2</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_3</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_4</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_5</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_6</math>
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | align="right" | <p><math>x\!</math> :</p>
| |
| − | | <p>1 1 0 0</p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | align="right" | <p><math>y\!</math> :</p>
| |
| − | | <p>1 0 1 0</p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | |-
| |
| − | | <p><math>f_{0}\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>f_{0000}\!</math></p>
| |
| − | | <p>0 0 0 0</p>
| |
| − | | <p><math>(~)\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>\operatorname{false}</math></p>
| |
| − | | <p><math>1\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{1}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{2}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{4}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{8}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0001}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{0010}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{0100}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1000}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 0 0 1</p>
| |
| − | <p>0 0 1 0</p>
| |
| − | <p>0 1 0 0</p>
| |
| − | <p>1 0 0 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x)(y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>(x)\ y\!</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ (y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
| |
| − | <p><math>\lnot x \land y</math></p>
| |
| − | <p><math>x \land \lnot y</math></p>
| |
| − | <p><math>x \land y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{3}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{12}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0011}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1100}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 0 1 1</p>
| |
| − | <p>1 1 0 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ x</math></p>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x</math></p>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{6}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{9}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0110}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1001}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 1 0</p>
| |
| − | <p>1 0 0 1</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x,\ y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>((x,\ y))\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>x \ne y</math></p>
| |
| − | <p><math>x = y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{5}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{10}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0101}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1010}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 0 1</p>
| |
| − | <p>1 0 1 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot y</math></p>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{7}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{11}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{13}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{14}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0111}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1011}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1101}\!</math></p>
| |
| − | <p><math>f_{1110}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 1 1</p>
| |
| − | <p>1 0 1 1</p>
| |
| − | <p>1 1 0 1</p>
| |
| − | <p>1 1 1 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x\ y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>(x\ (y))\!</math></p>
| |
| − | <p><math>((x)\ y)\!</math></p>
| |
| − | <p><math>((x)(y))\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
| |
| − | <p><math>x \Rightarrow y</math></p>
| |
| − | <p><math>x \Leftarrow y</math></p>
| |
| − | <p><math>x \lor y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | | <p><math>f_{15}\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>f_{1111}\!</math></p>
| |
| − | | <p>1 1 1 1</p>
| |
| − | | <p><math>((~))\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>\operatorname{true}</math></p>
| |
| − | | <p><math>1\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| − | ===Table 2 : Variant 3===
| |
| − |
| |
| − | {| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
| |
| − | |+ '''Table 2. Propositional Forms on Two Variables'''
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_1</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_2</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_3</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_4</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_5</math>
| |
| − | | <math>\mathcal{L}_6</math>
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | align="right" | <p><math>x\!</math> :</p>
| |
| − | | <p>1 1 0 0</p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | |- style="background:ghostwhite"
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | align="right" | <p><math>y\!</math> :</p>
| |
| − | | <p>1 0 1 0</p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | | <p> </p>
| |
| − | |-
| |
| − | | <p><math>f_{0}\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>f_{0000}\!</math></p>
| |
| − | | <p>0 0 0 0</p>
| |
| − | | <p><math>(~)\!</math></p>
| |
| − | | <p><math>\operatorname{false}</math></p>
| |
| − | | <p><math>1\!</math></p>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{1}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{2}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{4}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{8}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0001}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{0010}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{0100}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1000}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 0 0 1</p><br>
| |
| − | <p>0 0 1 0</p><br>
| |
| − | <p>0 1 0 0</p><br>
| |
| − | <p>1 0 0 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x)(y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>(x)\ y\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ (y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>\lnot x \land y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x \land \lnot y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x \land y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{3}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{12}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0011}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1100}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 0 1 1</p><br>
| |
| − | <p>1 1 0 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ x</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{6}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{9}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0110}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1001}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 1 0</p><br>
| |
| − | <p>1 0 0 1</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x,\ y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>((x,\ y))\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>x \ne y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x = y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{5}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{10}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0101}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1010}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 0 1</p><br>
| |
| − | <p>1 0 1 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>y\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{7}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{11}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{13}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{14}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>f_{0111}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1011}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1101}\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>f_{1110}\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p>0 1 1 1</p><br>
| |
| − | <p>1 0 1 1</p><br>
| |
| − | <p>1 1 0 1</p><br>
| |
| − | <p>1 1 1 0</p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>(x\ y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>(x\ (y))\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>((x)\ y)\!</math></p><br>
| |
| − | <p><math>((x)(y))\!</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {| align="center"
| |
| − | |
| |
| − | <p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x \Rightarrow y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x \Leftarrow y</math></p><br>
| |
| − | <p><math>x \lor y</math></p>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| | | <p><math>f_{15}\!</math></p> | | | <p><math>f_{15}\!</math></p> |
| | | <p><math>f_{1111}\!</math></p> | | | <p><math>f_{1111}\!</math></p> |