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Figure 12.  The Anchor
 
Figure 12.  The Anchor
 
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 12 -- The Anchor.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 12.  The Anchor'''</font></center></p>
    
===Figure 13.  The Tiller===
 
===Figure 13.  The Tiller===
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Figure 13.  The Tiller
 
Figure 13.  The Tiller
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 13 -- The Tiller.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 13.  The Tiller'''</font></center></p>
    
===Table 14.  Differential Propositions===
 
===Table 14.  Differential Propositions===
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|}
 
|}
 
</font><br>
 
</font><br>
 +
 +
===Figure 16.  A Couple of Fourth Gear Orbits===
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 16 -- A Couple of Fourth Gear Orbits.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 16.  A Couple of Fourth Gear Orbits'''</font></center></p>
    
===Figure 16-a.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  1===
 
===Figure 16-a.  A Couple of Fourth Gear Orbits:  1===
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Figure 18-a.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Areal
 
Figure 18-a.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Areal
 
</pre>
 
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<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 18-a -- Extension from 1 to 2 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 18-a.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Areal'''</font></center></p>
    
===Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle===
 
===Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle===
Line 2,093: Line 2,111:  
Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle
 
Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle
 
</pre>
 
</pre>
 +
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<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 18-b -- Extension from 1 to 2 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 18-b.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Bundle'''</font></center></p>
    
===Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact===
 
===Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact===
Line 2,124: Line 2,146:  
Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact
 
Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 18-c -- Extension from 1 to 2 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 18-c.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Compact'''</font></center></p>
    
===Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph===
 
===Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph===
Line 2,143: Line 2,169:  
Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph
 
Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 18-d -- Extension from 1 to 2 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 18-d.  Extension from 1 to 2 Dimensions:  Digraph'''</font></center></p>
    
===Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal===
 
===Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal===
Line 2,186: Line 2,216:  
Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal
 
Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 19-a -- Extension from 2 to 4 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 19-a.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Areal'''</font></center></p>
    
===Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle===
 
===Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle===
Line 2,247: Line 2,281:  
Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle
 
Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 19-b -- Extension from 2 to 4 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 19-b.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Bundle'''</font></center></p>
    
===Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact===
 
===Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact===
Line 2,287: Line 2,325:  
Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact
 
Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 19-c -- Extension from 2 to 4 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 19-c.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Compact'''</font></center></p>
    
===Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph===
 
===Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph===
Line 2,330: Line 2,372:  
Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph
 
Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 19-d -- Extension from 2 to 4 Dimensions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 19-d.  Extension from 2 to 4 Dimensions:  Digraph'''</font></center></p>
    
===Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)===
 
===Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)===
Line 2,360: Line 2,406:  
Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)
 
Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 20-i -- Thematization of Conjunction (Stage 1).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 20-i.  Thematization of Conjunction (Stage 1)'''</font></center></p>
    
===Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)===
 
===Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)===
Line 2,407: Line 2,457:  
Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)
 
Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 20-ii -- Thematization of Conjunction (Stage 2).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 20-ii.  Thematization of Conjunction (Stage 2)'''</font></center></p>
    
===Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)===
 
===Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)===
Line 2,450: Line 2,504:  
Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)
 
Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 20-iii -- Thematization of Conjunction (Stage 3).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 20-iii.  Thematization of Conjunction (Stage 3)'''</font></center></p>
    
===Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality===
 
===Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality===
Line 2,516: Line 2,574:  
Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality
 
Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 21 -- Thematization of Disjunction and Equality.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 21.  Thematization of Disjunction and Equality'''</font></center></p>
    
===Table 22.  Disjunction ''f'' and Equality ''g''===
 
===Table 22.  Disjunction ''f'' and Equality ''g''===
Line 3,673: Line 3,735:  
Figure 30.  Generic Frame of a Logical Transformation
 
Figure 30.  Generic Frame of a Logical Transformation
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 30 -- Generic Frame of a Logical Transformation.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 30.  Generic Frame of a Logical Transformation'''</font></center></p>
    
===Formula Display 3===
 
===Formula Display 3===
Line 3,729: Line 3,797:  
Figure 31.  Operator Diagram (1)
 
Figure 31.  Operator Diagram (1)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 31 -- Operator Diagram (1).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 31.  Operator Diagram (1)'''</font></center></p>
    
===Figure 32.  Operator Diagram (2)===
 
===Figure 32.  Operator Diagram (2)===
Line 3,754: Line 3,828:  
Figure 32.  Operator Diagram (2)
 
Figure 32.  Operator Diagram (2)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 32 -- Operator Diagram (2).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 32.  Operator Diagram (2)'''</font></center></p>
    
===Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)===
 
===Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)===
Line 3,774: Line 3,854:  
Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)
 
Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 33-i -- Analytic Diagram (1).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 33-i.  Analytic Diagram (1)'''</font></center></p>
    
===Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)===
 
===Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)===
Line 3,794: Line 3,880:  
Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)
 
Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 33-ii -- Analytic Diagram (2).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 33-ii.  Analytic Diagram (2)'''</font></center></p>
    
===Formula Display 4===
 
===Formula Display 4===
Line 4,012: Line 4,104:  
Figure 34.  Tangent Functor Diagram
 
Figure 34.  Tangent Functor Diagram
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
'''Note.'''  The following image was corrupted in transit between software platforms.
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 34 -- Tangent Functor Diagram.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 34.  Tangent Functor Diagram'''</font></center></p>
    
===Figure 35.  Conjunction as Transformation===
 
===Figure 35.  Conjunction as Transformation===
Line 4,067: Line 4,165:  
Figure 35.  Conjunction as Transformation
 
Figure 35.  Conjunction as Transformation
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 35 -- A Conjunction Viewed as a Transformation.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 35.  Conjunction as Transformation'''</font></center></p>
    
===Table 36.  Computation of !e!J===
 
===Table 36.  Computation of !e!J===
Line 4,140: Line 4,242:  
</font><br>
 
</font><br>
   −
===Figure 37-a.  Tacit Extension of J (Areal)===
+
===Figure 37-a.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,183: Line 4,285:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 37-b.  Tacit Extension of J (Bundle)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 37-a -- Tacit Extension of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 37-a.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 37-b.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,252: Line 4,358:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 37-c.  Tacit Extension of J (Compact)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 37-b -- Tacit Extension of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 37-b.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 37-c.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,292: Line 4,402:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 37-d.  Tacit Extension of J (Digraph)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 37-c -- Tacit Extension of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 37-c.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 37-d.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,333: Line 4,447:  
Figure 37-d.  Tacit Extension of J (Digraph)
 
Figure 37-d.  Tacit Extension of J (Digraph)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 37-d -- Tacit Extension of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 37-d.  Tacit Extension of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)'''</font></center></p>
    
===Table 38.  Computation of EJ (Method 1)===
 
===Table 38.  Computation of EJ (Method 1)===
Line 4,369: Line 4,487:  
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 38.  Computation of E''J'' (Method 1)
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | E''J''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="44%" | ''J''‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
 +
| width="44%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="44%" | (''u'', d''u'')(''v'', d''v'')
 +
| width="44%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="44%" | &nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;''J''‹1 + d''u'', 1 + d''v''›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | &nbsp;''u''&nbsp;(''v'')&nbsp;''J''‹1 + d''u'', 0 + d''v''›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | (''u'')&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;''J''‹0 + d''u'', 1 + d''v''›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | (''u'')(''v'')&nbsp;''J''‹0 + d''u'', 0 + d''v''›
 +
| width="44%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="44%" | &nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;''J''‹(d''u''),&nbsp;(d''v'')›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | &nbsp;''u''&nbsp;(''v'')&nbsp;''J''‹(d''u''),&nbsp;&nbsp;d''v''&nbsp;›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | (''u'')&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;''J''‹&nbsp;d''u''&nbsp;, (d''v'')›
 +
| width="44%" | +
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | &nbsp;
 +
| width="44%" | (''u'')(''v'')&nbsp;''J''‹&nbsp;d''u''&nbsp;,&nbsp;&nbsp;d''v''&nbsp;›
 +
| width="44%" | &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | E''J''
 +
| width="23%" | = ''u'' ''v'' (d''u'')(d''v'')
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'') (d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
    
===Table 39.  Computation of EJ (Method 2)===
 
===Table 39.  Computation of EJ (Method 2)===
Line 4,385: Line 4,594:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 40-a.  Enlargement of J (Areal)===
+
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 39.  Computation of E''J'' (Method 2)
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | E''J''
 +
| colspan="2" | = ‹''u'' + d''u''› <math>\cdot</math> ‹''v'' + d''v''›
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| colspan="2" | = ''u'' ''v'' + ''u'' d''v'' + ''v'' d''u'' + d''u'' d''v''
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | E''J''
 +
| width="23%" | = ''u'' ''v'' (d''u'')(d''v'')
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'') (d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 40-a.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,428: Line 4,665:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 40-b.  Enlargement of J (Bundle)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 40-a -- Enlargement of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 40-a.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 40-b.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,497: Line 4,738:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 40-c.  Enlargement of J (Compact)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 40-b -- Enlargement of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 40-b.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 40-c.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,537: Line 4,782:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 40-d.  Enlargement of J (Digraph)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 40-c -- Enlargement of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 40-c.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 40-d.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,578: Line 4,827:  
Figure 40-d.  Enlargement of J (Digraph)
 
Figure 40-d.  Enlargement of J (Digraph)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 40-d -- Enlargement of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 40-d.  Enlargement of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)'''</font></center></p>
    
===Table 41.  Computation of DJ (Method 1)===
 
===Table 41.  Computation of DJ (Method 1)===
Line 4,607: Line 4,860:  
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 41.  Computation of D''J'' (Method 1)
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''J''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="42%" | E''J''
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="42%" | <math>\epsilon</math>''J''
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="42%" | ''J''‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="42%" | ''J''‹''u'', ''v''›
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="42%" | (''u'', d''u'')(''v'', d''v'')
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="42%" | ''u'' ''v''
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''J''
 +
| width="3%"  | =
 +
| width="20%" align=center | 0
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="3%"  | +
 +
| width="20%" | ''u'' ''v'' (d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'')(d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="3%"  | +
 +
| width="20%" | ''u'' ''v''&nbsp;&nbsp;d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="3%"  | +
 +
| width="20%" | ''u'' ''v''&nbsp;&nbsp;d''u''&nbsp;&nbsp;d''v''
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | &nbsp;
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''J''
 +
| width="3%"  | =
 +
| width="23%" | ''u'' ''v'' ((d''u'')(d''v''))
 +
| width="22%" | + ''u'' (''v'')(d''u'') d''v''
 +
| width="22%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="22%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
    
===Table 42.  Computation of DJ (Method 2)===
 
===Table 42.  Computation of DJ (Method 2)===
Line 4,627: Line 4,947:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Table 43.  Computation of DJ (Method 3)===
+
<font face="courier new">
−
 
+
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
−
<pre>
+
|+ Table 42.  Computation of D''J'' (Method 2)
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''J''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="16%" | <math>\epsilon</math>''J''
 +
| width="4%"  | +
 +
| colspan="5" | E''J''
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="16%" | ''J''‹''u'', ''v''›
 +
| width="4%"  | +
 +
| colspan="5" | ''J''‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="16%" | ''u'' ''v''
 +
| width="4%"  | +
 +
| colspan="5" | (''u'', d''u'')(''v'', d''v'')
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="16%" | 0
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="16%" | ''u'' d''v''
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="16%" | ''v'' d''u''
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="28%" | d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| width="8%"  | D''J''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="16%"  | 0
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="16%"  | ''u'' (d''u'') d''v''
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="16%"  | ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="28%"  | ((''u'', ''v'')) d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 43.  Computation of DJ (Method 3)===
 +
 
 +
<pre>
 
Table 43.  Computation of DJ (Method 3)
 
Table 43.  Computation of DJ (Method 3)
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
Line 4,647: Line 5,013:  
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 43.  Computation of D''J'' (Method 3)
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="3%"  | =
 +
| width="20%" | <math>\epsilon</math>''J''
 +
| width="3%"  | +
 +
| width="20%" | E''J''
 +
| width="48%" | &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | <math>\epsilon</math>''J''
 +
| width="23%" | =&nbsp;''u''&nbsp;''v''&nbsp;(d''u'')(d''v'')
 +
| width="23%" | +&nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;(d''u'')&nbsp;d''v''
 +
| width="23%" | +&nbsp;&nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;d''u''&nbsp;(d''v'')
 +
| width="25%" | +&nbsp;&nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;d''u''&nbsp;d''v''
 +
|-
 +
| width="6%"  | E''J''
 +
| width="23%" | = ''u'' ''v'' (d''u'')(d''v'')
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'')(d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="25%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="23%" | = 0 <math>\cdot</math> (d''u'')(d''v'')
 +
| width="23%" | + ''u'' <math>\cdot</math> (d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + ''v'' <math>\cdot</math> d''u'' (d''v'')
 +
| width="25%" | + ((''u'', ''v'')) d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
    
===Formula Display 8===
 
===Formula Display 8===
Line 4,664: Line 5,069:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 44-a.  Difference Map of J (Areal)===
+
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | <math>\epsilon</math>''J''
 +
| width="47%" | = {Dispositions from  ''J''  to  ''J''  }
 +
| width="47%" | + {Dispositions from  ''J''  to (''J'') }
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="6%"  | E''J''
 +
| width="47%" | = {Dispositions from  ''J''  to  ''J'' }
 +
| width="47%" | + {Dispositions from (''J'') to  ''J'' }
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="47%" | = (<math>\epsilon</math>''J'', E''J'')
 +
| width="47%" | &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="47%" | = {Dispositions from  ''J''  to (''J'') }
 +
| width="47%" | + {Dispositions from (''J'') to  ''J''  }
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 44-a.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,707: Line 5,141:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 44-b.  Difference Map of J (Bundle)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 44-a -- Difference Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 44-a.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 44-b.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,776: Line 5,214:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 44-c.  Difference Map of J (Compact)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 44-b -- Difference Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 44-b.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 44-c.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,817: Line 5,259:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 44-d.  Difference Map of J (Digraph)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 44-c -- Difference Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 44-c.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 44-d.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,855: Line 5,301:  
Figure 44-d.  Difference Map of J (Digraph)
 
Figure 44-d.  Difference Map of J (Digraph)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 44-d -- Difference Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 44-d.  Difference Map of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)'''</font></center></p>
    
===Table 45.  Computation of dJ===
 
===Table 45.  Computation of dJ===
Line 4,866: Line 5,316:  
| =>                                                                            |
 
| =>                                                                            |
 
|                                                                              |
 
|                                                                              |
−
| dj =  u v  (du, dv)  +  u (v) dv      +  (u) v  du      +  (u)(v) . 0    |
+
| dJ =  u v  (du, dv)  +  u (v) dv      +  (u) v  du      +  (u)(v) . 0    |
 
|                                                                              |
 
|                                                                              |
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 46-a.  Differential of J (Areal)===
+
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 45.  Computation of d''J''
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="25%" | = ''u'' ''v'' ((d''u'')(d''v''))
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'')(d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| width="6%"  | &rArr;
 +
|-
 +
| width="6%"  | d''J''
 +
| width="25%" | = ''u'' ''v'' (d''u'', d''v'')
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u''
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') <math>\cdot</math> 0
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 46-a.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,914: Line 5,386:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 46-b.  Differential of J (Bundle)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 46-a -- Differential of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 46-a.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 46-b.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 4,983: Line 5,459:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 46-c.  Differential of J (Compact)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 46-b -- Differential of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 46-b.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 46-c.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,020: Line 5,500:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 46-d.  Differential of J (Digraph)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 46-c -- Differential of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 46-c.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 46-d.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,056: Line 5,540:  
Figure 46-d.  Differential of J (Digraph)
 
Figure 46-d.  Differential of J (Digraph)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 46-d -- Differential of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 46-d.  Differential of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)'''</font></center></p>
    
===Table 47.  Computation of rJ===
 
===Table 47.  Computation of rJ===
Line 5,078: Line 5,566:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 48-a.  Remainder of J (Areal)===
+
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|+ Table 47.  Computation of r''J''
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | r''J''
 +
| width="5%"  | =
 +
| align="center" width="20%" | D''J''
 +
| width="3%"  | +
 +
| align="center" width="20%" | d''J''
 +
| width="46%" | &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | D''J''
 +
| width="25%" | = ''u'' ''v'' ((d''u'')(d''v''))
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'')(d''u'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' (d''v'')
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| width="6%"  | d''J''
 +
| width="25%" | = ''u'' ''v''&nbsp;&nbsp;(d''u'', d''v'')
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'') d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u''
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') <math>\cdot</math> 0
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="6%"  | r''J''
 +
| width="25%" | = ''u'' ''v''&nbsp;&nbsp;&nbsp;d''u'' d''v''
 +
| width="23%" | + ''u'' (''v'') d''u'' d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'') ''v'' d''u'' d''v''
 +
| width="23%" | + (''u'')(''v'') d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 48-a.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,121: Line 5,648:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 48-b.  Remainder of J (Bundle)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 48-a -- Remainder of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 48-a.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Areal)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 48-b.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,190: Line 5,721:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 48-c.  Remainder of J (Compact)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 48-b -- Remainder of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 48-b.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Bundle)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 48-c.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,230: Line 5,765:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 48-d.  Remainder of J (Digraph)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 48-c -- Remainder of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 48-c.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Compact)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 48-d.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)===
    
<pre>
 
<pre>
Line 5,266: Line 5,805:  
Figure 48-d.  Remainder of J (Digraph)
 
Figure 48-d.  Remainder of J (Digraph)
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 48-d -- Remainder of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 48-d.  Remainder of ''J''&nbsp;&nbsp;(Digraph)'''</font></center></p>
    
===Table 49.  Computation Summary for J===
 
===Table 49.  Computation Summary for J===
Line 5,285: Line 5,828:  
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
o-------------------------------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 49.  Computation Summary for ''J''
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''J''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 1
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || 0
 +
|-
 +
| E''J''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'')(d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'')d''v''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''u''(d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| D''J''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || ((d''u'')(d''v''))
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'')d''v''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''u''(d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''J''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''v''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''u''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || 0
 +
|-
 +
| r''J''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
    
===Table 50.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
 
===Table 50.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
Line 5,335: Line 5,916:  
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 9===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
 
+
|+ Table 50.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
−
<pre>
+
|
−
o-------------------------------------------------o
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|                                                 |
+
|
−
|         u'  =   u + du  =   (u, du)          |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|                                                 |
+
| ''u''
−
|         v'  =   v + du  =   (v, dv)          |
+
| ''v''
−
|                                                 |
+
|}
−
o-------------------------------------------------o
+
|
−
</pre>
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
 
+
| d''u''
−
===Formula Display 10===
+
| d''v''
−
 
+
|}
−
<pre>
+
|
−
o--------------------------------------------------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|                                                             |
+
| ''u''<font face="courier new">’</font>
−
|   EJ<u, v, du, dv>  =   J<u + du, v + dv>  =   J<u', v'>  |
+
| ''v''<font face="courier new">’</font>
−
|                                                             |
+
|}
−
o--------------------------------------------------------------o
+
|-
−
</pre>
+
|
−
 
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
===Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
+
| 0      || 0
−
 
+
|-
−
<pre>
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
+
|-
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
| u    v  |   J    |     EJ    |     DJ    |     dJ    |   d^2.J  |
+
|-
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
|           |         |           |           |           |          |
+
|}
−
| 0     0 |    0    |   du  dv  |   du  dv  |     ()    |  du dv  |
+
|
−
|           |         |           |           |           |           |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| 0    1  |   0    |   du (dv)  |   du (dv)  |     du    |   du dv  |
+
| 0 || 0
−
|           |         |           |           |           |           |
+
|-
−
| 1    0 |   0   | (du) dv  | (du) dv  |     dv    |   du dv  |
+
| 0 || 1
−
|           |         |           |           |           |           |
+
|-
−
| 1     1  |   1    | (du)(dv)  | ((du)(dv)) |  (du, dv)  |  du dv  |
+
| 1 || 0
−
|          |        |            |            |            |          |
+
|-
−
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
+
| 1 || 1
−
</pre>
+
|}
−
 
+
|
−
===Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)===
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
 
+
| 0 || 0
−
<pre>
+
|-
−
            o                          o                          o
+
| 0 || 1
−
          /%\                        /%\                        / \
+
|-
−
          /%%%\                      /%%%\                      /  \
+
| 1 || 0
−
        o%%%%%o                    o%%%%%o                    o    o
+
|-
−
        / \%%%/ \                  /%\%%%/%\                  /%\  /%\
+
| 1 || 1
−
      /  \%/  \                /%%%\%/%%%\                /%%%\ /%%%\
+
|}
−
      o    o    o              o%%%%%o%%%%%o              o%%%%%o%%%%%o
+
|-
−
    /%\  / \  /%\            / \%%%/%\%%%/ \            /%\%%%/%\%%%/%\
+
|
−
    /%%%\ /  \ /%%%\          /  \%/%%%\%/  \          /%%%\%/%%%\%/%%%\
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
  o%%%%%o    o%%%%%o        o    o%%%%%o    o        o%%%%%o%%%%%o%%%%%o
+
| 0      || 1
−
  / \%%%/ \  / \%%%/ \      / \  / \%%%/ \  / \      / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \
+
|-
−
/  \%/  \ /  \%/  \    /  \ /  \%/  \ /  \    /  \%/  \%/  \%/  \
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
o    o    o    o    o  o    o    o    o    o  o    o    o    o    o
+
|-
−
|\  / \  /%\  / \  /|  |\  / \  / \  / \  /|  |\  / \  /%\  / \  /|
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
| \ /  \ /%%%\ /  \ / |  | \ /  \ /  \ /  \ / |  | \ /  \ /%%%\ /  \ / |
+
|-
−
|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |  |  o    o%%%%%o    o  |
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
|  |\  / \%%%/ \  /|  |  |  |\  / \  / \  /|  |  |  |\  / \%%%/ \  /|  |
+
|}
−
|u | \ /  \%/  \ / | v|  |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
+
|
−
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
  |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |
+
| 0 || 0
−
  | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
+
|-
−
  o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
+
| 0 || 1
−
          \  /                      \  /                      \  /
+
|-
−
          \ /                        \ /                        \ /
+
| 1 || 0
−
            o                          o                          o
+
|-
−
 
+
| 1 || 1
−
          EJ            =            J            +            DJ
+
|}
−
 
+
|
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
| 0 || 1
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
|-
−
|    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |
+
| 0 || 0
−
|    /      o      \    |  |    /      o      \    |  |    /      o      \    |
+
|-
−
|  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |
+
| 1 || 1
−
|  o      /->-\      o  |  |  o      /->-\      o  |  |  o      /  \      o  |
+
|-
−
|  |    o \ / o    |  |  |  |    o \ / o    |  |  |  |    o    o    |  |
+
| 1 || 0
−
|  |  @--|->@<-|--@  |  |  |  |  @<-|--@--|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |
+
|}
−
|  |    o  ^  o    |  |  |  |    o  |  o    |  |  |  |    o  ^  o    |  |
+
|-
−
|  o      \ | /      o  |  |  o      \ | /      o  |  |  o      \ | /      o  |
+
|
−
|  \      \|/      /  |  |  \      \|/      /  |  |  \      \|/      /  |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|    \      |      /    |  |    \      |      /    |  |    \      |      /    |
+
| 1      || 0
−
|    \    /|\    /    |  |    \    /|\    /    |  |    \    /|\    /    |
+
|-
−
|      o--o | o--o      |  |      o--o v o--o      |  |      o--o v o--o      |
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
|          @          |  |          @          |  |          @          |
+
|-
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)
+
|-
−
</pre>
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
 
