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Directory talk:Jon Awbrey/Papers/Differential Propositional Calculus (view source)

Revision as of 19:28, 29 May 2008

53 bytes added ,  19:28, 29 May 2008
→‎Propositional Forms on Two Variables: rearrange variants
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By way of initial orientation, Table 1 lists equivalent expressions for the sixteen functions in a number of different languages for zeroth order logic.
 
By way of initial orientation, Table 1 lists equivalent expressions for the sixteen functions in a number of different languages for zeroth order logic.
   −
===Variant 1===
+
===Table 1===
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
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<br>
 
<br>
   −
===Variant 2===
+
===Table 2 : Variant 1===
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
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{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{1}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{1}\!</math></p>
−
<p><math>f_{2}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{2}\!</math></p>
−
<p><math>f_{4}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{4}\!</math></p>
 
<p><math>f_{8}\!</math></p>
 
<p><math>f_{8}\!</math></p>
 
|}
 
|}
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{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0001}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0001}\!</math></p>
−
<p><math>f_{0010}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0010}\!</math></p>
−
<p><math>f_{0100}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0100}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1000}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1000}\!</math></p>
 
|}
 
|}
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{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 0 0 1</p><br>
+
<p>0 0 0 1</p>
−
<p>0 0 1 0</p><br>
+
<p>0 0 1 0</p>
−
<p>0 1 0 0</p><br>
+
<p>0 1 0 0</p>
 
<p>1 0 0 0</p>
 
<p>1 0 0 0</p>
 
|}
 
|}
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{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x)(y)\!</math></p><br>
+
<p><math>(x)(y)\!</math></p>
−
<p><math>(x)\ y\!</math></p><br>
+
<p><math>(x)\ y\!</math></p>
−
<p><math>x\ (y)\!</math></p><br>
+
<p><math>x\ (y)\!</math></p>
 
<p><math>x\ y\!</math></p>
 
<p><math>x\ y\!</math></p>
 
|}
 
|}
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{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
−
<p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
+
<p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
−
<p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
+
<p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,940: Line 2,940:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p><br>
+
<p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
−
<p><math>\lnot x \land y</math></p><br>
+
<p><math>\lnot x \land y</math></p>
−
<p><math>x \land \lnot y</math></p><br>
+
<p><math>x \land \lnot y</math></p>
 
<p><math>x \land y</math></p>
 
<p><math>x \land y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,949: Line 2,949:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{3}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{3}\!</math></p>
 
<p><math>f_{12}\!</math></p>
 
<p><math>f_{12}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,955: Line 2,955:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0011}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0011}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1100}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1100}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,961: Line 2,961:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 0 1 1</p><br>
+
<p>0 0 1 1</p>
 
<p>1 1 0 0</p>
 
<p>1 1 0 0</p>
 
|}
 
|}
Line 2,967: Line 2,967:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x)\!</math></p><br>
+
<p><math>(x)\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,973: Line 2,973:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not}\ x</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{not}\ x</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,979: Line 2,979:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x</math></p><br>
+
<p><math>\lnot x</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,986: Line 2,986:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{6}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{6}\!</math></p>
 
<p><math>f_{9}\!</math></p>
 
<p><math>f_{9}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,992: Line 2,992:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0110}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0110}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1001}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1001}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 2,998: Line 2,998:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 1 0</p><br>
+
<p>0 1 1 0</p>
 
<p>1 0 0 1</p>
 
<p>1 0 0 1</p>
 
|}
 
|}
Line 3,004: Line 3,004:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x,\ y)\!</math></p><br>
+
<p><math>(x,\ y)\!</math></p>
 
<p><math>((x,\ y))\!</math></p>
 
<p><math>((x,\ y))\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,010: Line 3,010:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p><br>
+
<p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,016: Line 3,016:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>x \ne y</math></p><br>
+
<p><math>x \ne y</math></p>
 
<p><math>x = y\!</math></p>
 
<p><math>x = y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,023: Line 3,023:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{5}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{5}\!</math></p>
 
<p><math>f_{10}\!</math></p>
 
<p><math>f_{10}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,029: Line 3,029:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0101}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0101}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1010}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1010}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,035: Line 3,035:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 0 1</p><br>
+
<p>0 1 0 1</p>
 
<p>1 0 1 0</p>
 
<p>1 0 1 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,041: Line 3,041:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(y)\!</math></p><br>
+
<p><math>(y)\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,047: Line 3,047:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not}\ y</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,053: Line 3,053:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot y</math></p><br>
+
<p><math>\lnot y</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,060: Line 3,060:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{7}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{7}\!</math></p>
−
<p><math>f_{11}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{11}\!</math></p>
−
<p><math>f_{13}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{13}\!</math></p>
 
