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Revision as of 13:50, 24 April 2009

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→‎Logic of Relatives
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==Logic of Relatives==
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<br>
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{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
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| align="center" |
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<pre>
 +
Table 3.  Relational Composition
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o---------o---------o---------o---------o
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|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
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o=========o=========o=========o=========o
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|    L    #    X    |    Y    |        |
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o---------o---------o---------o---------o
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|    M    #        |    Y    |    Z    |
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o---------o---------o---------o---------o
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|  L o M  #    X    |        |    Z    |
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o---------o---------o---------o---------o
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</pre>
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|}
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<br>
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{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 3.  Relational Composition}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
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| <math>X\!</math>
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| <math>Y\!</math>
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| &nbsp;
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>M\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Y\!</math>
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| <math>Z\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L \circ M</math>
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| <math>X\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Z\!</math>
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|}
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{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
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| align="center" |
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<pre>
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Table 9.  Composite of Triadic and Dyadic Relations
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o---------o---------o---------o---------o---------o
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|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o=========o
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|    G    #    T    |    U    |        |    V    |
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o---------o---------o---------o---------o---------o
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|    L    #        |    U    |    W    |        |
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o---------o---------o---------o---------o---------o
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|  G o L  #    T    |        |    W    |    V    |
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o---------o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
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|}
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<br>
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{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:75%"
 +
|+ <math>\text{Table 9.  Composite of Triadic and Dyadic Relations}\!</math>
 +
|-
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| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:20%" | &nbsp;
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| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:20%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>G\!</math>
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| <math>T\!</math>
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| <math>U\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>V\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>U\!</math>
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| <math>W\!</math>
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| &nbsp;
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>G \circ L</math>
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| <math>T\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>W\!</math>
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| <math>V\!</math>
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|}
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<br>
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{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
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| align="center" |
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<pre>
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Table 13.  Another Brand of Composition
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    G    #    X    |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    T    #        |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  G o T  #    X    |        |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
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|}
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 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 13.  Another Brand of Composition}\!</math>
 +
|-
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| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>G\!</math>
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| <math>X\!</math>
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| <math>Y\!</math>
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| <math>Z\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>T\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Y\!</math>
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| <math>Z\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>G \circ T</math>
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| <math>X\!</math>
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| &nbsp;
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| <math>Z\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
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<pre>
 +
Table 15.  Conjunction Via Composition
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    L,  #    X    |    X    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    S    #        |    X    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  L , S  #    X    |        |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 15.  Conjunction Via Composition}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L,\!</math>
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| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
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|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>S\!</math>
 +
| &nbsp;
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| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
|-
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| style="border-right:1px solid black" | <math>L,\!S</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>Y\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
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<pre>
 +
Table 18.  Relational Composition P o Q
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #  !1!  |  !1!  |  !1!  |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    P    #    X    |    Y    |        |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    Q    #        |    Y    |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|  P o Q  #    X    |        |    Z    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 18.  Relational Composition}~ P \circ Q</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>\mathit{1}\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>P\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>Q\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Z\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>P \circ Q</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| <math>Z\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellspacing="6" width="90%"
 +
| align="center" |
 +
<pre>
 +
Table 20.  Arrow:  J(L(u, v)) = K(Ju, Jv)
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|        #    J    |    J    |    J    |
 +
o=========o=========o=========o=========o
 +
|    K    #    X    |    X    |    X    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
|    L    #    Y    |    Y    |    Y    |
 +
o---------o---------o---------o---------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="10" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 20.  Arrow Equation:}~~ J(L(u, v)) = K(Ju, Jv)</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; width:25%" | &nbsp;
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black; width:25%" | <math>J\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>K\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
| <math>X\!</math>
 +
|-
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>L\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
| <math>Y\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 
==Grammar Stuff==
 
==Grammar Stuff==
   Line 44: Line 309:  
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 
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−
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+
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−
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+
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| width="20%" | <math>\operatorname{Proposition}</math>
 
|}
 
|}
Line 53: Line 318:  
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{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 
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| width="20%" | <math>s_j\!</math>
−
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+
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| width="20%" | <math>C_j\!</math>
 
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| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
Line 62: Line 327:  
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{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 
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| width="20%" | <math>\operatorname{Conc}^0</math>
−
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+
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| width="20%" | <math>\operatorname{Node}^0</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Node}^0</math>
 
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
Line 68: Line 333:  
|-
 
|-
 
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| width="20%" | <math>\operatorname{Conc}^k_j s_j</math>
−
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+
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−
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+
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| width="20%" | <math>\operatorname{Conj}^k_j q_j</math>
Line 77: Line 342:  
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{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 
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| width="20%" | <math>\operatorname{Surc}^0</math>
−
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+
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^0</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^0</math>
 
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
Line 83: Line 348:  
|-
 
|-
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Surc}^k_j s_j</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Surc}^k_j s_j</math>
−
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~}}</math>
  −
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^k_j c_j</math>
   
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Lobe}^k_j C_j</math>
 +
| width="20%" | <math>\xrightarrow{\operatorname{~~~~~~~~~~}}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Surj}^k_j q_j</math>
 +
|}
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 14.2  Semantic Translation : Equational Form'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:whitesmoke; width:100%"
 +
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 +
| width="20%" | <math>\stackrel{\operatorname{Parse}}{=}</math>
 +
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 +
| width="20%" | <math>\stackrel{\operatorname{Denotation}}{=}</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Proposition}</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
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 +
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 +
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 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>q_j\!</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Conc}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Node}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\underline{1}</math>
 +
|-
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Conc}^k_j s_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Node}^k_j C_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\operatorname{Conj}^k_j q_j</math>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" width="100%"
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Surc}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Lobe}^0 \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\underline{0}</math>
 +
|-
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Surc}^k_j s_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 +
| width="20%" | <math>\downharpoonleft \operatorname{Lobe}^k_j C_j \downharpoonright</math>
 +
| width="20%" | <math>=\!</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Surj}^k_j q_j</math>
 
| width="20%" | <math>\operatorname{Surj}^k_j q_j</math>
 
|}
 
|}
Line 93: Line 412:     
==Table Stuff==
 
==Table Stuff==
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 15.  Boolean Functions on Zero Variables'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
| width="14%" | <math>F\!</math>
 +
| width="14%" | <math>F\!</math>
 +
| width="48%" | <math>F()\!</math>
 +
| width="24%" | <math>F\!</math>
 +
|-
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>F_0^{(0)}\!</math>
 +
| <math>\underline{0}</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|-
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>F_1^{(0)}\!</math>
 +
| <math>\underline{1}</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 16.  Boolean Functions on One Variable'''
 +
|- style="background:whitesmoke"
 +
| width="14%" | <math>F\!</math>
 +
| width="14%" | <math>F\!</math>
 +
| colspan="2" | <math>F(x)\!</math>
 +
| width="24%" | <math>F\!</math>
 +
|- style="background:whitesmoke"
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Jon Awbrey
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