+
|}
−
===Figure 53.  Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)===
+
|
−
 
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
<pre>
+
| 0 || 0
−
            o                          o                          o
+
|-
−
          / \                        / \                        / \
+
| 0 || 1
−
          /  \                      /  \                      /  \
+
|-
−
        o    o                    o    o                    o    o
+
| 1 || 0
−
        /%\  /%\                  /%\  /%\                  / \  / \
+
|-
−
      /%%%\ /%%%\                /%%%\%/%%%\                /  \ /  \
+
| 1 || 1
−
      o%%%%%o%%%%%o              o%%%%%o%%%%%o              o    o    o
+
|}
−
    /%\%%%/%\%%%/%\            /%\%%%/ \%%%/%\            / \  /%\  / \
+
|
−
    /%%%\%/%%%\%/%%%\          /%%%\%/  \%/%%%\          /  \ /%%%\ /  \
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
  o%%%%%o%%%%%o%%%%%o        o%%%%%o    o%%%%%o        o    o%%%%%o    o
+
| 1 || 0
−
  / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \      / \%%%/%\  /%\%%%/ \      / \  /%\%%%/%\  / \
+
|-
−
/  \%/  \%/  \%/  \    /  \%/%%%\ /%%%\%/  \    /  \ /%%%\%/%%%\ /  \
+
| 1 || 1
−
o    o    o    o    o  o    o%%%%%o%%%%%o    o  o    o%%%%%o%%%%%o    o
+
|-
−
|\  / \  /%\  / \  /|  |\  / \%%%/ \%%%/ \  /|  |\  / \%%%/%\%%%/ \  /|
+
| 0 || 0
−
| \ /  \ /%%%\ /  \ / |  | \ /  \%/  \%/  \ / |  | \ /  \%/%%%\%/  \ / |
+
|-
−
|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |  |  o    o%%%%%o    o  |
+
| 0 || 1
−
|  |\  / \%%%/ \  /|  |  |  |\  / \  / \  /|  |  |  |\  / \%%%/ \  /|  |
+
|}
−
|u | \ /  \%/  \ / | v|  |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
+
|-
−
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
+
|
−
  |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |        |  \  / \  /  |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
  | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
+
| 1      || 1
−
  o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
+
|-
−
          \  /                      \  /                      \  /
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
          \ /                        \ /                        \ /
+
|-
−
            o                          o                          o
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
 
+
|-
−
          DJ            =            dJ            +            ddJ
+
| &nbsp; || &nbsp;
−
 
+
|}
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
|
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
| 1 || 1
−
|    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |  |    /    \ /    \    |
+
|-
−
|    /      o      \    |  |    /      o      \    |  |    /      o      \    |
+
| 1 || 0
−
|  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |  |  /  u  / \  v  \  |
+
|-
−
|  o      /  \      o  |  |  o      /  \      o  |  |  o      /  \      o  |
+
| 0 || 1
−
|  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |
+
|-
−
|  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|-----|->@  |  |
+
| 0 || 0
−
|  |    o  ^  o    |  |  |  |  ^ o    o ^  |  |  |  |    o  @  o    |  |
+
|}
−
|  o      \ | /      o  |  |  o    \ \  / /    o  |  |  o      \ ^ /      o  |
+
|
−
|  \      \|/      /  |  |  \    --\-/--    /  |  |  \      \|/      /  |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|    \      |      /    |  |    \      o      /    |  |    \      |      /    |
+
| 0 || 0
−
|    \    /|\    /    |  |    \    / \    /    |  |    \    /|\    /    |
+
|-
−
|      o--o v o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o v o--o      |
+
| 0 || 1
−
|          @          |  |          @          |  |          @          |
+
|-
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
| 1 || 0
−
Figure 53.  Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)
+
|-
−
</pre>
+
| 1 || 1
−
 
+
|}
−
===Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators===
+
|}
−
 
+
|
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
+
|
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
+
| <math>\epsilon</math>''J''
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| E''J''
−
|      |                        |                  |                            |
+
|}
−
| U%  | = [u, v]                | Source Universe  | [B^2]                      |
+
|
−
|      |                        |                  |                            |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| D''J''
−
|      |                        |                  |                            |
+
|}
−
| X%  | = [x]                  | Target Universe  | [B^1]                      |
+
|
−
|      |                        |                  |                            |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| d''J''
−
|      |                        |                  |                            |
+
| d<sup>2</sup>''J''
−
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^2 x D^2]                |
+
|}
−
|      |                        | Source Universe  |                            |
+
|-
−
|      |                        |                  |                            |
+
|
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|      |                        |                  |                            |
+
| 0      || 0
−
| EX%  | = [x, dx]              | Extended        | [B^1 x D^1]                |
+
|-
−
|      |                        | Target Universe  |                            |
+
| &nbsp; || 0
−
|      |                        |                  |                            |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| &nbsp; || 0
−
|      |                        |                  |                            |
+
|-
−
| J    | J : U -> B              | Proposition      | (B^2 -> B) c [B^2]        |
+
| &nbsp; || 1
−
|      |                        |                  |                            |
+
|}
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|
−
|      |                        |                  |                            |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| J    | J : U% -> X%            | Transformation,  | [B^2] -> [B^1]            |
+
| 0
−
|      |                        | or Mapping      |                            |
+
|-
−
|      |                        |                  |                            |
+
| 0
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|-
−
|      |                        |                  |                            |
+
| 0
−
| W    | W :                    | Operator        |                            |
+
|-
−
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
+
| 1
−
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
+
|}
−
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^2] -> [B^1])          |
+
|
−
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|      | e!, !h!, E, D, d        |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
+
| 0 || 0
−
|      |                        |                  |                            |
+
|-
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
| 0 || 0
−
|      |                        |                                              |
+
|-
−
| !e!  |                        | Tacit Extension Operator  !e!                |
+
| 0 || 0
−
| !h!  |                        | Trope Extension Operator  !h!                |
+
|-
−
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
+
| 0 || 1
−
|  D  |                        | Difference Operator        D                |
+
|}
−
|  d  |                        | Differential Operator      d                |
+
|-
−
|      |                        |                                              |
+
|
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|      |                        |                  |                            |
+
| 0      || 0
−
| $W$  | $W$ :                  | Operator        |                            |
+
|-
−
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
+
| &nbsp; || 0
−
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                  | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
+
|-
−
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^2] -> [B^1])          |
+
| &nbsp; || 1
−
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
+
|-
−
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
+
| &nbsp; || 0
−
|      |                        |                  |                            |
+
|}
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|
−
|      |                        |                                              |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| $e$  |                        | Radius Operator            $e$ = <!e!, !h!>  |
+
| 0
−
| $E$  |                        | Secant Operator            $E$ = <!e!,  E >  |
+
|-
−
| $D$  |                        | Chord Operator            $D$ = <!e!,  D >  |
+
| 0
−
| $T$  |                        | Tangent Functor            $T$ = <!e!,  d >  |
+
|-
−
|      |                        |                                              |
+
| 1
−
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
+
|-
−
</pre>
+
| 0
−
 
+
|}
−
===Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes===
+
|
−
 
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
<pre>
+
| 0 || 0
−
Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| 0 || 0
−
|              | Operator            | Proposition        | Map                  |
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| 1 || 0
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
| Tacit        | !e! :                | !e!J :            | !e!J :              |
+
| 1 || 1
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x]    |
+
|}
−
|              | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^2 x D^2 -> B    | [B^2 x D^2]->[B^1]  |
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
|
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 0      || 0
−
| Trope        | !h! :                | !h!J :            | !h!J :              |
+
|-
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
+
| &nbsp; || 1
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| &nbsp; || 0
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| &nbsp; || 0
−
| Enlargement  | E :                  | EJ :              | EJ :                |
+
|}
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
+
|
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 0
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 1
−
| Difference  | D :                  | DJ :              | DJ :                |
+
|-
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
+
| 0
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 0
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|}
−
|              |                      |                    |                      |
+
|
−
| Differential | d :                  | dJ :              | dJ :                |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
+
| 0 || 0
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 1 || 0
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|-
−
|              |                      |                    |                      |
+
| 0 || 0
−
| Remainder    | r :                  | rJ :              | rJ :                |
+
|-
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
+
| 1 || 1
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
+
|}
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|
−
|              |                      |                    |                      |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$J :              |
+
| 0      || 1
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
+
|-
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
+
| &nbsp; || 0
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| &nbsp; || 0
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$J :              |
+
| &nbsp; || 0
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
+
|}
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
+
|
−
|              |                      |                    |                      |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| 0
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                    | $D$J :              |
+
| 1
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
+
|-
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
+
| 1
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| 1
−
|              |                      |                    |                      |
+
|}
−
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dJ :              | $T$J :              |
+
|
−
| Functor      | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
+
| 0 || 0
−
|              |                      |                    |                      |
+
|-
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|}
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
===Formula Display 9===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|        u'  =   u + du  =   (u, du)           |
 +
|                                                |
 +
|        v'  =   v + du  =   (v, dv)          |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 56-a1.  Radius Map of the Conjunction J = uv===
+
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &nbsp; || ''u''’ || = || ''u'' + d''u'' || = || (''u'', d''u'') || &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp; || ''v''’ || = || ''v'' + d''u'' || = || (''v'', d''v'') || &nbsp;
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 10===
    
<pre>
 
<pre>
−
                              o
+
o--------------------------------------------------------------o
−
                            /X\
+
|                                                              |
−
                            /XXX\
+
|   EJ<u, v, du, dv>   =   J<u + du, v + dv>   =   J<u', v'>   |
−
                          oXXXXXo
+
|                                                              |
−
                          /X\XXX/X\
+
o--------------------------------------------------------------o
−
                        /XXX\X/XXX\
+
</pre>
−
                        oXXXXXoXXXXXo
+
 
−
                      / \XXX/X\XXX/ \
+
<br><font face="courier new">
−
                      /   \X/XXX\X/   \
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
                    o    oXXXXXo    o
+
|
−
                    / \   / \XXX/ \   / \
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
                  /   \ /   \X/  \ /  \
+
| E''J''‹''u'', ''v'', d''u'', d''v''›
−
                  o     o    o    o    o
+
| =
−
                =|\  / \  / \  / \  /|=
+
| ''J''‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
−
                = | \ /  \ /  \ /  \ / | =
+
| =
−
              =  | o    o    o    o  | =
+
| ''J''‹''u''’, ''v''’›
−
              =  | |\  / \  / \  /| |  =
+
|}
−
            =    |u | \ /   \ /  \ / | v|    =
+
|}
−
            o     o--+--o     o     o--+--o     o
+
</font><br>
−
          //\      |   \  / \  /  |       /\\
+
 
−
          ////\      | du \ /   \ / dv |     /\\\\
+
===Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
−
        o/////o     o-----o     o-----o     o\\\\\o
+
 
−
         //\/////\           \  /          /\\\\\/\\
+
<pre>
−
      ////\/////\          \ /          /\\\\\/\\\\
+
Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
+
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
−
    / \/////\//// \        = =        / \\\\/\\\\\/ \
+
| u    v  |    J    |    EJ    |    DJ    |     dJ    |  d^2.J  |
−
     /   \/////\//   \      =   =      /   \\/\\\\\/  \
+
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
−
  o     o/////o     o    =    =    o    o\\\\\o    o
+
|          |         |            |            |            |           |
−
   / \   / \//// \  / \  =      =  / \  / \\\\/ \  / \
+
|  0     0  |    0    |   du  dv   |   du  dv   |     ()     |   du dv   |
−
  /   \ /   \//  \ /  \ =        = /  \ /  \\/  \ /  \
+
|          |        |            |            |            |          |
−
o     o    o    o    o          o     o    o    o    o
+
| 0    1  |    0    |   du (dv)  |   du (dv)  |     du     |  du dv   |
−
|\   / \   / \  / \  /|          |\  / \  / \  / \  /|
+
|          |         |            |           |           |          |
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /  \ /  \ / |
+
|  1     0 |   0    |  (du) dv  |  (du) dv  |     dv     |  du dv  |
−
|  o    o     o    o |           |  o     o     o    o  |
+
|           |        |            |           |           |          |
−
| |\  / \  / \  /| |          |  |\  / \  / \  /|  |
+
| 1    1 |   1    | (du)(dv) | ((du)(dv)) | (du, dv)  |  du dv   |
−
|u | \ /   \ /   \ / | v|          |u | \ /  \ /  \ / | v|
+
|          |         |            |            |           |           |
−
o--+--o     o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
+
o-----------o---------o------------o------------o------------o-----------o
−
. |  \  / \  /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
+
</pre>
−
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
  −
  o-----o    o-----o     /XXXXX\    o-----o    o-----o
  −
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
  −
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
  −
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
  −
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
  −
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
  −
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          !h!J
  −
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
  −
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
  −
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
  −
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|    .
  −
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |  .
  −
              .  |  \//////    \\\\\\/  |  .
  −
                . |  \////      \\\\/  | .
  −
                .| x  \//        \\/ dx |.
  −
                  o-----o          o-----o
  −
                        \        /
  −
                          \      /
  −
      x = uv              \    /            dx = uv
  −
                            \  /
  −
                            \ /
  −
                              o
     −
Figure 56-a1.  Radius Map of the Conjunction J = uv
+
<font face="courier new">
−
</pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
−
 
+
|+ Table 51.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
−
===Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
+
|
−
 
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
<pre>
+
| ''u'' || ''v''
−
                              o
+
|}
−
                            /X\
+
|
−
                            /XXX\
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
                          oXXXXXo
+
| ''J''
−
                          //\XXX//\
+
|}
−
                        ////\X////\
+
|
−
                        o/////o/////o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
                      /\\/////\////\\
+
| E''J''
−
                      /\\\\/////\//\\\\
+
|}
−
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
+
|
−
                    / \\\\/ \//// \\\\/ \
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
                  /  \\/  \//  \\/  \
+
| D''J''
−
                  o    o    o    o    o
+
|}
−
                =|\  / \  /\\  / \  /|=
+
|
−
                = | \ /  \ /\\\\ /  \ / | =
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
              = |  o    o\\\\\o    o  |  =
+
| d''J''
−
              =  | |\  / \\\\/ \  /| |   =
+
|}
−
            =   |u | \ /  \\/  \ / | v|    =
+
|
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
          //\      |   \  / \  /  |       /\\
+
| d<sup>2</sup>''J''
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |     /\\\\
+
|}
−
        o/////o    o-----o    o-----o    o\\\\\o
+
|-
−
        //\/////\          \  /          / \\\\/ \
+
|
−
      ////\/////\          \ /          /  \\/  \
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
      o/////o/////o          o          o    o    o
+
| 0 || 0
−
    / \/////\//// \        = =        /\\  / \  /\\
+
|-
−
    /  \/////\//  \      =   =       /\\\\ /  \ /\\\\
+
| 0 || 1
−
  o    o/////o    o    =     =    o\\\\\o    o\\\\\o
+
|-
−
  / \  / \//// \  / \  =       =   / \\\\/ \  / \\\\/ \
+
| 1 || 0
−
/  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/  \ /  \\/  \
+
|-
−
o    o    o    o    o          o    o    o    o    o
+
| 1 || 1
−
|\  / \  / \  / \  /|           |\  / \  /\\  / \  /|
+
|}
−
| \ /  \ /  \ /  \ / |           | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
+
|
−
| o    o    o    o  |           | o    o\\\\\o    o  |
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
| |\  / \  / \  /| |           | |\  / \\\\/ \  /| |
+
| 0
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|           |u | \ /  \\/  \ / | v|
+
|-
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
+
| 0
−
. |   \  / \  /  |       /X\      |   \  / \  /  | .
+
|-
−
  .| du \ /  \ / dv |     /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
+
| 0
−
  o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
+
|-
−
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
+
| 1
−
    .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
+
|}
−
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
+
|
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
+
| &nbsp;d''u''&nbsp;&nbsp;d''v''&nbsp;
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          EJ
+
|-
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
+
| &nbsp;d''u''&nbsp;(d''v'')
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
+
|-
−
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
+
| (d''u'')&nbsp;d''v''&nbsp;
−
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
+
|-
−
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |   .
+
| (d''u'')(d''v'')
−
              .  | \//////    \\\\\\/  | .
+
|}
−
                . |   \////      \\\\/  | .
+
|
−
                .| x  \//        \\/ dx |.
+
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
−
                  o-----o          o-----o
+
| &nbsp;&nbsp;d''u''&nbsp;&nbsp;d''v''&nbsp;&nbsp;
−
                        \        /
+
|-
−
                          \      / dx = (u, du)(v, dv)
+
| &nbsp;&nbsp;d''u''&nbsp;(d''v'')&nbsp;
−
      x = uv              \    /
+
|-
−
                            \  /  dx = uv + u dv + v du + du dv
+
| &nbsp;(d''u'')&nbsp;d''v''&nbsp;&nbsp;
−
                            \ /
+
|-
−
                              o
+
| ((d''u'')(d''v''))
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| ()
 +
|-
 +
| d''u''
 +
|-
 +
| d''v''
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
   −
Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
+
===Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)===
−
</pre>
  −
 
  −
===Figure 56-a3.  Chord Map of the Conjunction J = uv===
      
<pre>
 
<pre>
−
                              o
+
            o                           o                           o
−
                            //\
+
          /%\                         /%\                         / \
−
                            ////\
+
          /%%%\                       /%%%\                      /   \
−
                          o/////o
+
        o%%%%%o                    o%%%%%o                     o    o
−
                          /X\////X\
+
        / \%%%/ \                   /%\%%%/%\                   /%\  /%\
−
                        /XXX\//XXX\
+
      /  \%/  \                 /%%%\%/%%%\                 /%%%\ /%%%\
−
                        oXXXXXoXXXXXo
+
      o    o    o               o%%%%%o%%%%%o               o%%%%%o%%%%%o
−
                      /\\XXX/X\XXX/\\
+
    /%\   / \  /%\             / \%%%/%\%%%/ \             /%\%%%/%\%%%/%\
−
                       /\\\\X/XXX\X/\\\\
+
    /%%%\ /   \ /%%%\           /  \%/%%%\%/  \           /%%%\%/%%%\%/%%%\
−
                    o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
+
   o%%%%%o    o%%%%%o        o    o%%%%%o    o         o%%%%%o%%%%%o%%%%%o
−
                     / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
+
   / \%%%/ \  / \%%%/ \      / \  / \%%%/ \  / \      / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \
−
                  /  \\/  \X/  \\/  \
+
  /  \%/  \ /   \%/  \     /  \ /  \%/  \ /  \     /  \%/  \%/  \%/  \
−
                  o     o     o    o    o
+
o    o    o    o    o   o    o    o    o    o  o    o    o    o    o
−
                =|\   / \   /\\  / \   /|=
+
|\  / \  /%\  / \  /|   |\  / \  / \   / \  /|  |\  / \  /%\  / \  /|
−
                = | \ /   \ /\\\\ /  \ / | =
+
| \ /  \ /%%%\ /  \ / |   | \ /  \ /   \ /  \ / |  | \ /  \ /%%%\ /  \ / |
−
              =  |  o    o\\\\\o    o  |  =
+
|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |   |  o    o%%%%%o    o  |
−
              =   |  |\   / \\\\/ \   /|  |  =
+
|  |\  / \%%%/ \  /|  |   |  |\  / \   / \   /|  |  |  |\   / \%%%/ \  /|  |
−
            =    |u | \ /  \\/   \ / | v|    =
+
|u | \ /  \%/  \ / | v|   |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
−
            o    o--+--o    o     o--+--o     o
+
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
−
          //\      |  \  / \  /  |      / \
+
  |  \  / \  /  |         |  \  / \   /  |        |  \  / \  /  |
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /  \
+
  | du \ /  \ / dv |         | du \ /   \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
−
        o/////o     o-----o    o-----o    o    o
+
   o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
−
        //\/////\          \  /           /\\  /\\
+
          \  /                       \  /                       \  /
−
      ////\/////\           \ /          /\\\\ /\\\\
+
          \ /                         \ /                         \ /
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
+
            o                          o                          o
−
    / \/////\//// \         = =        /\\\\\/\\\\\/\\
+
 
−
    /  \/////\//  \       =  =      /\\\\\/\\\\\/\\\\
+
          EJ            =            J            +            DJ
−
   o    o/////o    o    =    =    o\\\\\o\\\\\o\\\\\o
+
 
−
   / \  / \//// \  / \   =       =  / \\\\/ \\\\/ \\\\/ \
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
  /  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/  \\/  \\/  \
+
|                      |  |                      |  |                      |
−
o    o    o    o    o           o    o    o    o    o
+
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o     |
−
|\  / \  / \  / \  /|           |\  / \  /\\  / \  /|
+
|     /   \ /   \     |  |    /   \ /    \     |  |    /   \ /   \     |
−
| \ /  \ /   \ /  \ / |           | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
+
|    /     o      \    |  |    /     o      \   |  |    /     o      \   |
−
|  o    o    o    o  |           |  o    o\\\\\o    o  |
+
|  / u  / \  v  \  |  |  / u  / \  v  \  |  |  / u  / \   v  \   |
−
|  |\  / \   / \  /|  |           |  |\  / \\\\/ \  /|  |
+
|  o      /->-\      o  |  |  o      /->-\     o  |  |  o      /   \     o  |
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|           |u | \ /  \\/  \ / | v|
+
|  |    o \ / o    |  |  |  |    o \ / o    |  |  |  |    o    o    |  |
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
+
|  |  @--|->@<-|--@  |  |  |  |  @<-|--@--|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |
−
. |  \  / \  /  |       /X\       |  \  / \  /  | .
+
|  |    o  ^  o    |  |  |  |     o |  o    |  |  |  |    o ^  o    |  |
−
  .| du \ /  \ / dv |     /XXX\     | du \ /  \ / dv |.
+
| o      \ | /     o  |  |  o      \ | /     o  |  |  o      \ | /     o  |
−
   o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
+
|  \      \|/     /   |  |  \      \|/     /   |  |  \     \|/      /   |
−
    .    \  /           /XXXXXXX\          \  /     .
+
|   \     |      /   |   |    \     |      /   |  |   \     |      /   |
−
    .    \ /           /XXXXXXXXX\          \ /     .
+
|     \   /|\   /     |   |     \   /|\   /     |   |     \   /|\   /     |
−
      .    o           oXXXXXXXXXXXo          o    .
+
|      o--o | o--o      |  |      o--o v o--o      |  |      o--o v o--o     |
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\               .
+
|          @          |  |           @          |  |          @          |
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          DJ
+
Figure 52.  Decomposition of the Enlarged Conjunction EJ = (J, DJ)
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
+
</pre>
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
  −
            .     o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
  −
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
  −
              .  | \////////   \\\\\\\\/ |  .
  −
              .  | \//////     \\\\\\/ | .
  −
                . |   \////      \\\\/  | .
  −
                .| x  \//        \\/ dx |.
  −
                  o-----o          o-----o
  −
                        \        /
  −
                          \      / dx = (u, du)(v, dv) - uv
  −
      x = uv              \    /
  −
                            \  /  dx = u dv + v du + du dv
  −
                            \ /
  −
                              o
     −
Figure 56-a3.  Chord Map of the Conjunction J = uv
+
<br>
−
</pre>
+
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 52 -- Decomposition of EJ.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 52.  Decomposition of E''J'''''</font></center></p>
   −
===Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
+
===Figure 53.  Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)===
    