<p><math>f_{14}\!</math></p>
 
<p><math>f_{14}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,068: Line 3,068:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0111}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{0111}\!</math></p>
−
<p><math>f_{1011}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{1011}\!</math></p>
−
<p><math>f_{1101}\!</math></p><br>
+
<p><math>f_{1101}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1110}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1110}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,076: Line 3,076:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 1 1</p><br>
+
<p>0 1 1 1</p>
−
<p>1 0 1 1</p><br>
+
<p>1 0 1 1</p>
−
<p>1 1 0 1</p><br>
+
<p>1 1 0 1</p>
 
<p>1 1 1 0</p>
 
<p>1 1 1 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,084: Line 3,084:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x\ y)\!</math></p><br>
+
<p><math>(x\ y)\!</math></p>
−
<p><math>(x\ (y))\!</math></p><br>
+
<p><math>(x\ (y))\!</math></p>
−
<p><math>((x)\ y)\!</math></p><br>
+
<p><math>((x)\ y)\!</math></p>
 
<p><math>((x)(y))\!</math></p>
 
<p><math>((x)(y))\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,092: Line 3,092:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
−
<p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
−
<p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
+
<p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,100: Line 3,100:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p><br>
+
<p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
−
<p><math>x \Rightarrow y</math></p><br>
+
<p><math>x \Rightarrow y</math></p>
−
<p><math>x \Leftarrow y</math></p><br>
+
<p><math>x \Leftarrow y</math></p>
 
<p><math>x \lor y</math></p>
 
<p><math>x \lor y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,115: Line 3,115:  
<br>
 
<br>
   −
===Variant 3===
+
===Table 2 : Variant 2===
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
Line 3,151: Line 3,151:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{1}\!</math></p>
+
<p><math>f_{1}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{2}\!</math></p>
+
<p><math>f_{2}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{4}\!</math></p>
+
<p><math>f_{4}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{8}\!</math></p>
 
<p><math>f_{8}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,159: Line 3,159:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0001}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0001}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{0010}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0010}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{0100}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0100}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{1000}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1000}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,167: Line 3,167:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 0 0 1</p>
+
<p>0 0 0 1</p><br>
−
<p>0 0 1 0</p>
+
<p>0 0 1 0</p><br>
−
<p>0 1 0 0</p>
+
<p>0 1 0 0</p><br>
 
<p>1 0 0 0</p>
 
<p>1 0 0 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,175: Line 3,175:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x)(y)\!</math></p>
+
<p><math>(x)(y)\!</math></p><br>
−
<p><math>(x)\ y\!</math></p>
+
<p><math>(x)\ y\!</math></p><br>
−
<p><math>x\ (y)\!</math></p>
+
<p><math>x\ (y)\!</math></p><br>
 
<p><math>x\ y\!</math></p>
 
<p><math>x\ y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,183: Line 3,183:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p>
+
<p><math>\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y</math></p><br>
−
<p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
+
<p><math>y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
−
<p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
+
<p><math>x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
 
<p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,191: Line 3,191:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p>
+
<p><math>\lnot x \land \lnot y</math></p><br>
−
<p><math>\lnot x \land y</math></p>
+
<p><math>\lnot x \land y</math></p><br>
−
<p><math>x \land \lnot y</math></p>
+
<p><math>x \land \lnot y</math></p><br>
 
<p><math>x \land y</math></p>
 
<p><math>x \land y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,200: Line 3,200:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{3}\!</math></p>
+
<p><math>f_{3}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{12}\!</math></p>
 
<p><math>f_{12}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,206: Line 3,206:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0011}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0011}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{1100}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1100}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,212: Line 3,212:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 0 1 1</p>
+
<p>0 0 1 1</p><br>
 
<p>1 1 0 0</p>
 
<p>1 1 0 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,218: Line 3,218:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x)\!</math></p>
+
<p><math>(x)\!</math></p><br>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,224: Line 3,224:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not}\ x</math></p>
+
<p><math>\operatorname{not}\ x</math></p><br>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,230: Line 3,230:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x</math></p>
+
<p><math>\lnot x</math></p><br>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
<p><math>x\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,237: Line 3,237:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{6}\!</math></p>
+
<p><math>f_{6}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{9}\!</math></p>
 
<p><math>f_{9}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,243: Line 3,243:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0110}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0110}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{1001}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1001}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,249: Line 3,249:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 1 0</p>
+
<p>0 1 1 0</p><br>
 
<p>1 0 0 1</p>
 
<p>1 0 0 1</p>
 
|}
 
|}
Line 3,255: Line 3,255:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x,\ y)\!</math></p>
+
<p><math>(x,\ y)\!</math></p><br>
 
<p><math>((x,\ y))\!</math></p>
 
<p><math>((x,\ y))\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,261: Line 3,261:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p>
+
<p><math>x\ \operatorname{not~equal~to}\ y</math></p><br>
 
<p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{equal~to}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,267: Line 3,267:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>x \ne y</math></p>
+
<p><math>x \ne y</math></p><br>
 