<pre>
 
<pre>
−
                              o
+
            o                           o                           o
−
                            //\
+
          / \                         / \                         / \
−
                            ////\
+
          /   \                       /   \                      /   \
−
                          o/////o
+
        o     o                    o    o                     o    o
−
                          /X\////X\
+
        /%\  /%\                   /%\  /%\                   / \  / \
−
                        /XXX\//XXX\
+
      /%%%\ /%%%\                 /%%%\%/%%%\                 /  \ /  \
−
                        oXXXXXoXXXXXo
+
      o%%%%%o%%%%%o               o%%%%%o%%%%%o               o    o    o
−
                      /\\XXX//\XXX/\\
+
    /%\%%%/%\%%%/%\             /%\%%%/ \%%%/%\             / \   /%\   / \
−
                       /\\\\X////\X/\\\\
+
    /%%%\%/%%%\%/%%%\           /%%%\%/  \%/%%%\           /  \ /%%%\ /  \
−
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
+
   o%%%%%o%%%%%o%%%%%o        o%%%%%o    o%%%%%o         o    o%%%%%o    o
−
                     / \\\\/\\////\\\\\/ \
+
   / \%%%/ \%%%/ \%%%/ \      / \%%%/%\  /%\%%%/ \       / \  /%\%%%/%\   / \
−
                  /  \\/\\\\//\\\\\/  \
+
  /  \%/  \%/  \%/  \     /  \%/%%%\ /%%%\%/  \     /  \ /%%%\%/%%%\ /  \
−
                  o    o\\\\\o\\\\\o    o
+
o    o    o    o    o   o    o%%%%%o%%%%%o    o  o    o%%%%%o%%%%%o    o
−
                =|\  / \\\\/ \\\\/ \  /|=
+
|\  / \  /%\  / \  /|   |\  / \%%%/ \%%%/ \   /|  |\   / \%%%/%\%%%/ \  /|
−
                = | \ /   \\/   \\/   \ / | =
+
| \ /  \ /%%%\ /  \ / |   | \ /  \%/  \%/  \ / |  | \ /  \%/%%%\%/  \ / |
−
              =  |  o    o    o    o  |  =
+
|  o    o%%%%%o    o  |  |  o    o    o    o  |   |  o    o%%%%%o    o  |
−
              =  |  |\  / \  / \   /|  |  =
+
|  |\  / \%%%/ \  /|  |  |  |\  / \  / \  /|  |   |  |\  / \%%%/ \  /|  |
−
            =    |u | \ /   \ /   \ / | v|    =
+
|u | \ /  \%/  \ / | v|   |u | \ /  \ /  \ / | v|  |u | \ /  \%/  \ / | v|
−
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
+
o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o  o--+--o    o    o--+--o
−
          //\       |  \  / \   /  |      / \
+
  |  \  / \  /  |         |  \  / \   /  |        |  \  / \  /  |
−
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /  \
+
  | du \ /  \ / dv |         | du \ /   \ / dv |        | du \ /  \ / dv |
−
        o/////o     o-----o     o-----o    o    o
+
   o-----o    o-----o        o-----o    o-----o        o-----o    o-----o
−
        //\/////\           \  /          /\\  /\\
+
          \  /                       \  /                       \  /
−
      ////\/////\           \ /          /\\\\ /\\\\
+
          \ /                         \ /                         \ /
−
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
+
            o                          o                          o
−
    / \/////\//// \         = =        /\\\\\/ \\\\/\\
+
 
−
    /  \/////\//  \       =  =      /\\\\\/  \\/\\\\
+
          DJ            =            dJ            +            ddJ
−
   o    o/////o     o     =    =     o\\\\\o    o\\\\\o
+
 
−
   / \   / \//// \  / \   =      =  / \\\\/\\  /\\\\\/ \
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
  /  \ /  \//  \ /  \ =        = /  \\/\\\\ /\\\\\/  \
+
|                      |  |                      |  |                      |
−
o    o    o    o    o           o    o\\\\\o\\\\\o    o
+
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o     |
−
|\  / \  / \  / \  /|           |\  / \\\\/ \\\\/ \  /|
+
|     /   \ /   \     |  |    /   \ /    \     |  |    /   \ /   \     |
−
| \ /  \ /   \ /  \ / |           | \ /  \\/  \\/  \ / |
+
|    /     o      \    |  |    /     o      \   |  |    /     o      \   |
−
|  o    o    o    o  |           |  o    o     o    o  |
+
|  / u  / \  v  \  |  |  / u  / \  v  \  |  |  / u  / \   v  \   |
−
|  |\  / \  / \  /|  |           |  |\  / \   / \  /|  |
+
|  o      /   \      o  |  |  o      /   \     o  |  |  o      /   \     o  |
−
|u | \ /  \ /  \ / | v|           |u | \ /  \ /  \ / | v|
+
|  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |  |  |    o    o    |  |
−
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o
+
|  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|->@<-|->@  |  |  |  |  @<-|-----|->@  |  |
−
. |  \  / \  /  |       /X\       |  \  / \  /  | .
+
|  |    o  ^  o    |  |  |  |  ^ o     o ^  |  |  |  |    o @  o    |  |
−
  .| du \ /  \ / dv |     /XXX\     | du \ /  \ / dv |.
+
| o      \ | /     o  |  |  o    \ \  / /   o  |  |  o      \ ^ /     o  |
−
   o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o    o-----o
+
|  \      \|/     /   |  |  \    --\-/--    /   |  |  \     \|/      /   |
−
    .    \  /           /XXXXXXX\          \  /     .
+
|   \     |      /   |   |    \     o      /   |  |   \     |      /   |
−
    .    \ /           /XXXXXXXXX\          \ /     .
+
|     \   /|\   /     |   |     \   / \   /     |   |     \   /|\   /     |
−
      .    o           oXXXXXXXXXXXo          o    .
+
|      o--o v o--o      |  |      o--o   o--o      |  |      o--o v o--o     |
−
      .              //\XXXXXXXXX/\\               .
+
|          @          |  |          @          |  |          @          |
−
        .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          dJ
+
Figure 53. Decomposition of the Differed Conjunction DJ = (dJ, ddJ)
−
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
+
</pre>
−
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
  −
            .     o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
  −
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
  −
              .  | \////////   \\\\\\\\/ |  .
  −
              .  | \//////     \\\\\\/ | .
  −
                . |   \////      \\\\/  | .
  −
                .| x  \//        \\/ dx |.
  −
                  o-----o           o-----o
  −
                        \        /
  −
                          \      /
  −
      x = uv              \    / dx = u dv + v du
  −
                            \  /
  −
                            \ /
  −
                              o
     −
Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
+
<br>
−
</pre>
+
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 53 -- Decomposition of DJ.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 53.  Decomposition of D''J'''''</font></center></p>
   −
===Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv===
+
===Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators===
    
<pre>
 
<pre>
−
o-----------------------o
+
Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
−
|                      |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|                      |
+
| Item | Notation                | Description     | Type                      |
−
|                      |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|      o--o  o--o     |
+
|      |                        |                  |                            |
−
|    /    \ /    \    |
+
| U%  | = [u, v]                | Source Universe  | [B^2]                      |
−
|    /      o     \    |
+
|      |                        |                  |                            |
−
|  /  du  / \  dv  \  |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| o     /  \      o  |
+
|      |                         |                  |                            |
−
|  |    o     o     |  |
+
| X%  | = [x]                  | Target Universe | [B^1]                      |
−
|  |    |    |    |  |
+
|     |                         |                 |                           |
−
|  |    o     o    |  |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|  o      \  /      o  |
+
|      |                        |                  |                            |
−
|  \      \ /      /  |
+
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^2 x D^2]                |
−
|    \      o      /    |
+
|      |                        | Source Universe  |                            |
−
|    \    / \    /    |
+
|      |                        |                  |                            |
−
|      o--o  o--o      |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|                      |
+
|     |                         |                 |                           |
−
|                      |
+
| EX%  | = [x, dx]              | Extended        | [B^1 x D^1]                |
−
|                      |
+
|     |                         | Target Universe |                           |
−
o-----------------------@
+
|      |                        |                  |                            |
−
                        \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
o-----------------------o \
+
|     |                        |                  |                           |
−
|                      |  \
+
| J    | J : U -> B              | Proposition      | (B^2 -> B) c [B^2]        |
−
|                      |  \
+
|      |                         |                  |                           |
−
|                      |    \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|      o--o  o--o     |    \
+
|     |                         |                  |                           |
−
|    /    \ /    \    |      \
+
| J    | J : U% -> X%            | Transformation, | [B^2] -> [B^1]            |
−
|    /      o     \    |      \
+
|      |                         | or Mapping      |                           |
−
|  /  du  / \  dv  \  |        \
+
|      |                         |                 |                           |
−
| o     /  \      o  |         \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|  |     o    o    | @          \
+
|      |                        |                  |                            |
−
| |     |    |     | |\          \
+
| W    | W :                    | Operator        |                            |
−
|  |    o     o     |  | \          \
+
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
−
|  o      \  /      o |  \          \
+
|      | X% -> EX%,              |                  | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
−
|  \      \ /      /  |  \          \
+
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^2] -> [B^1])          |
−
|    \      o      /    |    \          \
+
|      | for each W among:      |                  | ->                        |
−
|    \    / \    /    |    \          \
+
|      | e!, !h!, E, D, d        |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
−
|      o--o  o--o      |      \          \
+
|      |                        |                  |                            |
−
|                      |      \          \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|                      |        \          \
+
|      |                         |                                              |
−
|                      |        \          \
+
| !e! |                         | Tacit Extension Operator  !e!                |
−
o-----------------------o         \          \
+
| !h! |                         | Trope Extension Operator  !h!                |
−
                                    \          \
+
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
+
|  D   |                         | Difference Operator        D                |
−
|                       |\  |         \          \  |   |```````````````````````|
+
| d   |                         | Differential Operator      d                |
−
|                       | \ |         \          @ |   |```````````````````````|
+
|     |                         |                                               |
−
|                       |  \|           \          |  |```````````````````````|
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
+
|     |                         |                 |                           |
−
|    /    \ /    \    |  |\    /    \ /\  \    |  |`````/````\`/````\`````|
+
| $W$ | $W$ :                  | Operator        |                           |
−
|    /      o      \    |  | \  /      o @  \    |  |````/``````o``````\````|
+
|     | U% -> $T$U% = EU%,      |                 | [B^2] -> [B^2 x D^2],      |
−
|   /  du  / \  dv  \  |   | \/  du  /`\  dv  \  |   |```/``du``/`\``dv``\```|
+
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                 | [B^1] -> [B^1 x D^1],      |
−
| o      /  \      o  |   | o\    /```\     o  |   |``o``````/```\``````o``|
+
|      | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^2] -> [B^1])          |
−
|  |    o     o    |  |  |  | \  o`````o    |  |  |``|`````o`````o`````|``|
+
|      | for each $W$ among:    |                  | ->                        |
−
|  |    |    |    |  |  |  |  @  |``@--|-----|------@``|`````|`````|`````|``|
+
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                  | ([B^2 x D^2]->[B^1 x D^1]) |
−
|  |    o     o    |  |  |  |    o`````o    |  |  |``|`````o`````o`````|``|
+
|      |                        |                  |                            |
−
| o      \  /      o  |   | o      \```/      o |   |``o``````\```/``````o``|
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
|   \      \ /     /  |   |   \      \`/      /  |   |```\``````\`/``````/```|
+
|      |                        |                                              |
−
|   \     o      /    |   |   \      o      /    |   |````\``````o``````/````|
+
| $e$  |                        | Radius Operator            $e$ = <!e!, !h!>  |
−
|    \    / \    /    |  |    \    / \    /    |  |`````\````/`\````/`````|
+
| $E$  |                        | Secant Operator            $E$ = <!e!,  E >  |
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
+
| $D$  |                        | Chord Operator            $D$ = <!e!,  D >  |
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
+
| $T$  |                        | Tangent Functor            $T$ = <!e!,  d >  |
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
+
|      |                        |                                              |
−
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
+
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
−
o-----------------------o  o-----------------------o   o-----------------------o
  −
\                    /    \                    /    \                    /
  −
  \      !h!J        /        \        J        /        \      !h!J        /
  −
  \                /          \            /          \                /
  −
    \              /  o----------\---------/----------o   \              /
  −
    \            /    |            \    /            |    \            /
  −
      \          /    |              \ /              |    \          /
  −
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
  −
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
  −
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
  −
  o------\---/------o |     /`````````````````\     | o------\---/------o
  −
  |      \ /      |  |     /```````````````````\    | |      \ /      |
  −
  |    o--o--o    |  |   /`````````````````````\    |  |     o--o--o    |
  −
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o   | |   /```````\    |
  −
  |   /`````````\   | |   |```````````````````````|   | |   /`````````\  |
  −
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
  −
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
  −
  |  o```````````o |  |  |```````````````````````|   | | o```````````o  |
  −
  |  \`````````/  |  |   |```````````````````````|   | |   \`````````/  |
  −
  |   \```````/    | |   o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
  −
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
  −
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
  −
  o-----------------o |      \`````````````````/      |  o-----------------o
  −
                        |      \```````````````/      |
  −
                        |        \`````````````/        |
  −
                        |        o-----------o        |
  −
                        |                              |
  −
                        |                              |
  −
                        o-------------------------------o
  −
 
  −
Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
−
 
+
|+ '''Table 54.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators'''
−
<pre>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
o-----------------------o
+
! Item
−
|                       |
+
! Notation
−
|                       |
+
! Description
−
|                       |
+
! Type
−
|     o--o  o--o      |
+
|-
−
|     /   \ /    \    |
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|   /      o      \    |
+
| = [''u'', ''v'']
−
|   /  du  /`\  dv  \  |
+
| Source Universe
−
| o      /```\      o  |
+
| ['''B'''<sup>2</sup>]
−
| |    o`````o    |  |
+
|-
−
| |    |`````|    |  |
+
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
| |    o`````o    |  |
+
| = [''x'']
−
| o      \```/      o  |
+
| Target Universe
−
|   \      \`/     /   |
+
| ['''B'''<sup>1</sup>]
−
|   \      o      /    |
+
|-
−
|     \    / \    /    |
+
| E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     o--o  o--o      |
+
| = [''u'', ''v'', d''u'', d''v'']
−
|                       |
+
| Extended Source Universe
−
|                       |
+
| ['''B'''<sup>2</sup> &times; '''D'''<sup>2</sup>]
−
|                       |
+
|-
−
o-----------------------@
+
| E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
                        \
+
| = [''x'', d''x'']
−
o-----------------------o \
+
| Extended Target Universe
−
|                       |  \
+
| ['''B'''<sup>1</sup> &times; '''D'''<sup>1</sup>]
−
|                       |  \
+
|-
−
|                       |    \
+
| ''J''
−
|     o--o  o--o      |     \
+
| ''J'' : ''U'' &rarr; '''B'''
−
|     /````\ /   \    |      \
+
| Proposition
−
|   /``````o      \    |      \
+
| ('''B'''<sup>2</sup> &rarr; '''B''') &isin; ['''B'''<sup>2</sup>]
−
|   /``du``/ \  dv  \  |       \
+
|-
−
| o``````/  \      o  |         \
+
| ''J''
−
| |`````o    o    | @          \
+
| ''J'' : ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
| |`````|     |     |  |\          \
+
| Transformation, or Mapping
−
| |`````o    o    |  | \          \
+
| ['''B'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup>]
−
| o``````\  /     o  | \          \
+
|-
−
|   \``````\ /     /   |  \          \
+
| valign="top" |
−
|   \``````o      /    |    \          \
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|     \````/ \    /     |    \          \
+
| W
−
|     o--o  o--o      |     \          \
+
|}
−
|                       |      \          \
+
| valign="top" |
−
|                       |        \          \
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|                       |        \          \
+
| W&nbsp;:
−
o-----------------------o          \          \
+
|-
−
                                    \          \
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
+
|-
−
|                       |\ |        \         \  |   |```````````````````````|
+
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
|                       | \ |          \          @ |  |```````````````````````|
+
|-
−
|                       |  \|          \          |  |```````````````````````|
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
|     o--o  o--o      |   \      o--o  \o--o      |   |``````o--o```o--o``````|
+
|-
−
|     /   \ /````\    |   |\    /   \ /\  \    |   |`````/   \`/   \`````|
+
| &rarr;
−
|   /      o``````\    |   | \  /     o  @  \    |   |````/      o      \````|
+
|-
−
|   /  du  / \``dv``\  |   | \/  du  /`\  dv  \  |   |```/  du  / \  dv  \```|
+
| (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
−
| o      /   \``````o  |   | o\     /```\      o  |   |``o      /  \      o``|
+
|-
−
| |     o    o`````| |   | | \  o`````o    |  |   |``|     o    o    |``|
+
| for each W in the set:
−
| |     |     |`````| |   | | @  |``@--|-----|------@``|     |     |     |``|
+
|-
−
| |     o    o`````| |   | |     o`````o    | |   |``|     o    o    |``|
+
| {<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>,&nbsp;E,&nbsp;D,&nbsp;d}
−
| o      \  /``````o  |  |  o      \```/     o  |  |``o      \  /     o``|
+
|}
−
|   \      \ /``````/   |  |  \      \`/     /   |   |```\      \ /     /```|
+
| valign="top" |
−
|   \      o``````/    |   |   \      o      /   |  |````\      o      /````|
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|     \    / \````/    |   |     \    / \    /     |  |`````\    /`\    /`````|
+
| Operator
−
|     o--o  o--o      |   |     o--o  o--o      |   |``````o--o```o--o``````|
+
|}
−
|                       |   |                      |  |```````````````````````|
+
| valign="top" |
−
|                       |  |                      |  |```````````````````````|
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
−
|                       |  |                      |  |```````````````````````|
+
| &nbsp;
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
|-
−
\                    /     \                    /     \                    /
+
| ['''B'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>2</sup> &times; '''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;,
−
  \        EJ        /        \        J        /        \        EJ        /
+
|-
−
  \                /           \            /           \                /
+
| ['''B'''<sup>1</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup> &times; '''D'''<sup>1</sup>]&nbsp;,
−
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
+
|-
−
    \            /    |           \    /           |    \            /
+
| (['''B'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup>])
−
      \          /    |             \ /              |     \          /
+
|-
−
      \        /      |         o-----o-----o        |     \        /
+
| &rarr;
−
        \      /       |        /`````````````\        |      \      /
+
|-
−
        \    /        |       /```````````````\      |       \    /
+
| (['''B'''<sup>2</sup> &times; '''D'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup> &times; '''D'''<sup>1</sup>])
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      | o------\---/------o
+
|-
−
  |       \ /      | |     /```````````````````\    |  |      \ /      |
+
| &nbsp;
−
  |     o--o--o    | |    /`````````````````````\    | |    o--o--o    |
+
|-
−
  |   /```````\    | |   o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
+
| &nbsp;
−
  |   /`````````\  | |   |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
+
|}
−
  | o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o |
+
|-
−
  | |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
+
|
−
  | o```````````o  | |   |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
  |  \`````````/   |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/   |
+
| <math>\epsilon</math>
−
  |   \```````/    | |   o```````````````````````o  |  |    \```````/   |
+
|-
−
  |     o-----o    |  |   \`````````````````````/   |  |    o-----o    |
+
| <math>\eta</math>
−
  |                |  |    \```````````````````/     |  |                |
+
|-
−
  o-----------------o  |     \`````````````````/      |  o-----------------o
+
| E
−
                        |       \```````````````/      |
+
|-
−
                        |       \`````````````/       |
+
| D
−
                        |        o-----------o        |
+
|-
−
                        |                               |
+
| d
−
                        |                              |
+
|}
−
                        o-------------------------------o
+
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Tacit Extension Operator || <math>\epsilon</math>
 +
|-
 +
| Trope Extension Operator || <math>\eta</math>
 +
|-
 +
| Enlargement Operator    || E
 +
|-
 +
| Difference Operator      || D
 +
|-
 +
| Differential Operator    || d
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>&nbsp;:
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
 +
|-
 +
| for each <font face=georgia>'''W'''</font> in the set:
 +
|-
 +
| {<font face=georgia>'''e'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''E'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''D'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>}
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Operator
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>2</sup> &times; '''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>1</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup> &times; '''D'''<sup>1</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup>])
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>2</sup> &times; '''D'''<sup>2</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>1</sup> &times; '''D'''<sup>1</sup>])
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Radius Operator || <font face=georgia>'''e'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>›
 +
|-
 +
| Secant Operator || <font face=georgia>'''E'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;E›
 +
|-
 +
| Chord Operator || <font face=georgia>'''D'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;D›
 +
|-
 +
| Tangent Functor || <font face=georgia>'''T'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;d›
 +
|}
 +
|}<br>
   −
Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
+
===Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes===
−
</pre>
  −
 
  −
===Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv===
      
<pre>
 
<pre>
−
o-----------------------o
+
Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
−
|                      |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|                      |
+
|             | Operator            | Proposition        | Map                  |
−
|                      |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|      o--o  o--o     |
+
|              |                      |                    |                     |
−
|    /    \ /    \    |
+
| Tacit        | !e! :                | !e!J :            | !e!J :              |
−
|    /      o      \    |
+
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x]    |
−
|  /  du  /`\  dv  \  |
+
|             | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^2 x D^2 -> B    | [B^2 x D^2]->[B^1]  |
−
|  o     /```\      o |
+
|             |                     |                   |                      |
−
| |     o`````o    | |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|  |    |`````|    |  |
+
|             |                     |                   |                      |
−
|  |    o`````o     |  |
+
| Trope        | !h! :                | !h!J :            | !h!J :              |
−
|  o      \```/      o  |
+
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
−
|  \      \`/      /  |
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
−
|    \      o      /    |
+
|              |                      |                    |                      |
−
|    \    / \    /    |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|      o--o  o--o      |
+
|             |                     |                   |                     |
−
|                      |
+
| Enlargement  | E :                  | EJ :              | EJ :                |
−
|                      |
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
−
|                      |
+
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]   |
−
o-----------------------@
+
|              |                      |                    |                      |
−
                        \
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
o-----------------------o \
+
|              |                     |                   |                      |
−
|                       | \
+
| Difference   | D :                  | DJ :              | DJ :                |
−
|                       |   \
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
−
|                       |   \
+
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D     | [B^2 x D^2]->[D^1]   |
−
|     o--o  o--o      |     \
+
|             |                     |                   |                     |
−
|     /````\ /    \    |     \
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|   /``````o      \    |       \
+
|             |                      |                   |                     |
−
|   /``du``/ \  dv  \  |       \
+
| Differential | d :                  | dJ :              | dJ :                |
−
| o``````/  \      o  |         \
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
−
|  |`````o     o     |  @          \
+
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]   |
−
|  |`````|    |    |  |\          \
+
|             |                     |                   |                     |
−
|  |`````o     o    |  | \          \
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|  o``````\  /      o  |  \          \
+
|              |                      |                    |                      |
−
|  \``````\ /      /  |  \          \
+
| Remainder    | r :                  | rJ :              | rJ :                |
−
|   \``````o      /    |   \          \
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx]    |
−
|     \````/ \    /    |     \          \
+
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[D^1]  |
−
|     o--o  o--o      |     \          \
+
|              |                      |                    |                      |
−
|                       |       \          \
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|                       |       \          \
+
|              |                     |                    |                     |
−
|                       |         \          \
+
| Radius       | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$J :              |
−
o-----------------------o          \          \
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
−
                                    \          \
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
+
|              |                      |                    |                      |
−
|                       |\  |         \          \  |  |                       |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|                       | \ |         \          @ |   |                      |
+
|             |                     |                   |                     |
−
|                       | \|           \          |   |                       |
+
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                   | $E$J :              |
−
|     o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |      o--o  o--o     |
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
−
|    /    \ /````\    |  |\    /    \ /\  \    |  |    /````\ /````\    |
+
|             | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                   | [B^2 x D^2]->[B x D] |
−
|    /      o``````\    |  | \  /      o @  \    |   |   /``````o``````\    |
+
|             |                     |                   |                      |
−
|  /  du  / \``dv``\  |   | \/  du  /`\  dv  \  |   |   /``du``/`\``dv``\  |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
| o      /  \``````o  |   | o\     /```\      o  |  |  o``````/```\``````o  |
+
|             |                     |                    |                      |
−
| |     o    o`````| |   | | \  o`````o    |  |  |  |`````o`````o`````|  |
+
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                   | $D$J :              |
−
|  |    |    |`````|  |  |  |  @  |``@--|-----|------@  |`````|`````|`````|  |
+
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,   |                   | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
−
|  |    o     o`````|  |  |  |    o`````o    |  |  | |`````o`````o`````| |
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
−
| o      \  /``````o  |   | o      \```/      o  |   | o``````\```/``````o  |
+
|              |                      |                    |                      |
−
|   \      \ /``````/  |   |   \      \`/      /  |   |   \``````\`/``````/  |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|   \      o``````/    |  |    \      o      /    |  |    \``````o``````/    |
+
|              |                      |                    |                      |
−
|     \    / \````/    |   |     \    / \    /    |   |    \````/ \````/    |
+
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dJ :              | $T$J :              |
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o   o--o     |
+
| Functor      | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[x, dx] |
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) | B^2 x D^2 -> D    | [B^2 x D^2]->[B x D] |
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
|              |                      |                    |                      |
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
  −
\                    /    \                    /    \                    /
  −
  \        DJ        /        \        J        /        \        DJ        /
  −
  \                /          \            /          \                /
  −
    \              /  o----------\---------/----------o  \              /
  −
    \            /    |            \    /            |    \            /
  −
      \          /    |              \ /              |    \          /
  −
      \        /      |        o-----o-----o         |     \        /
  −
        \      /      |       /`````````````\        |       \      /
  −
        \    /        |       /```````````````\       |       \    /
  −
  o------\---/------o |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
  −
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
  −
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
  −
  |   /```````\    | |   o```````````````````````o  | |    /```````\    |
  −
  |   /`````````\  | |   |```````````````````````|   | |   /`````````\  |
  −
  | o```````````o  | |   |```````````````````````|   | | o```````````o  |
  −
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
  −
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o |
  −
  |   \`````````/  | |   |```````````````````````|   | |   \`````````/  |
  −
   |   \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
  −
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
  −
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
  −
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
  −
                        |      \```````````````/      |
  −
                        |        \`````````````/        |
  −
                        |        o-----------o        |
  −
                        |                              |
  −
                        |                              |
  −
                        o-------------------------------o
  −
 
  −
Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
−
 
+
|+ '''Table 55.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes'''
−
<pre>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
o-----------------------o
+
! &nbsp;
−
|                       |
+
! Operator
−
|                       |
+
! Proposition
−
|                      |
+
! Map
−
|     o--o  o--o      |
+
|-
−
|     /    \ /   \    |
+
|
−
|   /      o      \    |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|   / du  / \  dv  \  |
+
| Tacit
−
| o      /   \      o  |
+
|-
−
|  |    o    o    |  |
+
| Extension
−
| |    |    |    |  |
+
|}
−
| |    o    o    |  |
+
|
−
|  o      \   /     o  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|   \      \ /      /  |
+
| <math>\epsilon</math> :
−
|   \      o      /    |
+
|-
−
|     \    / \    /     |
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
|     o--o  o--o      |
+
|-
−
|                      |
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
|                       |
+
|}
−
|                       |
+
|
−
o-----------------------@
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
                        \
+
| <math>\epsilon</math>''J'' :
−
o-----------------------o \
+
|-
−
|                       |  \
+
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
−
|                      |  \
+
|-
−
|                       |    \
+
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
−
|      o--o  o--o      |    \
+
|}
−
|     /````\ /   \    |      \
+
|
−
|   /``````o      \    |      \
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|   /``du``/`\  dv  \  |        \
+
| <math>\epsilon</math>''J'' :
−
| o``````/```\      o  |        \
+
|-
−
| |`````o`````o    |  @          \
+
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'']
−
| |`````|`````|    |  |\         \
+
|-
−
| |`````o`````o    | | \          \
+
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>1</sup>]
−
| o``````\```/      o  |  \          \
+
|}
−
|   \``````\`/      /  |  \          \
+
|-
−
|   \``````o      /    |    \          \
+
|
−
|     \````/ \    /    |    \          \
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|     o--o  o--o      |     \          \
+
| Trope
−
|                       |       \          \
+
|-
−
|                       |       \          \
+
| Extension
−
|                       |         \          \
+
|}
−
o-----------------------o          \          \
+
|
−
                                    \          \
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
+
| <math>\eta</math> :
−
|                       |\  |         \          \  |   |                       |
+
|-
−
|                       | \ |         \          @ |   |                       |
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
|                       | \|           \          |   |                       |
+
|-
−
|     o--o  o--o      |   \      o--o  \o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
|    /   \ /````\    |  |\    /   \ /\  \    |  |    /````\ /````\    |
+
|}
−
|   /     o``````\    |  | \  /     o  @  \    |   |    /``````o``````\    |
+
|
−
|   /  du  /`\``dv``\  |   | \/  du  /`\  dv  \  |   |  /``du``/ \``dv``\  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
| o      /```\``````o  |   | o\    /```\      o  |   |  o``````/  \``````o  |
+
| <math>\eta</math>''J'' :
−
| |     o`````o`````| |   |  | \  o`````o    | |   | |`````o    o`````|  |
+
|-
−
| |     |`````|`````| |   |  |  @  |``@--|-----|------@  |`````|     |`````| |
+
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
| |     o`````o`````| |  |  |     o`````o    | |   | |`````o    o`````|  |
+
|-
−
| o      \```/``````o  |  |  o      \```/     o  |  |  o``````\  /``````o  |
+
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
|   \      \`/``````/  |   |   \      \`/      /  |   |   \``````\ /``````/  |
+
|}
−
|   \      o``````/    |   |   \     o      /   |  |    \``````o``````/   |
+
|
−
|     \    / \````/    |   |    \    / \    /     |  |    \````/ \````/     |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|     o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
| <math>\eta</math>''J'' :
−
|                       |  |                      |  |                      |
+
|-
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'']
−
|                       |  |                       |   |                       |
+
|-
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>1</sup>]
−
\                    /     \                    /     \                    /
+
|}
−
  \        dJ        /        \        J        /        \        dJ        /
+
|-
−
  \                /          \            /          \                /
+
|
−
    \              /   o----------\---------/----------o  \              /
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
    \            /    |           \    /            |   \            /
+
| Enlargement
−
      \          /    |             \ /              |    \          /
+
|-
−
      \        /      |         o-----o-----o        |     \        /
+
| Operator
−
        \      /      |       /`````````````\        |       \      /
+
|}
−
        \    /        |       /```````````````\      |       \    /
+
|
−
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      | o------\---/------o
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
  |       \ /      | |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
+
| E :
−
  |     o--o--o    | |   /`````````````````````\    | |     o--o--o    |
+
|-
−
  |   /```````\   |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
  |   /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
+
|-
−
  | o```````````o  | |   |```````````````````````|  | | o```````````o  |
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
  |  |````dx`````| @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
+
|}
−
  | o```````````o  |  |   |```````````````````````|   |  |  o```````````o  |
+
|
−
  |   \`````````/   |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/   |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
+
| E''J'' :
−
  |     o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
+
|-
−
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
+
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
+
|-
−
                        |      \```````````````/      |
+
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
                        |        \`````````````/        |
+
|}
−
                        |        o-----------o        |
+
|
−
                        |                              |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
                        |                              |
+
| E''J'' :
−
                        o-------------------------------o
+
|-
−
 
+
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'']
−
Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
+
|-
−
</pre>
+
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>1</sup>]
−
 
+
|}
−
===Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
+
|-
−
 
+
|
−
<pre>
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
            o                                  o
+
| Difference
−
          //\                                /X\
+
|-
−
          ////\                              /XXX\
+
| Operator
−
        //////\                            oXXXXXo
+
|}
−
        ////////\                          /X\XXX/X\
+
|
−
      //////////\                        /XXX\X/XXX\
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
+
| D :
−
    / \////////// \                    / \XXX/X\XXX/ \
+
|-
−
    /  \////////  \                  /  \X/XXX\X/  \
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
  /    \//////    \                o    oXXXXXo    o
+
|-
−
  /      \////      \              / \  / \XXX/ \  / \
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
/        \//        \            /  \ /  \X/  \ /  \
+
|}
−
o          o          o          o    o    o    o    o
+
|
−
|\        / \        /|          |\  / \  / \  / \  /|
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
| \      /  \      / |          | \ /  \ /  \ /  \ / |
+
| D''J'' :
−
|  \    /    \    /  |          |  o    o    o    o  |
+
|-
−
|  \  /      \  /  |          |  |\  / \  / \  /|  |
+
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
| u  \ /        \ /  v |          |u | \ /  \ /  \ / | v|
+
|-
−
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
+
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
      \        /                    |  \  / \  /  |
+
|}
−
        \      /                      | du \ /  \ / dv |
+
|
−
        \    /                      o-----o    o-----o
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
          \  /                              \  /
+
| D''J'' :
−
          \ /                                \ /
+
|-
−
            o                                  o
+
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'']
−
                U%          $e$          $E$U%
+
|-
−
                    o------------------>o
+
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>1</sup>]
−
                    |                  |
+
|}
−
                    |                  |
+
|-
−
                    |                  |
+
|
−
                    |                  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
                J  |                  | $e$J
+
| Differential
−
                    |                  |
+
|-
−
                    |                  |
+
| Operator
−
                    |                  |
+
|}
−
                    v                  v
+
|
−
                    o------------------>o
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
                X%          $e$          $E$X%
+
| d :
−
            o                                  o
+
|-
−
          //\                                /X\
+
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
−
          ////\                              /XXX\
+
|-
−
        //////\                            /XXXXX\
+
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
−
        ////////\                          /XXXXXXX\
+
|}
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
+
|
−
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
+
| d''J'' :
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
+
|-
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
+
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
+
|-
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
+
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
+
|}
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
+
|
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
+
| d''J'' :
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
+
|-
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
+
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'']
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
+
|-
−
      \        /                        \        /
+
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>1</sup>]
−
        \      /                          \      /
+
|}
−
        \    /                            \    /
+
|-
−
          \  /                              \  /
+
|
−
          \ /                                \ /
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
            o                                  o
+
| Remainder
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r''J'' :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r''J'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>1</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Radius
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, <math>\eta</math>› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font>''J'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;d''x'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''&nbsp;&times;&nbsp;'''D''']
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Secant
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, E› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font>''J'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;d''x'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''&nbsp;&times;&nbsp;'''D''']
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Chord
 +
|-
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| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, D› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
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|-
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| &nbsp;
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|-
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| &nbsp;
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|}
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|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font>''J'' :
 +
|-
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| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;d''x'']
 +
|-
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| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''&nbsp;&times;&nbsp;'''D''']
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Tangent
 +
|-
 +
| Functor
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, d› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| d''J'' :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font>''J'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;d''x'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>2</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>2</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''&nbsp;&times;&nbsp;'''D''']
 +
|}
 +
|}<br>
   −
Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
===Figure 56-a1.  Radius Map of the Conjunction J = uv===
−
</pre>
  −
 
  −
===Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
      
<pre>
 
<pre>
−
            o                                  o
+
                              o
−
          //\                                 /X\
+
                            /X\
−
          ////\                               /XXX\
+
                            /XXX\
−
        //////\                             oXXXXXo
+
                          oXXXXXo
−
        ////////\                           //\XXX//\
+
                          /X\XXX/X\
−
      //////////\                         ////\X////\
+
                        /XXX\X/XXX\
−
      o///////////o                       o/////o/////o
+
                        oXXXXXoXXXXXo
−
    / \////////// \                     /\\/////\////\\
+
                      / \XXX/X\XXX/ \
−
    /   \////////   \                   /\\\\/////\//\\\\
+
                      /   \X/XXX\X/   \
−
  /     \//////     \                 o\\\\\o/////o\\\\\o
+
                    o    oXXXXXo     o
−
   /       \////       \               / \\\\/ \//// \\\\/ \
+
                    / \  / \XXX/ \  / \
−
  /         \//         \             /  \\/  \//  \\/  \
+
                  /   \ /   \X/   \ /   \
−
o           o           o          o    o    o    o    o
+
                  o    o    o    o    o
−
|\         / \         /|          |\  / \  /\\  / \  /|
+
                =|\  / \  / \   / \  /|=
−
| \       /  \       / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
+
                = | \ /   \ /   \ /   \ / | =
−
|  \     /     \     / |          |  o    o\\\\\o    o  |
+
              =  |  o    o    o    o  |  =
−
|  \  /       \  /   |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
+
              =  |  |\  / \  / \  /|  |  =
−
| u \ /         \ / v |          |u | \ /  \\/  \ / | v|
+
            =    |u | \ /   \ /   \ / | v|    =
−
o-----o           o-----o           o--+--o    o    o--+--o
+
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
−
      \         /                     |  \  / \  /  |
+
          //\      |  \  / \   /   |      /\\
−
        \       /                     | du \ /  \ / dv |
+
          ////\      | du \ /   \ / dv |      /\\\\
−
        \    /                      o-----o    o-----o
+
        o/////o     o-----o    o-----o    o\\\\\o
−
          \  /                               \   /
+
        //\/////\          \  /           /\\\\\/\\
−
          \ /                                \ /
+
      ////\/////\          \ /           /\\\\\/\\\\
−
            o                                  o
+
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
−
                U%          $E$          $E$U%
+
    / \/////\//// \         = =        / \\\\/\\\\\/ \
−
                    o------------------>o
+
    /   \/////\//   \      =  =      /  \\/\\\\\/  \
−
                    |                  |
+
  o    o/////o    o    =    =    o    o\\\\\o    o
−
                    |                  |
+
   / \  / \//// \   / \   =      =  / \   / \\\\/ \   / \
−
                    |                  |
+
  /   \ /  \//   \ /  \ =        = /  \ /  \\/  \ /  \
−
                    |                  |
+
o     o    o    o     o          o    o    o    o    o
−
                J  |                  | $E$J
+
|\   / \  / \  / \   /|          |\  / \  / \  / \  /|
−
                    |                  |
+
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /   \ /  \ / |
−
                    |                  |
+
|  o     o     o     o |          |  o    o     o    o  |
−
                    |                  |
+
| |\   / \  / \  /|  |          |  |\  / \   / \  /|  |
−
                    v                  v
+
|u | \ /  \ /   \ / | v|          |u | \ /  \ /  \ / | v|
−
                    o------------------>o
+
o--+--o     o    o--+--o     o    o--+--o    o    o--+--o
−
                X%          $E$          $E$X%
+
. |  \  / \   /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
−
            o                                  o
+
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
−
          //\                                 /X\
+
  o-----o    o-----o     /XXXXX\     o-----o     o-----o
−
           ////\                               /XXX\
+
    .    \  /           /XXXXXXX\          \   /     .
−
        //////\                             /XXXXX\
+
    .    \ /           /XXXXXXXXX\           \ /     .
−
        ////////\                           /XXXXXXX\
+
       .    o           oXXXXXXXXXXXo           o    .
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
+
      .              //\XXXXXXXXX/\\               .
−
       ////////////o                       oXXXXXXXXXXXo
+
        .            ////\XXXXXXX/\\\\             .
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
+
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\         !h!J
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
+
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\         .
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
+
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\       .
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
+
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o     .
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
+
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
+
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |   .
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
+
              . |  \//////    \\\\\\/  | .
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
+
                . |  \////      \\\\/  | .
−
| \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
+
                .| x  \//        \\/ dx |.
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
+
                  o-----o          o-----o
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
+
                        \        /
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
+
                           \      /
−
      \        /                        \        /
+
      x = uv              \    /             dx = uv
−
        \      /                           \      /
+
                             \  /
−
        \    /                            \    /
+
                            \ /
−
          \  /                              \  /
+
                              o
−
          \ /                                \ /
  −
            o                                  o
     −
Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
Figure 56-a1.  Radius Map of the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-a1 -- Radius Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-a1.  Radius Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
            o                                   o
+
                              o
−
          //\                                 //\
+
                            /X\
−
          ////\                               ////\
+
                            /XXX\
−
        //////\                             o/////o
+
                          oXXXXXo
−
        ////////\                           /X\////X\
+
                          //\XXX//\
−
      //////////\                         /XXX\//XXX\
+
                        ////\X////\
−
       o///////////o                       oXXXXXoXXXXXo
+
                        o/////o/////o
−
     / \////////// \                     /\\XXX/X\XXX/\\
+
                      /\\/////\////\\
−
     /  \////////  \                   /\\\\X/XXX\X/\\\\
+
                      /\\\\/////\//\\\\
−
   /     \//////    \                o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
+
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
−
   /       \////      \              / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
+
                    / \\\\/ \//// \\\\/ \
−
  /         \//        \            /  \\/  \X/  \\/  \
+
                  /  \\/  \//  \\/   \
−
o           o           o          o    o    o    o    o
+
                  o    o    o    o    o
−
|\         / \         /|          |\  / \  /\\  / \  /|
+
                =|\  / \  /\\  / \  /|=
−
| \       /  \       / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
+
                = | \ /  \ /\\\\ /  \ / | =
−
|  \     /     \     / |          |  o    o\\\\\o    o  |
+
              =  |  o    o\\\\\o    o |  =
−
|  \  /       \  /   |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
+
              =  |  |\  / \\\\/ \  /|  |  =
−
| u \ /         \ / v |          |u | \ /  \\/  \ / | v|
+
            =    |u | \ /   \\/  \ / | v|    =
−
o-----o           o-----o           o--+--o    o    o--+--o
+
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
−
      \         /                     |  \  / \  /  |
+
          //\      |  \  / \  /   |      /\\
−
        \       /                     | du \ /  \ / dv |
+
          ////\      | du \ /   \ / dv |      /\\\\
−
        \    /                      o-----o    o-----o
+
        o/////o    o-----o    o-----o    o\\\\\o
−
          \  /                               \   /
+
        //\/////\          \  /           / \\\\/ \
−
          \ /                                \ /
+
      ////\/////\          \ /           /  \\/   \
−
            o                                  o
+
       o/////o/////o           o          o    o    o
−
                U%          $D$          $E$U%
+
     / \/////\//// \         = =        /\\   / \   /\\
−
                    o------------------>o
+
     /  \/////\//  \       =  =      /\\\\ /   \ /\\\\
−
                    |                  |
+
   o     o/////o    o    =    =     o\\\\\o    o\\\\\o
−
                    |                  |
+
   / \  / \//// \  / \  =       =  / \\\\/ \   / \\\\/ \
−
                    |                  |
+
  /   \ /  \//   \ /  \ =         = /  \\/  \ /  \\/  \
−
                    |                  |
+
o     o    o    o     o          o    o    o    o    o
−
                J  |                  | $D$J
+
|\   / \  / \  / \   /|          |\  / \  /\\  / \  /|
−
                    |                  |
+
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
−
                    |                  |
+
|  o     o     o     o |          |  o    o\\\\\o    o  |
−
                    |                  |
+
| |\   / \  / \  /|  |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
−
                    v                  v
+
|u | \ /  \ /   \ / | v|          |u | \ /  \\/  \ / | v|
−
                    o------------------>o
+
o--+--o     o    o--+--o     o    o--+--o    o    o--+--o
−
                X%          $D$          $E$X%
+
. |  \  / \   /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
−
            o                                  o
+
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
−
          //\                                 /X\
+
  o-----o    o-----o     /XXXXX\     o-----o     o-----o
−
           ////\                               /XXX\
+
    .    \  /           /XXXXXXX\          \   /     .
−
        //////\                             /XXXXX\
+
    .    \ /           /XXXXXXXXX\           \ /     .
−
        ////////\                           /XXXXXXX\
+
       .    o           oXXXXXXXXXXXo           o    .
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
+
      .              //\XXXXXXXXX/\\               .
−
       ////////////o                       oXXXXXXXXXXXo
+
        .            ////\XXXXXXX/\\\\             .
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
+
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\           EJ
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
+
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\         .
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
+
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\       .
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
+
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o     .
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
+
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
+
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |   .
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
+
              . |  \//////    \\\\\\/  | .
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
+
                . |  \////      \\\\/  | .
−
| \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
+
                .| x  \//        \\/ dx |.
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
+
                  o-----o          o-----o  
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
+
                        \        /
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
+
                           \      / dx = (u, du)(v, dv)
−
      \        /                        \        /
+
      x = uv              \    /
−
        \      /                           \      /
+
                             \  /  dx = uv + u dv + v du + du dv
−
        \    /                            \    /
+
                            \ /
−
          \  /                               \   /
+
                              o
−
          \ /                                \ /
  −
            o                                  o
     −
Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv
+
Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-a2 -- Secant Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-a2.  Secant Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 56-a3.  Chord Map of the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
            o                                  o
+
                              o
−
          //\                                 //\
+
                            //\
−
          ////\                               ////\
+
                            ////\
−
        //////\                             o/////o
+
                          o/////o
−
        ////////\                           /X\////X\
+
                          /X\////X\
−
      //////////\                         /XXX\//XXX\
+
                        /XXX\//XXX\
−
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
+
                        oXXXXXoXXXXXo
−
    / \////////// \                    /\\XXX//\XXX/\\
+
                      /\\XXX/X\XXX/\\
−
    /   \////////   \                   /\\\\X////\X/\\\\
+
                      /\\\\X/XXX\X/\\\\
−
  /     \//////     \                 o\\\\\o/////o\\\\\o
+
                    o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
−
   /       \////      \              / \\\\/\\////\\\\\/ \
+
                    / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
−
  /         \//         \             /  \\/\\\\//\\\\\/  \
+
                  /  \\/   \X/  \\/  \
−
o           o           o          o    o\\\\\o\\\\\o    o
+
                  o    o    o    o    o
−
|\         / \         /|          |\  / \\\\/ \\\\/ \  /|
+
                =|\  / \  /\\  / \  /|=
−
| \       /  \       / |          | \ /  \\/  \\/  \ / |
+
                = | \ /   \ /\\\\ /   \ / | =
−
|  \     /     \     / |          |  o    o     o    o  |
+
              =  |  o    o\\\\\o    o  |  =
−
|  \  /       \  /   |          |  |\  / \   / \  /|  |
+
              =  |  |\  / \\\\/ \  /|  |  =
−
| u \ /         \ / v |          |u | \ /  \ /  \ / | v|
+
            =    |u | \ /   \\/   \ / | v|    =
−
o-----o           o-----o           o--+--o    o    o--+--o
+
            o    o--+--o    o    o--+--o    o
−
      \         /                     |  \  / \  /  |
+
          //\      |  \  / \  /   |      / \
−
        \       /                     | du \ /  \ / dv |
+
          ////\     | du \ /   \ / dv |      /   \
−
        \    /                      o-----o    o-----o
+
        o/////o    o-----o    o-----o    o    o
−
          \  /                               \   /
+
        //\/////\           \  /           /\\  /\\
−
          \ /                                \ /
+
      ////\/////\           \ /           /\\\\ /\\\\
−
            o                                   o
+
      o/////o/////o          o          o\\\\\o\\\\\o
−
                U%          $T$          $E$U%
+
    / \/////\//// \         = =        /\\\\\/\\\\\/\\
−
                    o------------------>o
+
    /   \/////\//  \      =  =      /\\\\\/\\\\\/\\\\
−
                    |                  |
+
  o    o/////o    o    =    =    o\\\\\o\\\\\o\\\\\o
−
                    |                  |
+
   / \  / \//// \  / \  =       =  / \\\\/ \\\\/ \\\\/ \
−
                    |                  |
+
  /   \ /  \//   \ /  \ =        = /   \\/  \\/   \\/  \
−
                    |                  |
+
o     o    o    o     o          o    o     o     o    o
−
                J  |                  | $T$J
+
|\   / \  / \  / \   /|          |\  / \   /\\   / \  /|
−
                    |                  |
+
| \ /  \ /  \ /  \ / |          | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
−
                    |                  |
+
|  o     o     o     o |          |  o    o\\\\\o    o  |
−
                    |                  |
+
| |\   / \  / \  /|  |          |  |\  / \\\\/ \  /|  |
−
                    v                  v
+
|u | \ /  \ /   \ / | v|          |u | \ /  \\/  \ / | v|
−
                    o------------------>o
+
o--+--o     o    o--+--o     o    o--+--o    o    o--+--o
−
                X%          $T$          $E$X%
+
. |  \  / \   /  |      /X\      |  \  / \  /  | .
−
            o                                  o
+
  .| du \ /  \ / dv |      /XXX\      | du \ /  \ / dv |.
−
          //\                                 /X\
+
  o-----o    o-----o     /XXXXX\     o-----o     o-----o
−
           ////\                               /XXX\
+
    .    \  /           /XXXXXXX\          \   /     .
−
        //////\                             /XXXXX\
+
    .    \ /           /XXXXXXXXX\           \ /     .
−
        ////////\                           /XXXXXXX\
+
       .    o           oXXXXXXXXXXXo           o    .
−
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
+
      .              //\XXXXXXXXX/\\               .
−
       ////////////o                       oXXXXXXXXXXXo
+
        .            ////\XXXXXXX/\\\\             .
−
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
+
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\           DJ
−
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
+
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\         .
−
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
+
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\       .
−
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
+
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o     .
−
/////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
+
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
−
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
+
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |   .
−
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
+
              . |  \//////    \\\\\\/  | .
−
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
+
                . |  \////      \\\\/  | .
−
| \//////          /              |  \//////    \\\\\\/  |
+
                .| x  \//        \\/ dx |.
−
|  \////          /              |  \////      \\\\/  |
+
                  o-----o          o-----o
−
| x  \//          /                | x  \//        \\/ dx |
+
                        \        /
−
o-----o          /                o-----o          o-----o
+
                           \      / dx = (u, du)(v, dv) - uv
−
      \        /                        \        /
+
      x = uv              \    /
−
        \      /                           \      /
+
                             \  /  dx = u dv + v du + du dv
−
        \    /                            \    /
+
                            \ /
−
          \  /                               \   /
+
                              o
−
          \ /                                \ /
  −
            o                                  o
     −
Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv
+
Figure 56-a3.  Chord Map of the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 11===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-a3 -- Chord Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-a3.  Chord Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
   −
<pre>
+
===Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
−
o-----------------------------------------------------------o
  −
|                                                          |
  −
|  F  =   <f, g>  = <F_1, F_2>  :  [u, v]  ->  [x, y]    |
  −
|                                                          |
  −
|  where      f    =     F_1    :  [u, v]  ->  [x]      |
  −
|                                                          |
  −
|  and        g    =      F_2    :  [u, v]  ->  [y]      |
  −
|                                                          |
  −
o-----------------------------------------------------------o
  −
</pre>
  −
 