<p><math>x = y\!</math></p>
 
<p><math>x = y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,274: Line 3,274:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{5}\!</math></p>
+
<p><math>f_{5}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{10}\!</math></p>
 
<p><math>f_{10}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,280: Line 3,280:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0101}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0101}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{1010}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1010}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,286: Line 3,286:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 0 1</p>
+
<p>0 1 0 1</p><br>
 
<p>1 0 1 0</p>
 
<p>1 0 1 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,292: Line 3,292:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(y)\!</math></p>
+
<p><math>(y)\!</math></p><br>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,298: Line 3,298:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not}\ y</math></p>
+
<p><math>\operatorname{not}\ y</math></p><br>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,304: Line 3,304:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot y</math></p>
+
<p><math>\lnot y</math></p><br>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
<p><math>y\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,311: Line 3,311:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{7}\!</math></p>
+
<p><math>f_{7}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{11}\!</math></p>
+
<p><math>f_{11}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{13}\!</math></p>
+
<p><math>f_{13}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{14}\!</math></p>
 
<p><math>f_{14}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,319: Line 3,319:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>f_{0111}\!</math></p>
+
<p><math>f_{0111}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{1011}\!</math></p>
+
<p><math>f_{1011}\!</math></p><br>
−
<p><math>f_{1101}\!</math></p>
+
<p><math>f_{1101}\!</math></p><br>
 
<p><math>f_{1110}\!</math></p>
 
<p><math>f_{1110}\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,327: Line 3,327:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p>0 1 1 1</p>
+
<p>0 1 1 1</p><br>
−
<p>1 0 1 1</p>
+
<p>1 0 1 1</p><br>
−
<p>1 1 0 1</p>
+
<p>1 1 0 1</p><br>
 
<p>1 1 1 0</p>
 
<p>1 1 1 0</p>
 
|}
 
|}
Line 3,335: Line 3,335:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>(x\ y)\!</math></p>
+
<p><math>(x\ y)\!</math></p><br>
−
<p><math>(x\ (y))\!</math></p>
+
<p><math>(x\ (y))\!</math></p><br>
−
<p><math>((x)\ y)\!</math></p>
+
<p><math>((x)\ y)\!</math></p><br>
 
<p><math>((x)(y))\!</math></p>
 
<p><math>((x)(y))\!</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,343: Line 3,343:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p>
+
<p><math>\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y</math></p><br>
−
<p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p>
+
<p><math>\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y</math></p><br>
−
<p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p>
+
<p><math>\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x</math></p><br>
 
<p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
 
<p><math>x\ \operatorname{or}\ y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,351: Line 3,351:  
{| align="center"
 
{| align="center"
 
|
 
|
−
<p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p>
+
<p><math>\lnot x \lor \lnot y</math></p><br>
−
<p><math>x \Rightarrow y</math></p>
+
<p><math>x \Rightarrow y</math></p><br>
−
<p><math>x \Leftarrow y</math></p>
+
<p><math>x \Leftarrow y</math></p><br>
 
<p><math>x \lor y</math></p>
 
<p><math>x \lor y</math></p>
 
|}
 
|}
Line 3,366: Line 3,366:  
<br>
 
<br>
   −
===Variant 4===
+
===Table 2 : Variant 3===
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
Line 3,585: Line 3,585:  
|}
 
|}
 
<br>
 
<br>
 +
 +
===Tables 3, 4, 5, 6===
    
The next four Tables expand the expressions of <math>\operatorname{E}f</math> and <math>\operatorname{D}f</math> in two different ways, for each of the sixteen functions.  Notice that the functions are given in a different order, here being collected into a set of seven natural classes.
 
The next four Tables expand the expressions of <math>\operatorname{E}f</math> and <math>\operatorname{D}f</math> in two different ways, for each of the sixteen functions.  Notice that the functions are given in a different order, here being collected into a set of seven natural classes.
    
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
|+ '''Table 2.  <math>\operatorname{E}f</math> Expanded Over Ordinary Features <math>\{ x, y \}\!</math>'''
+
|+ '''Table 3.  <math>\operatorname{E}f</math> Expanded Over Ordinary Features <math>\{ x, y \}\!</math>'''
 
|- style="background:ghostwhite"
 
|- style="background:ghostwhite"
 
| style="width:16%" | &nbsp;
 
| style="width:16%" | &nbsp;
Line 3,712: Line 3,714:     
<pre>
 
<pre>
−
Table 3.  Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
Table 4.  Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
|      |            |            |            |            |            |
 
|      |            |            |            |            |            |
Line 3,766: Line 3,768:  
</pre>
 
</pre>
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 4.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
+
Table 5.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
|      |            |            |            |            |            |
 
|      |            |            |            |            |            |
Line 3,826: Line 3,828:  
</pre>
 
</pre>
 
<pre>
 
<pre>
−
Table 5.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
+
Table 6.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
|      |            |            |            |            |            |
 
|      |            |            |            |            |            |
Jon Awbrey
12,080

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