  −
===Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators===
      
<pre>
 
<pre>
−
Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators
+
                              o
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
                            //\
−
| Item | Notation                | Description      | Type                      |
+
                            ////\
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
                          o/////o
−
|      |                        |                 |                           |
+
                          /X\////X\
−
| U%   | = [u, v]               | Source Universe | [B^n]                      |
+
                        /XXX\//XXX\
−
|      |                        |                  |                            |
+
                        oXXXXXoXXXXXo
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
                      /\\XXX//\XXX/\\
−
|      |                        |                  |                            |
+
                      /\\\\X////\X/\\\\
−
| X%   | = [x, y]                | Target Universe | [B^k]                      |
+
                    o\\\\\o/////o\\\\\o
−
|      | = [f, g]                |                  |                            |
+
                    / \\\\/\\////\\\\\/ \
−
|     |                         |                 |                            |
+
                  /  \\/\\\\//\\\\\/  \
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
                  o     o\\\\\o\\\\\o     o
−
|     |                        |                  |                            |
+
                 =|\  / \\\\/ \\\\/ \  /|=
−
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^n x D^n]                |
+
                = | \ /   \\/  \\/  \ / | =
−
|      |                        | Source Universe  |                            |
+
               =  |  o     o     o     o | =
−
|      |                        |                  |                            |
+
              =   |  |\  / \  / \  /| |   =
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
            =    |u | \ /  \ /  \ / | v|   =
−
|      |                        |                  |                            |
+
            o    o--+--o     o    o--+--o     o
−
| EX%  | = [x, y, dx, dy]        | Extended         | [B^k x D^k]                |
+
          //\      |   \  / \  /  |       / \
−
|      | = [f, g, df, dg]       | Target Universe  |                            |
+
          ////\      | du \ /  \ / dv |      /  \
−
|      |                        |                  |                            |
+
        o/////o    o-----o     o-----o     o     o
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
         //\/////\          \  /          /\\  /\\
−
|     |                        |                  |                            |
+
       ////\/////\          \ /          /\\\\ /\\\\
−
| F    | F = <f, g> : U% -> X%   | Transformation,  | [B^n] -> [B^k]            |
+
      o/////o/////o           o           o\\\\\o\\\\\o
−
|      |                        | or Mapping       |                            |
+
     / \/////\//// \        = =        /\\\\\/ \\\\/\\
−
|      |                        |                  |                            |
+
    /  \/////\//  \      =  =       /\\\\\/  \\/\\\\
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
  o    o/////o     o     =    =    o\\\\\o    o\\\\\o
−
|      |                        |                  |                            |
+
   / \  / \//// \  / \   =       =  / \\\\/\\   /\\\\\/ \
−
|      | f, g : U -> B          | Proposition,     | B^n -> B                  |
+
  /  \ /   \//   \ /   \ =         = /  \\/\\\\ /\\\\\/  \
−
|      |                        |   special case   |                            |
+
o     o    o    o    o          o    o\\\\\o\\\\\o     o
−
| f    | f : U -> [x] c X%       |   of a mapping, | c (B^n, B^n -> B)          |
+
|\  / \  / \  / \  /|           |\  / \\\\/ \\\\/ \  /|
−
|      |                        |   or component   |                            |
+
| \ /  \ /  \ /  \ / |           | \ /  \\/  \\/  \ / |
−
| g    | g : U -> [y] c X%      |   of a mapping.  | = (B^n +-> B) = [B^n]      |
+
| o    o    o    o  |           | o    o    o    o  |
−
|      |                        |                  |                            |
+
| |\  / \  / \   /| |          | |\  / \  / \  /| |
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
|u | \ /  \ /  \ / | v|           |u | \ /  \ /  \ / | v|
−
|     |                         |                 |                            |
+
o--+--o    o    o--+--o    o    o--+--o     o    o--+--o
−
| W    | W :                    | Operator        |                            |
+
  . |  \  / \  /  |       /X\      |  \  / \  /   | .
−
|     | U% -> EU%,              |                 | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
+
   .| du \ /   \ / dv |     /XXX\     | du \ /  \ / dv |.
−
|     | X% -> EX%,              |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
+
  o-----o    o-----o    /XXXXX\    o-----o     o-----o
−
|      | (U%->X%)->(EU%->EX%),   |                 | ([B^n] -> [B^k])           |
+
    .    \  /          /XXXXXXX\          \  /    .
−
|     | for each W among:      |                  | ->                        |
+
     .    \ /          /XXXXXXXXX\          \ /    .
−
|     | !e!, !h!, E, D, d      |                 | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
+
      .    o          oXXXXXXXXXXXo          o    .
−
|     |                         |                  |                            |
+
      .              //\XXXXXXXXX/\\              .
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
         .            ////\XXXXXXX/\\\\            .
−
|      |                        |                                              |
+
      !e!J          //////\XXXXX/\\\\\\          dJ
−
| !e! |                         | Tacit Extension Operator   !e!                |
+
          .        ////////\XXX/\\\\\\\\        .
−
| !h!  |                        | Trope Extension Operator   !h!                |
+
          .      //////////\X/\\\\\\\\\\      .
−
|  E   |                         | Enlargement Operator        E                |
+
            .    o///////////o\\\\\\\\\\\o    .
−
|  D   |                         | Difference Operator        D                |
+
            .    |\////////// \\\\\\\\\\/|   .
−
|  d   |                         | Differential Operator      d                |
+
              .  | \////////  \\\\\\\\/ |   .
−
|     |                         |                                              |
+
              .  | \//////     \\\\\\/  | .
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
                . |   \////      \\\\/  | .
−
|     |                        |                  |                            |
+
                 .| x \//        \\/ dx |.
−
| $W$  | $W$ :                  | Operator         |                            |
+
                  o-----o           o-----o
−
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
+
                        \        /
−
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                 | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
+
                          \      /
−
|     | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^n] -> [B^k])          |
+
      x = uv              \     / dx = u dv + v du
−
|     | for each $W$ among:     |                 | ->                        |
+
                            \  /
−
|      | $e$, $E$, $D$, $T$      |                 | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
+
                            \ /
−
|      |                        |                  |                            |
+
                              o
−
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
+
 
−
|      |                        |                                              |
+
Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
−
| $e$  |                        | Radius Operator        $e$  =  <!e!, !h!>    |
  −
| $E$  |                        | Secant Operator        $E$  = <!e!,  E >     |
  −
| $D$  |                        | Chord Operator        $D$ = <!e!,  D >    |
  −
| $T$  |                        | Tangent Functor        $T$  =  <!e!,  d >    |
  −
|      |                        |                                              |
  −
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-a4 -- Tangent Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-a4.  Tangent Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
+
o-----------------------o
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|                      |
−
|             | Operator            | Proposition        | Transformation      |
+
|                      |
−
|             |   or                |   or              |   or                |
+
|                      |
−
|             | Operand              | Component          | Mapping              |
+
|      o--o  o--o     |
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|    /    \ /    \    |
−
|             |                     |                   |                     |
+
|    /      o      \    |
−
| Operand     | F = <F_1, F_2>      | F_i : <|u,v|> -> B | F : [u, v] -> [x, y] |
+
|  /  du  / \  dv  \  |
−
|             |                     |                   |                      |
+
|  o     /  \      o |
−
|             | F = <f, g> : U -> X | F_i : B^n -> B    | F : B^n -> B^k      |
+
| |     o    o    | |
−
|             |                     |                    |                     |
+
| |     |     |     | |
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
| |     o    o    |  |
−
|              |                      |                    |                      |
+
| o      \  /      o  |
−
| Tacit        | !e! :                | !e!F_i :          | !e!F :              |
+
|  \      \ /      /  |
−
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x, y]  |
+
|    \      o      /    |
−
|              | (U%->X%)->(EU%->X%)  | B^n x D^n -> B    | [B^n x D^n]->[B^k]  |
+
|    \    / \    /    |
−
|              |                      |                    |                      |
+
|      o--o  o--o      |
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|                      |
−
|             |                     |                    |                      |
+
|                      |
−
| Trope        | !h! :                | !h!F_i :          | !h!F :              |
+
|                      |
−
| Extension   | U%->EU%, X%->EX%,   | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
+
o-----------------------@
−
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
+
                        \
−
|             |                     |                   |                     |
+
o-----------------------o \
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|                       | \
−
|             |                     |                   |                     |
+
|                       |   \
−
| Enlargement | E :                  | EF_i :            | EF :                |
+
|                       |    \
−
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
+
|      o--o  o--o      |     \
−
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]   |
+
|     /    \ /    \    |     \
−
|             |                     |                   |                     |
+
|   /      o      \    |       \
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|   /  du  / \  dv \  |       \
−
|              |                      |                    |                      |
+
| o      /  \      o  |         \
−
| Difference   | D :                  | DF_i :            | DF :                |
+
| |     o    o    |  @          \
−
| Operator     | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
+
|  |    |    |    | |\          \
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
+
|  |    o    o     |  | \          \
−
|              |                      |                    |                      |
+
|  o      \  /      o  |  \          \
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|  \      \ /      /  |  \          \
−
|             |                     |                   |                     |
+
|    \      o      /    |    \          \
−
| Differential | d :                  | dF_i :            | dF :                |
+
|    \    / \    /    |    \          \
−
| Operator     | U%->EU%, X%->EX%,   | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
+
|      o--o  o--o      |      \          \
−
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]   |
+
|                      |      \          \
−
|             |                     |                   |                     |
+
|                      |        \          \
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|                      |        \          \
−
|             |                     |                   |                     |
+
o-----------------------o          \          \
−
| Remainder   | r :                  | rF_i :            | rF :                |
+
                                    \          \
−
| Operator     | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
+
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
−
|              | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D     | [B^n x D^n]->[D^k]  |
+
|                      |\  |        \          \  |  |```````````````````````|
−
|             |                     |                   |                     |
+
|                      | \ |          \          @ |  |```````````````````````|
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|                      |  \|          \          |  |```````````````````````|
−
|              |                      |                    |                      |
+
|      o--o  o--o      |  \      o--o  \o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
−
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$F :              |
+
|    /    \ /    \    |   |\    /    \ /\  \    |   |`````/````\`/````\`````|
−
| Operator    |                      |                    |                      |
+
|   /      o      \   |   | \  /      o  @  \   |   |````/``````o``````\````|
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
+
|   /  du / \  dv \  |   | \/  du  /`\  dv  \  |   |```/``du``/`\``dv``\```|
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
+
| o      /  \      o  |  | o\    /```\      o  |   |``o``````/```\``````o``|
−
|              |                      |                    |                      |
+
|  |    o     o    |  |  |  | \  o`````o     |  |  |``|`````o`````o`````|``|
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
+
|  |    |    |    |  |  |  |  @  |``@--|-----|------@``|`````|`````|`````|``|
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
+
|  |    o    o     |  |  |  |    o`````o     |  |   |``|`````o`````o`````|``|
−
|              |                      |                    |                      |
+
| o      \  /      o |   | o      \```/      o  |   |``o``````\```/``````o``|
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
|   \      \ /      /  |   |   \      \`/      /  |   |```\``````\`/``````/```|
−
|              |                      |                    |                      |
+
|   \      o      /    |  |   \      o      /    |   |````\``````o``````/````|
−
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$F :              |
+
|     \    / \    /    |  |    \    / \    /    |  |`````\````/`\````/`````|
−
| Operator    |                      |                    |                      |
+
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
+
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
+
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
−
|              |                      |                    |                      |
+
|                      |  |                      |  |```````````````````````|
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
+
\                    /    \                    /    \                    /
−
|              |                      |                    |                      |
+
   \      !h!J        /        \        J        /        \      !h!J        /
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
  \                /          \            /          \                /
−
|              |                      |                    |                      |
+
     \              /  o----------\---------/----------o  \              /
−
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                    | $D$F :              |
+
    \            /    |            \    /            |    \            /
−
| Operator    |                      |                    |                      |
+
      \          /    |              \ /              |    \          /
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
+
      \        /      |        o-----o-----o        |      \        /
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
+
        \      /      |        /`````````````\        |      \      /
−
|              |                      |                    |                      |
+
        \    /        |      /```````````````\      |        \    /
−
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
+
  o------\---/------o  |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
−
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
+
  |      \ /      | |     /```````````````````\    | |       \ /      |
−
|              |                      |                    |                      |
+
  |     o--o--o    | |   /`````````````````````\    | |    o--o--o    |
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
   |   /```````\    |  |   o```````````````````````o  | |   /```````\    |
−
|              |                      |                    |                      |
+
  |   /`````````\  | |   |```````````````````````|  |  |   /`````````\   |
−
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :    | dF_i :            | $T$F :              |
+
  |  o```````````o  |  |   |```````````````````````|   | | o```````````o |
−
| Functor      |                      |                    |                      |
+
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
−
|              | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u, v, du, dv] ->    |
+
  |  o```````````o |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o |
−
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
+
  |   \`````````/  | |   |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
−
|              |                      |                    |                      |
+
  |   \```````/   | |  o```````````````````````o  | |   \```````/    |
−
|              |                      | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n] ->      |
+
  |    o-----o    | |   \`````````````````````/    | |     o-----o     |
−
|             |                      |                    | [B^k x D^k]          |
+
  |                | |     \```````````````````/    | |                 |
−
|             |                      |                    |                      |
+
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
−
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
+
                        |      \```````````````/      |
−
</pre>
+
                        |        \`````````````/        |
 +
                        |        o-----------o         |
 +
                        |                               |
 +
                        |                               |
 +
                        o-------------------------------o
   −
===Formula Display 12===
+
Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction J = uv
−
 
  −
<pre>
  −
o-----------------------------------------------------------o
  −
|                                                          |
  −
|        x  =  f(u, v)  =  ((u)(v))                    |
  −
|                                                          |
  −
|        y  =  g(u, v)  =   ((u, v))                    |
  −
|                                                          |
  −
o-----------------------------------------------------------o
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 13===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-b1 -- Radius Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-b1.  Radius Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
   −
<pre>
+
===Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv===
−
o-----------------------------------------------------------o
  −
|                                                          |
  −
|    <x, y>  =   F<u, v>  =   <((u)(v)), ((u, v))>        |
  −
|                                                          |
  −
o-----------------------------------------------------------o
  −
</pre>
  −
 
  −
===Table 60.  Propositional Transformation===
      
<pre>
 
<pre>
−
Table 60.  Propositional Transformation
+
o-----------------------o
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
|                      |
−
|      u      |      v     |     f      |     g      |
+
|                      |
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
|                      |
−
|             |             |             |             |
+
|      o--o  o--o      |
−
|     0      |     0      |     0      |      1     |
+
|     /    \ /    \    |
−
|             |            |            |            |
+
|    /     o     \    |
−
|      0     |     1      |     1      |      0     |
+
|   /  du  /`\  dv  \  |
−
|             |             |             |            |
+
|  o     /```\      o |
−
|     1      |      0      |      1      |      0      |
+
|  |    o`````o     |  |
−
|            |            |            |            |
+
|  |     |`````|     | |
−
|      1      |      1      |      1      |      1      |
+
| |     o`````o    | |
−
|            |            |            |            |
+
|  o     \```/     o  |
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
|   \      \`/      /  |
−
|             |             | ((u)(v))  | ((u, v))   |
+
|   \     o     /    |
−
o-------------o-------------o-------------o-------------o
+
|    \    / \    /    |
−
</pre>
+
|      o--o  o--o     |
−
 
+
|                       |
−
===Figure 61. Propositional Transformation===
+
|                       |
−
 
+
|                       |
−
<pre>
+
o-----------------------@
−
            o-----------------------------------------------------o
+
                        \
−
            | U                                                  |
+
o-----------------------o \
−
            |                                                     |
+
|                       | \
−
            |           o-----------o  o-----------o            |
+
|                       |  \
−
            |           /            \ /            \           |
+
|                       |    \
−
            |          /              o              \         |
+
|      o--o   o--o     |    \
−
            |        /              / \               \         |
+
|    /````\ /    \    |      \
−
            |        /              /  \              \        |
+
|    /``````o     \    |      \
−
            |      o               o     o              o      |
+
|  /``du``/ \  dv \  |        \
−
            |      |              |    |              |      |
+
|  o``````/  \      o  |        \
−
            |      |      u      |    |      v      |      |
+
|  |`````o     o    |  @          \
−
            |      |              |    |              |      |
+
|  |`````|    |    |  |\          \
−
            |      o              o    o              o      |
+
|  |`````o    o    |  | \          \
−
            |        \               \  /              /        |
+
| o``````\  /      o  | \          \
−
            |        \              \ /              /        |
+
|   \``````\ /      /  |   \          \
−
            |         \               o              /         |
+
|   \``````o      /    |    \          \
−
            |           \             / \             /          |
+
|    \````/ \    /    |    \          \
−
            |           o-----------o  o-----------o           |
+
|      o--o  o--o      |     \          \
−
            |                                                     |
+
|                       |      \         \
−
            |                                                     |
+
|                       |       \         \
−
            o-----------------------------------------------------o
+
|                       |        \         \
−
            / \                                                  / \
+
o-----------------------o          \          \
−
          /   \                                                /   \
+
                                    \          \
−
          /     \                                               /    \
+
o-----------------------@  o--------\----------\---o   o-----------------------o
−
        /       \                                             /      \
+
|                       |\ |        \         \  |  |```````````````````````|
−
        /         \                                           /         \
+
|                       | \ |          \         @ |  |```````````````````````|
−
      /          \                                        /          \
+
|                       |  \|          \          |  |```````````````````````|
−
      /            \                                      /            \
+
|      o--o  o--o     |   \      o--o  \o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
−
    /              \                                    /              \
+
|     /    \ /````\    |   |\    /    \ /\  \    |  |`````/    \`/    \`````|
−
     /                \                                  /                \
+
|    /      o``````\    |  | \  /      o  @  \    |  |````/      o      \````|
−
  /                  \                                /                  \
+
|  /  du  / \``dv``\  |  |  \/ du  /`\ dv  \  |   |```/ du  / \ dv  \```|
−
   /                    \                              /                    \
+
|  o      /   \``````o  |  |  o\     /```\     o  |  |``o      /   \     o``|
−
  /                      \                            /                      \
+
|  |    o    o`````|  |  |  | \   o`````o    |  |  |``|    o    o    |``|
−
o-------------------------o                           o-------------------------o
+
|  |    |     |`````|  |   |  |  @ |``@--|-----|------@``|    |    |    |``|
−
| U                      |                           |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
+
|  |    o     o`````| |  |  |    o`````o    |  |  |``|    o    o    |``|
−
|      o---o  o---o      |                           |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
+
|  o      \   /``````o  |  |  o      \```/      o  |  |``o      \   /      o``|
−
|     //////\ //////\    |                           |\\\\\/    \\/    \\\\\\|
+
|  \     \ /``````/  |  |  \     \`/      /  |  |```\     \ /      /```|
−
|   ////////o///////\    |                           |\\\\/      o       \\\\\|
+
|   \     o``````/    |  |    \      o     /    |   |````\      o      /````|
−
|   //////////\///////\   |                          |\\\/      /\\      \\\\|
+
|     \   / \````/    |  |    \   / \   /    |  |`````\    /`\   /`````|
−
|  o///////o///o///////o |                          |\\o      o\\\o       o\\|
+
|      o--o   o--o     |  |      o--o  o--o      |  |``````o--o```o--o``````|
−
|  |// u //|///|// v //| |                          |\\|   u  |\\\|   v  |\\|
+
|                       |  |                      |  |```````````````````````|
−
|  o///////o///o///////o |                          |\\o       o\\\o       o\\|
+
|                       |  |                      |  |```````````````````````|
−
|   \///////\//////////  |                           |\\\\      \\/      /\\\|
+
|                       |  |                      |  |```````````````````````|
−
|    \///////o////////   |                           |\\\\\      o      /\\\\|
+
o-----------------------o  o-----------------------o   o-----------------------o
−
|     \////// \//////    |                           |\\\\\\    /\\    /\\\\\|
+
\                    /     \                    /     \                    /
−
|     o---o   o---o      |                           |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
+
  \        EJ        /       \        J        /       \        EJ        /
−
|                         |                           |\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
+
  \                /           \            /           \                /
−
o-------------------------o                          o-------------------------o
+
    \              /   o----------\---------/----------o   \               /
−
\                       |                          |                        /
+
    \             /    |           \    /            |   \            /
−
  \                      |                          |                     /
+
      \          /     |             \ /             |     \          /
−
    \                    |                          |                   /
+
      \        /     |         o-----o-----o        |     \         /
−
       \        f        |                           |        g        /
+
        \       /      |       /`````````````\        |       \       /
−
        \                |                           |               /
+
        \     /        |      /```````````````\       |       \     /
−
          \              |                           |             /
+
  o------\---/------o |      /`````````````````\      |  o------\---/------o
−
            \            |                          |            /
+
  |       \ /       |  |    /```````````````````\     |  |      \ /      |
−
              \          |                          |          /
+
  |    o--o--o     | |   /`````````````````````\   | |     o--o--o    |
−
                \        |                          |        /
+
  |    /```````\   |  |  o```````````````````````o  | |    /```````\    |
−
                  \      |                          |      /
+
  |   /`````````\   | |   |```````````````````````|  |  |  /`````````\   |
−
            o-------\----|---------------------------|----/-------o
+
  | o```````````o  | |  |```````````````````````|   |  |  o```````````o |
−
            | X      \  |                          |  /        |
+
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
−
            |          \|                          |/          |
+
  | o```````````o  | |   |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
+
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
−
            |          //////////////\ /\\\\\\\\\\\\\\          |
+
  |    \```````/    |  |   o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
−
            |          ////////////////o\\\\\\\\\\\\\\\\          |
+
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
−
            |        /////////////////X\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
+
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
−
            |        /////////////////XXX\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
+
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
−
            |      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
+
                        |      \```````````````/       |
−
            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
+
                        |        \`````````````/       |
−
            |      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
+
                        |        o-----------o        |
−
            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
+
                        |                               |
−
            |      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
+
                        |                               |
−
            |        \///////////////\XXX/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
+
                        o-------------------------------o
−
            |        \///////////////\X/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
+
 
−
            |          \///////////////o\\\\\\\\\\\\\\\/          |
+
Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction J = uv
−
            |          \////////////// \\\\\\\\\\\\\\/          |
  −
            |            o-----------o  o-----------o            |
  −
            |                                                    |
  −
            |                                                    |
  −
            o-----------------------------------------------------o
  −
Figure 61.  Propositional Transformation
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-b2 -- Secant Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-b2.  Secant Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
o-------------------------o o-------------------------o
+
o-----------------------o
−
| U                      | |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
+
|                      |
−
|     o---o   o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
+
|                      |
−
|    //////\ //////\    | |\\\\\/    \\/    \\\\\\|
+
|                      |
−
|   ////////o///////\    | |\\\\/      o      \\\\\|
+
|      o--o   o--o     |
−
|   //////////\///////\   | |\\\/      /\\      \\\\|
+
|    /    \ /    \    |
−
|  o///////o///o///////o  | |\\o       o\\\o       o\\|
+
|    /      o      \    |
−
| |// u //|///|// v //|  | |\\|  u  |\\\|  v   |\\|
+
|   /  du  /`\  dv  \  |
−
|  o///////o///o///////o  | |\\o       o\\\o       o\\|
+
| o      /```\     o  |
−
|  \///////\//////////  | |\\\\       \\/       /\\\|
+
| |    o`````o     |  |
−
|   \///////o////////    | |\\\\\       o      /\\\\|
+
|  |    |`````|     |  |
−
|     \////// \//////    | |\\\\\\     /\\     /\\\\\|
+
| |    o`````o     |  |
−
|      o---o  o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
+
|  o      \```/     o  |
−
|                        | |\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
+
|   \     \`/      /  |
−
o-------------------------o o-------------------------o
+
|    \     o      /   |
−
\                       /   \                       /
+
|     \   / \   /    |
−
  \                     /    \                     /
+
|     o--o  o--o     |
−
  \                   /      \                   /
+
|                       |
−
     \       f        /         \       g        /
+
|                      |
−
    \               /           \               /
+
|                       |
−
      \             /             \             /
+
o-----------------------@
−
      \          /               \           /
+
                        \
−
        \         /                 \         /
+
o-----------------------o \
−
        \       /                   \      /
+
|                      |  \
−
o---------\-----/---------------------\-----/---------o
+
|                       |   \
−
| X        \  /                      \   /          |
+
|                      |    \
−
|           \ /                        \ /          |
+
|      o--o   o--o     |    \
−
|           o-----------o  o-----------o           |
+
|     /````\ /   \    |     \
−
|           //////////////\ /\\\\\\\\\\\\\\          |
+
|   /``````o      \    |       \
−
|         ////////////////o\\\\\\\\\\\\\\\\          |
+
|  /``du``/ \ dv  \  |       \
−
|         /////////////////X\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
+
|  o``````/   \      o |        \
−
|       /////////////////XXX\\\\\\\\\\\\\\\\\        |
+
|  |`````o     o     |  @          \
−
|       o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
+
| |`````|    |    |  |\         \
−
|       |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
+
|  |`````o    o     |  | \         \
−
|      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
+
|  o``````\   /      o |  \         \
−
|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|       |
+
|  \``````\ /     /  |   \         \
−
|       o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o       |
+
|    \``````o      /    |    \         \
−
|        \///////////////\XXX/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
+
|    \````/ \    /     |    \         \
−
|         \///////////////\X/\\\\\\\\\\\\\\\/        |
+
|     o--o  o--o      |     \         \
−
|         \///////////////o\\\\\\\\\\\\\\\/          |
+
|                      |      \         \
−
|           \////////////// \\\\\\\\\\\\\\/          |
+
|                      |        \         \
−
|           o-----------o  o-----------o            |
+
|                       |         \         \
−
|                                                    |
+
o-----------------------o          \         \
−
|                                                    |
+
                                    \         \
−
o-----------------------------------------------------o
+
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
−
Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)
+
|                      |\  |        \          \  |  |                      |
 +
|                      | \ |          \          @ |   |                       |
 +
|                      |  \|          \           |  |                      |
 +
|      o--o  o--o      |  \     o--o  \o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|     /    \ /````\     |  |\    /   \ /\   \    |  |    /````\ /````\     |
 +
|    /     o``````\   |  | \ /     o  @  \   |  |    /``````o``````\    |
 +
|  /  du  / \``dv``\  |  |  \/ du  /`\  dv  \  |  |  /``du``/`\``dv``\  |
 +
|  o      /  \``````o  |  |  o\     /```\      o  |  |  o``````/```\``````o  |
 +
|  |    o    o`````|  |  |  | \  o`````o    |  |   | |`````o`````o`````| |
 +
| |    |    |`````|  |  |  |  @  |``@--|-----|------@  |`````|`````|`````|  |
 +
|  |    o    o`````| |   | |     o`````o     |  |  |  |`````o`````o`````|  |
 +
| o      \  /``````o  |  |  o      \```/     o  |  |  o``````\```/``````o  |
 +
|  \      \ /``````/   |  |  \      \`/     /   |  |  \``````\`/``````/   |
 +
|    \      o``````/   |  |    \      o      /   |  |    \``````o``````/   |
 +
|    \    / \````/     |  |    \   / \   /    |  |    \````/ \````/    |
 +
|     o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|                       |  |                      |  |                      |
 +
|                      |  |                      |  |                      |
 +
|                       |  |                       |  |                       |
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
\                    /     \                    /     \                    /
 +
  \        DJ        /       \        J        /       \        DJ        /
 +
  \                /           \            /           \                /
 +
    \              /   o----------\---------/----------o  \               /
 +
    \             /    |            \     /            |    \             /
 +
      \           /    |              \ /              |    \           /
 +
      \         /      |         o-----o-----o        |     \        /
 +
        \       /       |        /`````````````\        |      \      /
 +
        \    /       |      /```````````````\       |        \     /
 +
  o------\---/------o  |      /`````````````````\     |  o------\---/------o
 +
  |      \ /       |  |    /```````````````````\    |  |      \ /       |
 +
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\   |  |    o--o--o    |
 +
  |   /```````\   |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 +
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\   |
 +
  |  o```````````o  |  |   |```````````````````````|  |  |  o```````````o |
 +
  |  |````dx`````| @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 +
  | o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 +
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 +
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 +
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 +
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 +
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 +
                        |      \```````````````/      |
 +
                        |        \`````````````/        |
 +
                        |        o-----------o        |
 +
                        |                              |
 +
                        |                              |
 +
                        o-------------------------------o
 +
 
 +
Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 63.  Transformation of Positions===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-b3 -- Chord Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-b3.  Chord Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
            o-----------------------------------------------------o
+
o-----------------------o
−
            |`U` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
+
|                      |
−
            |` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
+
|                      |
−
            |` ` ` ` ` ` o-----------o ` o-----------o ` ` ` ` ` `|
+
|                      |
−
            |` ` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' '\`/' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` ` `|
+
|      o--o  o--o      |
−
            |` ` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' o ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` ` `|
+
|    /    \ /    \    |
−
            |` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' ' '/^\' ' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` `|
+
|    /      o      \    |
−
            |` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' /^^^\ ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` `|
+
|   /  du  / \  dv  \  |
−
            |` ` ` `o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o' ' ' ' ' ' ' 'o` ` ` `|
+
| o      /  \      o  |
−
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
+
| |    o    o     |  |
−
            |` ` ` `|' ' ' ' u ' ' '|^^^^^|' ' ' v ' ' ' '|` ` ` `|
+
|  |    |    |    |  |
−
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
+
|  |    o     o     |  |
−
            |` `@` `o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o' ' ' @ ' ' ' 'o` ` ` `|
+
| o      \   /     o  |
−
            |` ` \ ` \ ' ' ' | ' ' ' \^|^/ ' ' ' | ' ' ' / ` ` ` `|
+
|   \      \ /     /  |
−
            |` ` `\` `\' ' ' | ' ' ' '\|/' ' ' ' | ' ' '/` ` ` ` `|
+
|   \      o      /   |
−
            |` ` ` \ ` \ ' ' | ' ' ' ' | ' ' ' ' | ' ' / ` ` ` ` `|
+
|     \    / \    /     |
−
            |` ` ` `\` `\' ' | ' ' ' '/|\' ' ' ' | ' '/` ` ` ` ` `|
+
|     o--o   o--o     |
−
            |` ` ` ` \ ` o---|-------o | o-------|---o ` ` ` ` ` `|
+
|                       |
−
            |` ` ` ` `\` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
+
|                       |
−
            |` ` ` ` ` \ ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
+
|                       |
−
            o-----------\----|---------|---------|----------------o
+
o-----------------------@
−
            " "          \   |        |        |              " "
+
                        \
−
         "      "        \ |        |        |            "      "
+
o-----------------------o \
−
      "            "      \ |        |        |        "            "
+
|                      | \
−
  "                  "    \|        |        |      "                  "
+
|                       |   \
−
o-------------------------o  \        |        |  o-------------------------o
+
|                       |   \
−
| U                       |  |\       |        |  |`U```````````````````````|
+
|     o--o  o--o      |    \
−
|     o---o  o---o      |  | \       |        |  |``````o---o```o---o``````|
+
|    /````\ /    \     |     \
−
|     /'''''\ /'''''\     |   |  \     |        |  |`````/    \`/     \`````|
+
|   /``````o      \    |      \
−
|    /'''''''o'''''''\    |  |  \     |        |  |````/      o       \````|
+
|  /``du``/`\ dv  \  |       \
−
|  /'''''''/'\'''''''\  |  |   \   |         |  |```/       /`\      \```|
+
| o``````/```\     o |         \
−
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |    \  |         |   |``o      o```o       o``|
+
| |`````o`````o    |  @          \
−
|  |'''u'''|'''|'''v'''|  |  |     \ |         |   |``|  u  |```|  v  |``|
+
|  |`````|`````|    |  |\          \
−
|  o'''''''o'''o'''''''o  |   |       \ |         |  |``o      o```o      o``|
+
|  |`````o`````o    |  | \          \
−
|   \'''''''\'/'''''''/   |   |       \|        |  |```\      \`/      /```|
+
| o``````\```/      o  | \          \
−
|   \'''''''o'''''''/    |   |         \        |   |````\      o       /````|
+
|   \``````\`/      /  |   \          \
−
|    \'''''/ \'''''/    |  |         |\        |  |`````\     /`\     /`````|
+
|    \``````o     /    |    \          \
−
|      o---o  o---o      |  |         | \       |  |``````o---o```o---o``````|
+
|    \````/ \    /    |    \          \
−
|                        |  |        |  \      *  |`````````````````````````|
+
|      o--o  o--o      |     \          \
−
o-------------------------o   |         |  \    /   o-------------------------o
+
|                       |       \          \
−
\                       |  |        |    \  /    |                        /
+
|                      |        \          \
−
  \      ((u)(v))        |  |        |    \/     |        ((u, v))      /
+
|                      |        \          \
−
    \                    |  |        |    /\     |                    /
+
o-----------------------o         \          \
−
      \                 |  |        |    / \     |                 /
+
                                    \         \
−
        \                |  |        |  /    \    |               /
+
o-----------------------@  o--------\----------\---o  o-----------------------o
−
          \              |  |         |  /     *   |             /
+
|                      |\ |        \          \  |  |                       |
−
            \            |  |         | /      |   |           /
+
|                      | \ |         \          @ |  |                      |
−
              \          |  |         |/        |  |         /
+
|                      |  \|          \          |  |                      |
−
                \        |   |        /        |  |       /
+
|      o--o  o--o      |  \     o--o  \o--o      |  |     o--o   o--o     |
−
                  \      |  |       /|        |  |     /
+
|    /    \ /````\    |   |\    /   \ /\  \     |  |     /````\ /````\    |
−
            o-------\----|---|-------/-|---------|---|----/-------o
+
|    /     o``````\    |  | \  /      o  @   \   |  |   /``````o``````\    |
−
            | X      \  |   |      /  |        |  |  /        |
+
|  / du  /`\``dv``\  |  | \/  du  /`\  dv  \   |   |  /``du``/ \``dv``\  |
−
            |          \|  |    /  |        |  |/          |
+
|  o     /```\``````o  |  | o\     /```\     o  |   | o``````/   \``````o |
−
            |            o---|----/--o | o-------|---o           |
+
|  |     o`````o`````|  |  |  | \   o`````o    |  |  |  |`````o     o`````| |
−
            |          /' ' | ' / ' '\|/` ` ` ` | ` `\           |
+
| |     |`````|`````| |  | | @  |``@--|-----|------@  |`````|     |`````| |
−
            |          / ' ' | '/' ' ' | ` ` ` ` | ` ` \         |
+
| |     o`````o`````| |  | |     o`````o     |  |  |  |`````o     o`````|  |
−
            |         /' ' ' | / ' ' '/|\` ` ` ` | ` ` `\         |
+
| o     \```/``````o |  | o      \```/      o  |  | o``````\  /``````o  |
−
            |        / ' ' ' |/' ' ' /^|^\ ` ` ` | ` ` ` \       |
+
|  \      \`/``````/  |  |  \      \`/      /  |  |  \``````\ /``````/  |
−
            |  @  o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o` ` ` @ ` ` ` `o      |
+
|    \      o``````/    |  |   \      o      /    |  |    \``````o``````/   |
−
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
+
|    \   / \````/    |  |    \   / \    /     |  |    \````/ \````/    |
−
            |       |' ' ' ' f ' ' '|^^^^^|` ` ` g ` ` ` `|      |
+
|     o--o   o--o      |  |     o--o  o--o      |  |      o--o   o--o      |
−
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
+
|                      |  |                       |   |                       |
−
            |      o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o` ` ` ` ` ` ` `o      |
+
|                      |  |                       |  |                       |
−
            |        \ ' ' ' ' ' ' ' \^^^/ ` ` ` ` ` ` ` /       |
+
|                       |  |                       |  |                       |
−
            |        \' ' ' ' ' ' ' '\^/` ` ` ` ` ` ` `/        |
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
            |          \ ' ' ' ' ' ' ' o ` ` ` ` ` ` ` /          |
+
\                    /     \                    /     \                     /
−
            |          \' ' ' ' ' ' '/ \` ` ` ` ` ` `/          |
+
  \       dJ        /       \        J        /       \       dJ         /
−
            |            o-----------o  o-----------o            |
+
  \                /           \             /          \                 /
−
            |                                                    |
+
    \              /   o----------\---------/----------o   \              /
−
            |                                                    |
+
    \            /    |            \    /            |   \            /
−
            o-----------------------------------------------------o
+
       \          /    |             \ /              |     \          /
−
Figure 63.  Transformation of Positions
+
      \        /      |         o-----o-----o        |     \        /
 +
        \      /      |       /`````````````\        |      \      /
 +
        \    /        |      /```````````````\      |       \     /
 +
  o------\---/------o  |      /`````````````````\     | o------\---/------o
 +
  |      \ /      |  |    /```````````````````\    |  |      \ /      |
 +
  |    o--o--o    |  |    /`````````````````````\    |  |    o--o--o    |
 +
  |    /```````\    |  |  o```````````````````````o  |  |    /```````\    |
 +
  |  /`````````\  |  |  |```````````````````````|  |  |  /`````````\  |
 +
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 +
  |  |````dx`````|  @----@ |```````````x`````@-----|------@  |``` dx ````|  |
 +
  |  o```````````o  |  |  |```````````````````````|  |  |  o```````````o  |
 +
  |  \`````````/  |  |  |```````````````````````|  |  |  \`````````/  |
 +
  |    \```````/    |  |  o```````````````````````o  |  |    \```````/    |
 +
  |    o-----o    |  |    \`````````````````````/    |  |    o-----o    |
 +
  |                |  |    \```````````````````/    |  |                |
 +
  o-----------------o  |      \`````````````````/      |  o-----------------o
 +
                        |      \```````````````/      |
 +
                        |        \`````````````/        |
 +
                        |        o-----------o        |
 +
                        |                              |
 +
                        |                              |
 +
                        o-------------------------------o
 +
 
 +
Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Table 64.  Transformation of Positions===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 56-b4 -- Tangent Map of J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 56-b4.  Tangent Map of the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
   −
<pre>
+
===Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
−
Table 64.  Transformation of Positions
  −
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
  −
| u v |    x    |    y    |  x y  |  x(y) | (x)y  | (x)(y) | X% = [x, y] |
  −
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
  −
|    |          |          |      |      |        |        |      ^      |
  −
| 0 0 |    0    |    1    |  0  |  0  |  1    |  0    |      |      |
  −
|    |          |          |      |      |        |        |            |
  −
| 0 1 |    1    |    0    |  0  |  1  |  0    |  0    |      F      |
  −
|    |          |          |      |      |        |        |      =     |
  −
| 1 0 |    1    |    0    |  0  |  1  |  0    |  0    |  <f , g>  |
  −
|    |          |          |      |      |        |        |            |
  −
| 1 1 |    1    |    1    |  1  |  0  |  0    |  0    |      ^      |
  −
|    |          |          |      |      |        |        |      |      |
  −
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
  −
|    | ((u)(v)) | ((u, v)) |  u v  | (u,v) | (u)(v) |  0    | U% = [u, v] |
  −
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
  −
</pre>
  −
 
  −
===Table 65.  Induced Transformation on Propositions===
      
<pre>
 
<pre>
−
Table 65.  Induced Transformation on Propositions
+
            o                                   o
−
o------------o---------------------------------o------------o
+
          //\                                /X\
−
|     X%     |   <---   F =  <f , g>   <---   |    U%    |
+
          ////\                              /XXX\
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
+
        //////\                            oXXXXXo
−
|           |     u = | 1 1 0 0  | = u      |           |
+
        ////////\                          /X\XXX/X\
−
|           |     v = |  1 0 1 0 | = v      |           |
+
      //////////\                        /XXX\X/XXX\
−
| f_i <x, y> o----------o-----------o----------o f_j <u, v> |
+
      o///////////o                       oXXXXXoXXXXXo
−
|           |     x = | 1 1 1 0 | = f<u,v> |           |
+
    / \////////// \                    / \XXX/X\XXX/ \
−
|           |      y = | 1 0 0 1 | = g<u,v> |            |
+
     /  \////////  \                  /  \X/XXX\X/  \
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
+
  /    \//////    \                o    oXXXXXo     o
−
|           |          |          |          |            |
+
  /      \////      \              / \   / \XXX/ \   / \
−
|    f_0    |    ()    |  0 0 0 0  |    ()    |    f_0    |
+
  /        \//        \            /  \ /  \X/   \ /   \
−
|            |          |          |          |            |
+
o           o          o          o     o     o     o     o
−
|   f_1    |  (x)(y)  |  0 0 0 1  |    ()    |    f_0    |
+
|\        / \        /|           |\  / \  / \  / \  /|
−
|           |          |          |          |            |
+
| \      /  \      / |           | \ /  \ /  \ /  \ / |
−
|    f_2    |  (x) y  |  0 0 1 0  |  (u)(v)  |    f_1    |
+
|  \    /    \    / |           | o     o     o     o |
−
|           |          |          |          |            |
+
|   \  /      \  /  |           |  |\  / \  / \  /| |
−
|    f_3    |  (x)    |  0 0 1 1  |  (u)(v)  |    f_1    |
+
| u \ /        \ / v |          |u | \ /  \ /  \ / | v|
−
|            |          |          |          |            |
+
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
−
|    f_4    |  x (y)  |  0 1 0 0  |  (u, v) |   f_6    |
+
      \        /                    |  \  / \  /  |
−
|           |          |          |          |            |
+
        \      /                      | du \ /  \ / dv |
−
|   f_5    |    (y)  |  0 1 0 1  |  (u, v)  |    f_6    |
+
        \    /                      o-----o    o-----o
−
|           |          |          |          |            |
+
          \  /                              \  /
−
|    f_6    |  (x, y)  |  0 1 1 0  |  (u  v)  |    f_7    |
+
          \ /                                \ /
−
|            |          |          |          |            |
+
            o                                  o
−
|    f_7    |  (x  y)  |  0 1 1 1  |  (u  v)  |    f_7    |
+
                U%          $e$          $E$U%
−
|            |          |          |          |            |
+
                    o------------------>o
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
+
                    |                   |
−
|           |          |           |         |            |
+
                    |                   |
−
|    f_8    |  x  y  |  1 0 0 0  |  u  v  |    f_8    |
+
                    |                   |
−
|            |          |          |          |            |
+
                    |                   |
−
|    f_9     | ((x, y)) |  1 0 0 1  |   u  v  |   f_8     |
+
                J |                   | $e$J
−
|            |          |          |          |            |
+
                    |                   |
−
|    f_10    |      y  | 1 0 1 0  | ((u, v)) |    f_9    |
+
                    |                   |
−
|            |          |           |          |            |
+
                    |                   |
−
|   f_11    |  (x (y)) |  1 0 1 1  | ((u, v)) |    f_9    |
+
                    v                   v
−
|            |          |           |          |           |
+
                    o------------------>o
−
|    f_12    |  x      |  1 1 0 0  | ((u)(v)) |    f_14    |
+
                X%          $e$          $E$X%
−
|           |          |           |         |            |
+
            o                                   o
−
|   f_13    | ((x) y) |  1 1 0 1 | ((u)(v)) |    f_14    |
+
           //\                                /X\
−
|           |          |           |         |            |
+
           ////\                              /XXX\
−
|   f_14    | ((x)(y)) | 1 1 1 0  |  (())  |    f_15    |
+
         //////\                            /XXXXX\
−
|            |          |           |         |            |
+
        ////////\                          /XXXXXXX\
−
|    f_15    |  (())  |  1 1 1 1 |  (())  |    f_15    |
+
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
−
|            |          |          |          |            |
+
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
−
o------------o----------o-----------o----------o------------o
+
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
−
</pre>
+
     /////////////   \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 +
   /////////////     \                //////\XXXXX/\\\\\\
 +
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 +
  /////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 +
o////////////          o           o///////////o\\\\\\\\\\\o
 +
|\//////////           /           |\////////// \\\\\\\\\\/|
 +
| \////////           /            | \////////  \\\\\\\\/ |
 +
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/ |
 +
|   \////           /              |   \////      \\\\/  |
 +
| x  \//           /                | x \//        \\/ dx |
 +
o-----o           /                o-----o           o-----o
 +
      \        /                        \        /
 +
        \      /                          \      /
 +
        \    /                            \    /
 +
          \  /                              \  /
 +
          \ /                                \ /
 +
            o                                  o
   −
===Formula Display 14===
+
Figure 57-1. Radius Operator Diagram for the Conjunction J = uv
−
 
  −
<pre>
  −
o-------------------------------------------------o
  −
|                                                |
  −
|  EG_i = G_i <u + du, v + dv>                |
  −
|                                                |
  −
o-------------------------------------------------o
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 15===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 57-1 -- Radius Operator Diagram for J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 57-1.  Radius Operator Diagram for the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
   −
<pre>
+
===Figure 57-2. Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
−
o-------------------------------------------------o
  −
|                                                |
  −
|  DG_i  = G_i <u, v>  +  EG_i <u, v, du, dv>  |
  −
|                                                |
  −
|        =  G_i <u, v>  +  G_i <u + du, v + dv>  |
  −
|                                                |
  −
o-------------------------------------------------o
  −
</pre>
  −
 
  −
===Formula Display 16===
      
<pre>
 
<pre>
−
o-------------------------------------------------o
+
            o                                   o
−
|                                                 |
+
          //\                                /X\
−
|  Ef = ((u + du)(v + dv))                    |
+
          ////\                              /XXX\
−
|                                                 |
+
        //////\                            oXXXXXo
−
|  Eg = ((u + du, v + dv))                    |
+
        ////////\                          //\XXX//\
−
|                                                 |
+
      //////////\                        ////\X////\
−
o-------------------------------------------------o
+
      o///////////o                      o/////o/////o
−
</pre>
+
    / \////////// \                    /\\/////\////\\
−
 
+
    /  \////////  \                  /\\\\/////\//\\\\
−
===Formula Display 17===
+
  /    \//////    \                o\\\\\o/////o\\\\\o
−
 
+
  /      \////      \              / \\\\/ \//// \\\\/ \
−
<pre>
+
/        \//        \            /  \\/  \//  \\/  \
−
o-------------------------------------------------o
+
o          o          o          o    o    o    o    o
−
|                                                 |
+
|\        / \        /|          |\  / \  /\\  / \  /|
−
|   Df =  ((u)(v))  +  ((u + du)(v + dv))        |
+
| \      /  \      / |          | \ /   \ /\\\\ /  \ / |
−
|                                                 |
+
| \    /    \    / |           | o    o\\\\\o    o  |
−
|   Dg  =  ((u, v))  +  ((u + du, v + dv))        |
+
|  \  /      \  /  |          | |\  / \\\\/ \  /| |
−
|                                                 |
+
| u \ /        \ /  v |           |u | \ /  \\/  \ / | v|
−
o-------------------------------------------------o
+
o-----o          o-----o          o--+--o    o    o--+--o
−
</pre>
+
      \        /                    |  \  / \  /  |
−
 
+
        \      /                      | du \ /  \ / dv |
−
===Table 66-i.  Computation Summary for f‹u, v› = ((u)(v))===
+
        \    /                      o-----o    o-----o
−
 
+
          \  /                              \  /
−
<pre>
+
          \ /                                \ /
−
Table 66-i. Computation Summary for f<u, v> = ((u)(v))
+
            o                                  o
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
                U%          $E$          $E$U%
−
|                                                                               |
+
                    o------------------>o
−
| !e!f  =  uv.    1      + u(v).    1      + (u)v.    1      + (u)(v).    0      |
+
                    |                  |
−
|                                                                               |
+
                    |                  |
−
|  Ef  =  uv. (du  dv)  + u(v). (du (dv)) + (u)v.((du) dv)  + (u)(v).((du)(dv)) |
+
                    |                   |
−
|                                                                               |
+
                    |                   |
−
|  Df =  uv.  du dv  + u(v).  du (dv)  + (u)v. (du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
+
                J |                   | $E$J
−
|                                                                               |
+
                    |                   |
−
|  df  =  uv.    0      + u(v).  du       + (u)v.      dv   + (u)(v). (du, dv)  |
+
                    |                   |
−
|                                                                               |
+
                    |                   |
−
|   rf =  uv.  du  dv  + u(v).  du  dv  + (u)v.  du  dv  + (u)(v).  du  dv  |
+
                    v                  v
−
|                                                                                |
+
                    o------------------>o
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
                X%          $E$          $E$X%
 +
            o                                  o
 +
          //\                                /X\
 +
          ////\                              /XXX\
 +
        //////\                            /XXXXX\
 +
        ////////\                          /XXXXXXX\
 +
      //////////\                        /XXXXXXXXX\
 +
      ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
 +
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
 +
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
 +
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
 +
  /////////////      \              ////////\XXX/\\\\\\\\
 +
  /////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
 +
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
 +
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
 +
| \////////          /            | \////////   \\\\\\\\/ |
 +
| \//////          /              |  \//////    \\\\\\/ |
 +
|   \////          /              |  \////       \\\\/   |
 +
| x  \//          /                | x \//        \\/ dx |
 +
o-----o          /                o-----o          o-----o
 +
      \        /                        \        /
 +
        \      /                          \      /
 +
        \    /                            \    /
 +
          \  /                              \  /
 +
          \ /                                \ /
 +
            o                                  o
 +
 
 +
Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Table 66-ii.  Computation Summary for g‹u, v› = ((u, v))===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 57-2 -- Secant Operator Diagram for J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 57-2.  Secant Operator Diagram for the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv===
    
<pre>
 
<pre>
−
Table 66-ii.  Computation Summary for g<u, v> = ((u, v))
+
            o                                   o
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
          //\                                //\
−
|                                                                                |
+
          ////\                              ////\
−
| !e!g  =  uv.    1      + u(v).    0      + (u)v.    0      + (u)(v).    1      |
+
        //////\                            o/////o
−
|                                                                                |
+
        ////////\                          /X\////X\
−
|  Eg  =  uv.((du, dv)) + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v).((du, dv)) |
+
      //////////\                        /XXX\//XXX\
−
|                                                                                |
+
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
−
|  Dg  =  uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
+
    / \////////// \                    /\\XXX/X\XXX/\\
−
|                                                                                |
+
    /  \////////   \                  /\\\\X/XXX\X/\\\\
−
|   dg  =  uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
+
   /    \//////    \                o\\\\\oXXXXXo\\\\\o
−
|                                                                                |
+
  /      \////      \              / \\\\/ \XXX/ \\\\/ \
−
|  rg  =  uv.   0      + u(v).    0      + (u)v.    0      + (u)(v).    0      |
+
  /        \//        \            /  \\/  \X/  \\/  \
−
|                                                                                |
+
o           o           o           o     o     o     o     o
−
o--------------------------------------------------------------------------------o
+
|\        / \        /|           |\  / \  /\\  / \  /|
−
</pre>
+
| \       /  \       / |           | \ /  \ /\\\\ /  \ / |
−
 
+
|  \    /    \    / |           |  o    o\\\\\o    o |
−
===Table 67. Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
+
|   \  /       \  /  |           |  |\  / \\\\/ \  /|  |
−
 
+
| u \ /        \ / v |           |u | \ /  \\/  \ / | v|
−
<pre>
+
o-----o           o-----o           o--+--o     o     o--+--o
−
Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
+
       \        /                    |   \  / \  /  |
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
        \       /                      | du \ /  \ / dv |
−
|  u  v  | du dv | u' v' |  f  g  | Ef Eg | Df Dg | df dg | rf rg |
+
        \    /                      o-----o     o-----o
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
          \  /                              \  /
−
|       |       |       |        |      |      |      |      |
+
          \ /                                \ /
−
|  0  0  | 0  0  | 0  0  |  0  1  | 0  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
            o                                   o
−
|       |       |       |       |       |      |      |      |
+
                U%          $D$          $E$U%
−
|       | 0 1 | 0  1  |       | 1 0  | 1  1  | 1  1  | 0  0 |
+
                    o------------------>o
−
|       |      |      |        |       |       |       |      |
+
                    |                   |
−
|        | 1  0 | 1  0  |       | 1  0  | 1  1  | 1  1  | 0  0 |
+
                    |                   |
−
|       |      |      |        |      |      |      |      |
+
                    |                   |
−
|        | 1 1 | 1  1  |       | 1  1  | 1  0  | 0  0  | 1  0  |
+
                    |                   |
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
                J |                   | $D$J
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
                    |                   |
−
|       |       |      |        |      |      |      |      |
+
                    |                   |
−
|  0  1  | 0  0  | 0  1  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
                    |                   |
−
|        |       |       |        |      |      |      |      |
+
                    v                  v
−
|        | 0  1  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
+
                    o------------------>o
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
                X%          $D$          $E$X%
−
|        | 1  0  | 1  1  |        | 1  1  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
+
            o                                   o
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
          //\                                /X\
−
|        | 1  1  | 1  0  |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
+
          ////\                              /XXX\
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
        //////\                            /XXXXX\
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
        ////////\                          /XXXXXXX\
−
|       |       |      |        |      |      |      |       |
+
       //////////\                        /XXXXXXXXX\
−
| 1  0  | 0  0  | 1  0  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
       ////////////o                      oXXXXXXXXXXXo
−
|       |      |      |        |      |      |      |      |
+
    ///////////// \                    //\XXXXXXXXX/\\
−
|        | 0  1  | 1  1  |        | 1  1 | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
+
    /////////////  \                  ////\XXXXXXX/\\\\
−
|       |      |      |        |      |      |      |      |
+
  /////////////    \                //////\XXXXX/\\\\\\
−
|        | 1  0  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
+
  /////////////       \              ////////\XXX/\\\\\\\\
−
|       |      |      |        |      |      |      |      |
+
  /////////////        \            //////////\X/\\\\\\\\\\
−
|       | 1  1  | 0  1  |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
+
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
|\//////////          /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
| \////////          /            | \////////  \\\\\\\\/ |
−
|       |       |       |        |      |      |      |      |
+
|  \//////          /              |  \//////    \\\\\\/ |
−
| 1  1  | 0  0  | 1  1  |  1  1  | 1  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
+
|   \////          /              |   \////       \\\\/  |
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
| x \//          /                | x \//        \\/ dx |
−
|       | 0  1  | 1  0  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
+
o-----o           /                o-----o           o-----o
−
|       |       |      |        |      |      |      |      |
+
      \        /                        \        /
−
|       | 1  0 | 0 1  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0 |
+
        \      /                          \      /
−
|       |      |      |        |      |      |      |      |
+
        \    /                            \    /
−
|       | 1  1 | 0  0  |        | 0  1  | 1  0  | 0  0  | 1  0 |
+
          \  /                              \  /
−
|        |      |      |        |      |      |      |      |
+
          \ /                                \ /
−
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
+
            o                                   o
−
</pre>
     −
===Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
+
Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction J = uv
−
 
  −
<pre>
  −
Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
  −
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
  −
| u v | f g |    Df    |    Dg    |    df    |    dg    |    rf    |    rf    |
  −
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
  −
|    |    |            |          |          |          |          |          |
  −
| 0 0 | 0 1 | ((du)(dv)) | (du, dv) | (du, dv) | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
  −
|    |    |            |          |          |          |          |          |
  −
| 0 1 | 1 0 |  (du) dv  | (du, dv) |    dv    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
  −
|    |    |            |          |          |          |          |          |
  −
| 1 0 | 1 0 |  du (dv)  | (du, dv) |    du    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
  −
|    |    |            |          |          |          |          |          |
  −
| 1 1 | 1 1 |  du  dv  | (du, dv) |    ()    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
  −
|    |    |            |          |          |          |          |          |
  −
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 18===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 57-3 -- Chord Operator Diagram for J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 57-3.  Chord Operator Diagram for the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
   −
<pre>
+
===Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv===
−
o-------------------------------------------------------------------------o
  −
|                                                                        |
  −
|  Df  =  uv. du  dv  + u(v). du (dv) + (u)v.(du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
  −
|                                                                        |
  −
|  Dg  =  uv.(du, dv) + u(v).(du, dv) + (u)v.(du, dv) + (u)(v). (du, dv)  |
  −
|                                                                        |
  −
o-------------------------------------------------------------------------o
  −
</pre>
  −
 
  −
===Figure 69.  Difference Map of F = ‹f, g› = ‹((u)(v)), ((u, v))›===
      
<pre>
 
<pre>
−
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
+
            o                                   o
−
| U                                 | |`U`````````````````````````````````|
+
          //\                                 //\
−
|                                  | |```````````````````````````````````|
+
          ////\                              ////\
−
|                ^                | |```````````````````````````````````|
+
        //////\                            o/////o
−
|                |                | |```````````````````````````````````|
+
        ////////\                          /X\////X\
−
|      o-------o | o-------o      | |```````o-------o```o-------o```````|
+
      //////////\                         /XXX\//XXX\
−
| ^    /`````````\|/`````````\   ^ | | ^ ```/     ^  \`/ ^      \``` ^ |
+
      o///////////o                      oXXXXXoXXXXXo
−
|  \ /```````````|```````````\ / | |``\``/       \ o  /       \``/``|
+
    / \////////// \                     /\\XXX//\XXX/\\
−
|   \/`````u`````/|\`````v`````\/   | |```\/    u    \/`\/   v     \/```|
+
    /  \////////  \                  /\\\\X////\X/\\\\
−
|   /\``````````/`|`\``````````/\   | |```/\         /\`/\         /\```|
+
  /    \//////     \                 o\\\\\o/////o\\\\\o
−
| o``\````````o``@``o````````/``o  | |``o  \       o``@``o        / o``|
+
   /       \////      \               / \\\\/\\////\\\\\/ \
−
|  |```\```````|`````|```````/```|  | |``|  \       |`````|      /  |``|
+
  /        \//        \             /   \\/\\\\//\\\\\/  \
−
|  |````@``````|`````|``````@````|  | |``|    @-------->`<--------@    |``|
+
o          o           o           o     o\\\\\o\\\\\o     o
−
|  |```````````|`````|```````````|  | |``|           |`````|           |``|
+
|\        / \        /|          |\   / \\\\/ \\\\/ \   /|
−
|  o```````````o` ^ `o```````````o | |``o           o`````o          o``|
+
| \       /  \      / |           | \ /   \\/   \\/   \ / |
−
|  \```````````\`|`/```````````/  | |```\          \```/           /```|
+
| \    /     \     / |          |  o     o     o    o  |
−
|    \```` ^ ````\|/```` ^ ````/   | |````\    ^     \`/    ^     /````|
+
|   \   /      \   /  |           | |\   / \   / \  /|  |
−
|     \`````\`````|`````/`````/    | |`````\     \     o    /     /`````|
+
| u  \ /        \ / v |           |u | \ /  \ /   \ / | v|
−
|     \`````\```/|\```/`````/      | |``````\     \  /`\   /     /``````|
+
o-----o           o-----o           o--+--o     o    o--+--o
−
|      o-----\-o | o-/-----o       | |```````o-----\-o```o-/-----o```````|
+
      \        /                    |   \   / \   /   |
−
|             \ |  /             | |``````````````\`````/``````````````|
+
        \       /                     | du \ /   \ / dv |
−
|              \ | /               | |```````````````\```/```````````````|
+
        \     /                       o-----o     o-----o
−
|                \|/               | |````````````````\`/````````````````|
+
          \  /                               \   /
−
|                @                | |`````````````````@`````````````````|
+
          \ /                                 \ /
−
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
+
            o                                  o
−
\                                 /   \                                /
+
                U%          $T$         $E$U%
−
  \                             /      \                            /
+
                    o------------------>o
−
    \         ((u)(v))        /           \       ((u, v))        /
+
                    |                  |
−
      \                    /              \                    /
+
                    |                  |
−
         \                /                  \                /
+
                    |                  |
−
o----------\-------------/-----------------------\-------------/----------o
+
                    |                  |
−
| X          \         /                           \         /           |
+
                J  |                  | $T$J
−
|              \     /                               \     /             |
+
                    |                  |
−
|                \ /                                   \ /               |
+
                    |                  |
−
|                o----------------o  o----------------o                |
+
                    |                  |
−
|                /                 \ /                 \               |
+
                    v                  v
−
|              /                   o                   \               |
+
                    o------------------>o
−
|              /                   / \                   \             |
+
                X%          $T$         $E$X%
−
|            /                   /  \                   \             |
+
            o                                  o
−
|            /                   /    \                   \           |
+
          //\                                 /X\
−
|          /                   /      \                   \           |
+
          ////\                               /XXX\
−
|          /                   /        \                   \         |
+
        //////\                             /XXXXX\
−
|        o                   o          o                   o         |
+
        ////////\                           /XXXXXXX\
−
|         |                    |           |                   |        |
+
      //////////\                         /XXXXXXXXX\
−
|         |                    |           |                   |        |
+
      ////////////o                       oXXXXXXXXXXXo
−
|         |        f          |           |         g        |        |
+
    ///////////// \                     //\XXXXXXXXX/\\
−
|        |                    |          |                    |        |
+
    /////////////  \                   ////\XXXXXXX/\\\\
−
|        |                    |          |                    |        |
+
  /////////////    \                 //////\XXXXX/\\\\\\
−
|        o                    o          o                    o        |
+
  /////////////      \               ////////\XXX/\\\\\\\\
−
|          \                   \         /                   /          |
+
/////////////        \             //////////\X/\\\\\\\\\\
−
|           \                   \      /                   /          |
+
o////////////          o          o///////////o\\\\\\\\\\\o
−
|            \                   \    /                   /           |
+
|\//////////           /            |\////////// \\\\\\\\\\/|
−
|            \                   \  /                    /            |
+
| \////////           /            | \////////  \\\\\\\\/ |
−
|             \                    \ /                   /             |
+
| \//////           /              | \//////    \\\\\\/ |
−
|              \                   o                    /               |
+
|   \////          /              |   \////      \\\\/   |
−
|                \                 / \                 /               |
+
| x  \//           /                | x  \//        \\/ dx |
−
|                o----------------o   o----------------o                 |
+
o-----o          /                o-----o           o-----o
−
|                                                                        |
+
      \        /                        \        /
−
|                                                                        |
+
        \      /                          \      /
−
|                                                                        |
+
        \    /                            \    /
−
o-------------------------------------------------------------------------o
+
          \  /                              \  /
−
Figure 69.  Difference Map of F = <f, g> = <((u)(v)), ((u, v))>
+
          \ /                                \ /
 +
            o                                   o
 +
 
 +
Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction J = uv
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Formula Display 19===
+
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 57-4 -- Tangent Functor Diagram for J.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 57-4.  Tangent Functor Diagram for the Conjunction ''J'' = ''uv'''''</font></center></p>
 +
 
 +
===Formula Display 11===
    
<pre>
 
<pre>
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
o-----------------------------------------------------------o
−
|                                                                               |
+
|                                                           |
−
|  df = uv.  0      + u(v). du      + (u)v.    dv  + (u)(v).(du, dv)  |
+
|   F  =  <f, g> = <F_1, F_2> : [u, v] -> [x, y]    |
−
|                                                                               |
+
|                                                           |
−
| dg  =  uv.(du, dv) + u(v).(du, dv)  +  (u)v.(du, dv) + (u)(v).(du, dv)  |
+
|   where      f    =     F_1    : [u, v] -> [x]      |
−
|                                                                               |
+
|                                                          |
−
o-------------------------------------------------------------------------------o
+
|  and        g    =      F_2    :  [u, v] -> [y]      |
 +
|                                                           |
 +
o-----------------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u, v› = ‹((u)(v)), ((u, v))›===
+
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| ''F''
 +
| =
 +
| align="center" | ‹''f'', ''g''›
 +
| =
 +
| align="center" | ‹''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>›
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''x'', ''y''<nowiki>]</nowiki>
 +
|-
 +
| colspan="2" | where
 +
| align="center" | ''f''
 +
| =
 +
| align="center" | ''F''<sub>1</sub>
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''x''<nowiki>]</nowiki>
 +
|-
 +
| colspan="2" | and
 +
| align="center" | ''g''
 +
| =
 +
| align="center" | ''F''<sub>2</sub>
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''y''<nowiki>]</nowiki>
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| align="left" | ''F''
 +
| =
 +
| ‹''f'', ''g''›
 +
| =
 +
| ‹''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>›
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''x'', ''y''<nowiki>]</nowiki>
 +
|-
 +
| align="left" colspan="2" | where
 +
| ''f''
 +
| =
 +
| ''F''<sub>1</sub>
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''x''<nowiki>]</nowiki>
 +
|-
 +
| align="left" colspan="2" | and
 +
| ''g''
 +
| =
 +
| ''F''<sub>2</sub>
 +
| :
 +
| <nowiki>[</nowiki>''u'', ''v''<nowiki>]</nowiki>
 +
| &rarr;
 +
| <nowiki>[</nowiki>''y''<nowiki>]</nowiki>
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators===
    
<pre>
 
<pre>
−
                o                                  o
+
Table 58. Cast of Characters: Expansive Subtypes of Objects and Operators
−
              / \                                / \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
              /  \                              /  \
+
| Item | Notation                | Description      | Type                       |
−
            /    \                            / O \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
            /      \                          o /@\  o
+
|     |                        |                  |                            |
−
          /        \                        / \    / \
+
| U%   | = [u, v]                | Source Universe | [B^n]                      |
−
          /          \                       /  \  /  \
+
|     |                        |                  |                            |
−
        /      O      \                    /  O  \ /  O  \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
        o     /@\      o                   o /@\  o /@\  o
+
|     |                        |                 |                           |
−
      / \            / \                / \  \ / \  \ / \
+
| X%   | = [x, y]                | Target Universe  | [B^k]                      |
−
      /  \          /  \              /  \  /  \  /  \
+
|     | = [f, g]                |                 |                           |
−
     /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
+
|     |                        |                  |                           |
−
    /      \      /      \          o  /@   o /@\  o  /@  o
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
  /        \    /        \        / \  \ / \    / \  \ / \
+
|      |                        |                  |                            |
−
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
+
| EU%  | = [u, v, du, dv]        | Extended        | [B^n x D^n]                |
−
/     O      \ /      O      \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
+
|     |                         | Source Universe  |                           |
−
o     /@      o     /@      o   o /@  o  /@  o  /@  o  /@  o
+
|      |                         |                 |                           |
−
|\            / \            /|   |\    / \ /  / \ /  / \    /|
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| \          /   \          / |   | \  /  \  /  \  /  \  / |
+
|      |                        |                  |                            |
−
| \        /    \        /  |   | \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  |
+
| EX%  | = [x, y, dx, dy]        | Extended        | [B^k x D^k]               |
−
|   \      /      \      /  |   |   o /@  o   @\  o /@  o   |
+
|      | = [f, g, df, dg]        | Target Universe  |                            |
−
|   \    /        \    /    |   |   |\ / \ / \    / \ / \ /|  |
+
|     |                        |                  |                           |
−
|     \  /          \  /    |   |   | \  /  \  /  \  / |   |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
| u    \ /      O     \ /    v |   | u |  \ /  O  \ /  O  \ /  | v |
+
|     |                        |                 |                           |
−
o-------o       @\      o-------o  o---+---o  @\  o  @\  o---+---o
+
| F    | F = <f, g> : U% -> X%  | Transformation, | [B^n] -> [B^k]            |
−
        \            /               |   \ / \ / \ / \ /    |
+
|      |                         | or Mapping      |                            |
−
          \          /                |     \  /  \  /    |
+
|     |                        |                 |                            |
−
          \        /                 | du  \ /  O  \ /  dv |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
            \      /                  o-------o   @\  o-------o
+
|      |                        |                  |                            |
−
            \    /                            \    /
+
|      | f, g : U -> B          | Proposition,     | B^n -> B                  |
−
              \  /                              \  /
+
|      |                         |   special case   |                            |
−
              \ /                                \ /
+
| f    | f : U -> [x] c X%      |   of a mapping,  | c (B^n, B^n -> B)         |
−
                o                                  o
+
|     |                        |   or component   |                            |
−
                    U%          $T$          $E$U%
+
| g    | g : U -> [y] c X%       |   of a mapping.  | = (B^n +-> B) = [B^n]      |
−
                        o------------------>o
+
|     |                        |                  |                            |
−
                        |                   |
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
                         |                   |
+
|      |                        |                  |                            |
−
                        |                   |
+
| W   | W :                    | Operator         |                            |
−
                        |                   |
+
|      | U% -> EU%,              |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
−
                    F  |                   | $T$F
+
|     | X% -> EX%,              |                  | [B^k] -> [B^k x D^k],     |
−
                         |                   |
+
|     | (U%->X%)->(EU%->EX%),  |                  | ([B^n] -> [B^k])          |
−
                        |                   |
+
|     | for each W among:      |                  | ->                        |
−
                         |                   |
+
|     | !e!, !h!, E, D, d       |                  | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
−
                        v                  v
+
|     |                        |                  |                            |
−
                        o------------------>o
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
                    X%          $T$          $E$X%
+
|     |                         |                                               |
−
                o                                   o
+
| !e!  |                         | Tacit Extension Operator   !e!                |
−
              / \                                / \
+
| !h! |                         | Trope Extension Operator   !h!                |
−
              /  \                              /  \
+
|  E  |                        | Enlargement Operator        E                |
−
            /     \                            /  O  \
+
| D  |                        | Difference Operator        D                |
−
            /      \                          o  /@\  o
+
| d   |                        | Differential Operator       d                |
−
          /        \                         / \    / \
+
|      |                        |                                               |
−
          /          \                      /   \   /   \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
         /      O      \                    /  O  \ /  O  \
+
|      |                        |                  |                            |
−
        o     /@\      o                  o  /@\  o  /@\  o
+
| $W$  | $W$ :                  | Operator         |                           |
−
      / \            / \                / \   \ / \ /   / \
+
|      | U% -> $T$U% = EU%,      |                  | [B^n] -> [B^n x D^n],      |
−
       /   \          /  \              /  \  /  \  /  \
+
|      | X% -> $T$X% = EX%,      |                 | [B^k] -> [B^k x D^k],      |
−
     /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
+
|     | (U%->X%)->($T$U%->$T$X%)|                  | ([B^n] -> [B^k])           |
−
    /      \      /      \          o /@  o /@\  o   @\  o
+
|      | for each $W$ among:    |                 | ->                        |
−
   /         \    /        \        / \  \ / \ / \ / \ /  / \
+
|      | $e$, $E$, $D$, $T$     |                 | ([B^n x D^n]->[B^k x D^k]) |
−
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
+
|      |                        |                 |                           |
−
/     O     \ /     O     \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
+
o------o-------------------------o------------------o----------------------------o
−
o     /@       o      @\     o   o /@  o /@  o   @\  o  @\  o
+
|     |                        |                                              |
−
|\            / \            /|   |\    / \ / \ / \ / \ / \    /|
+
| $e$  |                        | Radius Operator        $e$  =  <!e!, !h!>     |
−
| \          /  \          / |   | \   /  \  /  \  /  \  / |
+
| $E$  |                        | Secant Operator        $E$  =  <!e!,  E >     |
−
|  \        /    \        /  |  |  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ / |
+
| $D$  |                        | Chord Operator         $D$  =  <!e!,  D >    |
−
|  \       /      \      /  |   |   o /@  o   @  o   @\  o   |
+
| $T$  |                        | Tangent Functor        $T$  = <!e!, d >    |
−
|   \    /         \    /    |   |   |\ /  / \ / \ / \  \ /|   |
+
|      |                        |                                              |
−
|     \  /           \  /    |   |   | \  /  \  /  \  / |   |
+
o------o-------------------------o-----------------------------------------------o
−
| x    \ /     O     \ /    y |   | x | \ /  O  \ /  O  \ /  | y |
  −
o-------o       @      o-------o  o---+---o  @  o  @  o---+---o
  −
        \            /                |   \ /  / \  \ /    |
  −
          \          /                |    \  /  \  /     |
  −
          \         /                  | dx  \ / O \ /  dy |
  −
            \      /                  o-------o   @  o-------o
  −
            \    /                            \    /
  −
              \  /                              \  /
  −
              \ /                                \ /
  −
                o                                  o
  −
 
  −
Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u, v› = <((u)(v)), ((u, v))>
   
</pre>
 
</pre>
   −
===Figure 70-b.  Tangent Functor Ferris Wheel for F‹u, v› = ‹((u)(v)), ((u, v))›===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
−
 
+
|+ '''Table 58.  Cast of Characters:  Expansive Subtypes of Objects and Operators'''
−
<pre>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
! Item
−
| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
+
! Notation
−
|     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      |
+
! Description
−
|    /////\ /////\    | |     /XXXX\ /XXXX\    | |     /\\\\\ /\\\\\    |
+
! Type
−
|   ///////o//////\    | |   /XXXXXXoXXXXXX\    |  |    /\\\\\\o\\\\\\\    |
+
|-
−
|   //////// \//////\  | |   /XXXXXX/ \XXXXXX\  | |   /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
+
| valign="top" | ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
| o///////  \//////o  | |  oXXXXXX/  \XXXXXXo  | | o\\\\\\/   \\\\\\\o  |
+
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'']
−
| |/////o    o/////| |  | |XXXXXo    oXXXXX| | | |\\\\\o    o\\\\\|  |
+
| valign="top" | Source Universe
−
| |/du//|    |//dv/| |  |  |XXXXX|    |XXXXX| |  |  |\du\\|     |\\dv\|  |
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup>]
−
| |/////o    o/////| | | |XXXXXo    oXXXXX| | | |\\\\\o    o\\\\\|  |
+
|-
−
|  o//////\  ///////o  | | oXXXXXX\  /XXXXXXo  |  |  o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
+
| valign="top" | ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|   \//////\ ////////  | |   \XXXXXX\ /XXXXXX/  | |   \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
+
| valign="top" |
−
|   \//////o///////    | |   \XXXXXXoXXXXXX/    | |    \\\\\\\o\\\\\\/   |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|    \///// \/////    | |     \XXXX/ \XXXX/     |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'']
−
|     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      |
+
|-
−
|                       | |                       | |                       |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'']
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
|}
−
=      du' @ (u)(v)      o-----------------------o          dv' @ (u)(v)  =
+
| valign="top" | Target Universe
−
  =                        | dU'                   |                        =
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup>]
−
  =                      |      o--o  o--o      |                      =
+
|-
−
    =                      |    /////\ /\\\\\    |                      =
+
| valign="top" | E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
    =                    |    ///////o\\\\\\\    |                     =
+
| valign="top" | <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''u'', ''v'', d''u'', d''v'']
−
      =                    |   ////////X\\\\\\\\  |                   =
+
| valign="top" | Extended Source Universe
−
      =                  | o///////XXX\\\\\\\o  |                   =
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]
−
        =                  | |/////oXXXXXo\\\\\| |                 =
+
|-
−
        = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
+
| valign="top" | E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
                          | |/////oXXXXXo\\\\\| |
+
| valign="top" |
−
                          | o//////\XXX/\\\\\\o  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
                          |   \//////\X/\\\\\\/  |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''x'', ''y'', d''x'', d''y'']
−
                          |   \//////o\\\\\\/    |
+
|-
−
                          |    \///// \\\\\/    |
+
| <font face="courier new">=&nbsp;</font>[''f'', ''g'', d''f'', d''g'']
−
                          |     o--o  o--o      |
+
|}
−
                          |                       |
+
| valign="top" | Extended Target Universe
−
                          o-----------------------o
+
| valign="top" | ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]
−
 
+
|-
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
| ''F''
−
| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
+
| ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f'',&nbsp;''g''›&nbsp;:&nbsp;''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
|     o--o  o--o      | |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
| Transformation, or Mapping
−
|    /    \ /////\    |  |    /\\\\\ /XXXX\    | |     /\\\\\ /\\\\\    |
+
| ['''B'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>]
−
|   /      o//////\    | |   /\\\\\\oXXXXXX\    | |   /\\\\\\o\\\\\\\    |
+
|-
−
|   /      //\//////\  | |  /\\\\\\//\XXXXXX\  | |   /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
+
| valign="top" |
−
|  o      ////\//////o  | | o\\\\\\////\XXXXXXo  | | o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
| |    o/////o/////| | | |\\\\\o/////oXXXXX| | | |\\\\\o    o\\\\\| |
+
| &nbsp;
−
| | du  |/////|//dv/| | |  |\\\\\|/////|XXXXX| |  |  |\du\\|     |\\dv\| |
+
|-
−
|  |    o/////o/////| |  | |\\\\\o/////oXXXXX| | | |\\\\\o    o\\\\\|  |
+
| ''f''
−
|  o      \//////////o |  |  o\\\\\\\////XXXXXXo  |  |  o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
+
|-
−
|  \      \/////////  |  |  \\\\\\\\//XXXXXX/  |  |  \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
+
| ''g''
−
|    \      o///////    |  |    \\\\\\\oXXXXXX/    |  |    \\\\\\\o\\\\\\/    |
+
|}
−
|    \    / \/////    |  |    \\\\\/ \XXXX/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
+
| valign="top" |
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|                      |  |                      |  |                      |
+
| ''f'', ''g'' : ''U'' &rarr; '''B'''
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
|-
−
=      du' @ (u) v        o-----------------------o          dv' @ (u) v    =
+
| ''f'' : ''U'' &rarr; [''x''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
  =                        | dU'                  |                        =
+
|-
−
  =                      |      o--o  o--o      |                      =
+
| ''g'' : ''U'' &rarr; [''y''] &sube; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
−
    =                      |    /////\ /\\\\\    |                      =
+
|}
−
    =                    |    ///////o\\\\\\\    |                    =
+
| valign="top" |
−
      =                    |  ////////X\\\\\\\\  |                    =
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
      =                  |  o///////XXX\\\\\\\o  |                  =
+
| Proposition
−
        =                  |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |                  =
+
|}
−
        = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
+
| valign="top" |
−
                          |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
−
                          |  o//////\XXX/\\\\\\o  |
+
| '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
−
                          |  \//////\X/\\\\\\/  |
+
|-
−
                          |    \//////o\\\\\\/    |
+
| &isin; ('''B'''<sup>''n''</sup>, '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B''')
−
                          |    \///// \\\\\/    |
+
|-
−
                          |      o--o  o--o      |
+
| = ('''B'''<sup>''n''</sup> +&rarr; '''B''') = ['''B'''<sup>''n''</sup>]
−
                          |                      |
+
|}
−
                          o-----------------------o
+
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| W
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| W&nbsp;:
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
 +
|-
 +
| for each W in the set:
 +
|-
 +
| {<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>,&nbsp;E,&nbsp;D,&nbsp;d}
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Operator
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>
 +
|-
 +
| <math>\eta</math>
 +
|-
 +
| E
 +
|-
 +
| D
 +
|-
 +
| d
 +
|}
 +
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2"  |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Tacit Extension Operator || <math>\epsilon</math>
 +
|-
 +
| Trope Extension Operator || <math>\eta</math>
 +
|-
 +
| Enlargement Operator    || E
 +
|-
 +
| Difference Operator      || D
 +
|-
 +
| Differential Operator    || d
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''W'''</font>&nbsp;:
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (<font face=georgia>'''T'''</font>''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;,
 +
|-
 +
| for each <font face=georgia>'''W'''</font> in the set:
 +
|-
 +
| {<font face=georgia>'''e'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''E'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''D'''</font>,&nbsp;<font face=georgia>'''T'''</font>}
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Operator
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''k''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>]&nbsp;,
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &rarr;
 +
|-
 +
| (['''B'''<sup>''n''</sup> &times; '''D'''<sup>''n''</sup>] &rarr; ['''B'''<sup>''k''</sup> &times; '''D'''<sup>''k''</sup>])
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font>
 +
|-
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font>
 +
|}
 +
| valign="top" | &nbsp;
 +
| colspan="2" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:60%"
 +
| Radius Operator || <font face=georgia>'''e'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;<math>\eta</math>›
 +
|-
 +
| Secant Operator || <font face=georgia>'''E'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;E›
 +
|-
 +
| Chord Operator || <font face=georgia>'''D'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;D›
 +
|-
 +
| Tangent Functor || <font face=georgia>'''T'''</font>&nbsp;=&nbsp;‹<math>\epsilon</math>,&nbsp;d›
 +
|}
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Table 59. Synopsis of Terminology: Restrictive and Alternative Subtypes===
   −
o-----------------------o o-----------------------o o-----------------------o
+
<pre>
−
| dU                   | | dU                   |  | dU                   |
+
Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes
−
|      o--o   o--o     |  |     o--o   o--o     |  |      o--o   o--o     |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|     /////\ /    \    | |     /XXXX\ /\\\\\    | |    /\\\\\ /\\\\\    |
+
|              | Operator            | Proposition        | Transformation      |
−
|    ///////o      \   | |   /XXXXXXo\\\\\\\    | |   /\\\\\\o\\\\\\\    |
+
|              |    or                |    or              |    or                |
−
|  /////////\      \  | |   /XXXXXX//\\\\\\\\  | |   /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
+
|              | Operand              | Component          | Mapping              |
−
|  o//////////\      o | | oXXXXXX////\\\\\\\o  | | o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|  |/////o/////o     | | | |XXXXXo/////o\\\\\| | | |\\\\\o     o\\\\\| |
+
|             |                      |                   |                     |
−
| |/du//|/////| dv | | | |XXXXX|/////|\\\\\| | | |\du\\|    |\\dv\| |
+
| Operand      | F = <F_1, F_2>      | F_i : <|u,v|> -> B | F : [u, v] -> [x, y] |
−
| |/////o/////o     | | | |XXXXXo/////o\\\\\| | | |\\\\\o     o\\\\\|  |
+
|              |                      |                    |                     |
−
|  o//////\////      o | | oXXXXXX\////\\\\\\o  | | o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
+
|              | F = <f, g> : U -> X | F_i : B^n -> B    | F : B^n -> B^k      |
−
|   \//////\//      /  | |   \XXXXXX\//\\\\\\/  | |   \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
+
|              |                      |                   |                      |
−
|   \//////o      /   | |   \XXXXXXo\\\\\\/    | |   \\\\\\\o\\\\\\/    |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
|    \///// \    /    | |     \XXXX/ \\\\\/    | |     \\\\\/ \\\\\/    |
+
|              |                      |                    |                      |
−
|      o--o   o--o     | |     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      |
+
| Tacit        | !e! :                | !e!F_i :          | !e!F :              |
−
|                       | |                       | |                      |
+
| Extension    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> B | [u,v,du,dv]->[x, y]  |
−
o-----------------------o  o-----------------------o o-----------------------o
+
|              | (U%->X%)->(EU%->X%) | B^n x D^n -> B    | [B^n x D^n]->[B^k]   |
−
=     du' @  u (v)      o-----------------------o         dv' @  u (v)   =
+
|              |                      |                    |                      |
−
  =                        | dU'                  |                       =
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
  =                      |     o--o   o--o     |                       =
+
|              |                      |                    |                      |
−
     =                     |     /////\ /\\\\\    |                      =
+
| Trope        | !h! :                | !h!F_i :          | !h!F :              |
−
    =                    |    ///////o\\\\\\\   |                     =
+
| Extension   | U%->EU%, X%->EX%,   | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
      =                    |   ////////X\\\\\\\\  |                    =
+
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]   |
−
      =                  | o///////XXX\\\\\\\o  |                   =
+
|              |                     |                   |                     |
−
        =                  | |/////oXXXXXo\\\\\| |                 =
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
        = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
+
|             |                     |                   |                     |
−
                          | |/////oXXXXXo\\\\\| |
+
| Enlargement | E :                  | EF_i :            | EF :                |
−
                          |  o//////\XXX/\\\\\\o |
+
| Operator     | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
−
                          |   \//////\X/\\\\\\/  |
+
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D     | [B^n x D^n]->[D^k]  |
−
                          |   \//////o\\\\\\/    |
+
|             |                      |                   |                     |
−
                          |    \///// \\\\\/    |
+
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
−
                          |      o--o  o--o     |
+
|             |                     |                   |                     |
−
                          |                       |
+
| Difference  | D :                  | DF_i :            | DF :                |
−
                          o-----------------------o
+
| Operator     | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 +
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D     | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 +
|             |                     |                   |                     |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|             |                     |                   |                     |
 +
| Differential | d :                  | dF_i :            | dF :                |
 +
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,   | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 +
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D     | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 +
|              |                     |                   |                     |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
| Remainder    | r :                  | rF_i :            | rF :                |
 +
| Operator    | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u,v,du,dv]->[dx,dy] |
 +
|             | (U%->X%)->(EU%->dX%) | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n]->[D^k]  |
 +
|             |                     |                   |                     |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
| Radius      | $e$ = <!e!, !h!> :  |                    | $e$F :              |
 +
| Operator    |                      |                    |                      |
 +
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
 +
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->       |
 +
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
| Secant      | $E$ = <!e!, E> :    |                    | $E$F :              |
 +
| Operator    |                      |                    |                      |
 +
|              | U%->EU%, X%->EX%,    |                    | [u, v, du, dv] ->    |
 +
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
|              |                      |                    | [B^n x D^n] ->      |
 +
|             |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 +
|             |                      |                    |                      |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
| Chord        | $D$ = <!e!, D> :    |                    | $D$F :              |
 +
| Operator     |                     |                   |                      |
 +
|             | U%->EU%, X%->EX%,   |                    | [u, v, du, dv] ->   |
 +
|             | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],      |
 +
|             |                      |                    |                      |
 +
|             |                      |                   | [B^n x D^n] ->      |
 +
|             |                      |                   | [B^k x D^k]          |
 +
|             |                      |                   |                     |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
|             |                     |                   |                     |
 +
| Tangent      | $T$ = <!e!, d> :     | dF_i :            | $T$F :              |
 +
| Functor     |                      |                    |                      |
 +
|              | U%->EU%, X%->EX%,    | <|u,v,du,dv|> -> D | [u, v, du, dv] ->    |
 +
|              | (U%->X%)->(EU%->EX%) |                    | [x, y, dx, dy],     |
 +
|             |                      |                    |                      |
 +
|              |                      | B^n x D^n -> D    | [B^n x D^n] ->      |
 +
|              |                      |                    | [B^k x D^k]          |
 +
|              |                      |                    |                      |
 +
o--------------o----------------------o--------------------o----------------------o
 +
</pre>
   −
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:96%"
−
| dU                    | | dU                    | | dU                    |
+
|+ '''Table 59.  Synopsis of Terminology:  Restrictive and Alternative Subtypes'''
−
|     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      | |     o--o  o--o      |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
|     /   \ /   \    | |     /\\\\\ /\\\\\    | |     /\\\\\ /\\\\\    |
+
| &nbsp;
−
|   /      o      \    | |   /\\\\\\o\\\\\\\    | |   /\\\\\\o\\\\\\\    |
+
| align="center" | '''Operator<br>or<br>Operand'''
−
|   /      / \      \  | |   /\\\\\\/ \\\\\\\\  | |   /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
+
| align="center" | '''Proposition<br>or<br>Component'''
−
| o      /   \      o  | | o\\\\\\/   \\\\\\\o  | | o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
+
| align="center" | '''Transformation<br>or<br>Mapping'''
−
| |     o    o    | | | |\\\\\o    o\\\\\| | | |\\\\\o    o\\\\\| |
+
|-
−
| | du  |     | dv | | | |\\\\\|     |\\\\\| | | |\du\\|     |\\dv\| |
+
| Operand
−
| |     o    o    | | | |\\\\\o    o\\\\\| | | |\\\\\o    o\\\\\| |
+
| valign="top" |
−
| o      \  /      o  | | o\\\\\\\  /\\\\\\o  | | o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
+
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
−
|   \      \ /     /   | |   \\\\\\\\ /\\\\\\/   |  |  \\\\\\\\ /\\\\\\/   |
+
| ''F'' = ‹''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>›
−
|    \     o      /   |  |    \\\\\\\o\\\\\\/   |  |    \\\\\\\o\\\\\\/   |
+
|-
−
|    \    / \    /    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
+
| ''F'' = ‹''f'', ''g''› : ''U'' &rarr; ''X''
−
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
+
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| ''F''<sub>''i''</sub> : 〈''u'', ''v''〉 &rarr; '''B'''
 +
|-
 +
| ''F''<sub>''i''</sub> : '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''
 +
|}
 +
| valign="top" |
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100"
 +
| ''F'' : [''u'', ''v''] &rarr; [''x'', ''y'']
 +
|-
 +
| ''F'' : '''B'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''B'''<sup>''k''</sup>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Tacit
 +
|-
 +
| Extension
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math> :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)&nbsp;&rarr;&nbsp;(E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''B'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'', ''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Trope
 +
|-
 +
| Extension
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\eta</math> :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\eta</math>''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <math>\eta</math>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'', d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Enlargement
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| E :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| E''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| E''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'', d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Difference
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| D :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| D''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| D''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'', d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Differential
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| d :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| d''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| d''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'', d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Remainder
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; d''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| r''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[d''x'', d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Radius
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, <math>\eta</math>› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''e'''</font>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;d''x'',&nbsp;d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Secant
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, E› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''E'''</font>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;d''x'',&nbsp;d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Chord
 +
|-
 +
| Operator
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, D› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''D'''</font>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;d''x'',&nbsp;d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| Tangent
 +
|-
 +
| Functor
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font> = ‹<math>\epsilon</math>, d› :
 +
|-
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,&nbsp;&nbsp;''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;,
 +
|-
 +
| (''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>) &rarr; (E''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup> &rarr; E''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| d''F''<sub>''i''</sub> :
 +
|-
 +
| 〈''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v''〉&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|-
 +
| '''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;'''D'''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; text-align:left; width:100%"
 +
| <font face=georgia>'''T'''</font>''F'' :
 +
|-
 +
| [''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;d''u'',&nbsp;d''v'']&nbsp;&rarr;&nbsp;[''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;d''x'',&nbsp;d''y'']
 +
|-
 +
| ['''B'''<sup>''n''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''n''</sup>]&nbsp;&rarr;&nbsp;['''B'''<sup>''k''</sup>&nbsp;&times;&nbsp;'''D'''<sup>''k''</sup>]
 +
|}
 +
|}<br>
 +
 
 +
===Formula Display 12===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
|                                                          |
 +
|        x  =  f(u, v)  =  ((u)(v))                    |
 +
|                                                          |
 +
|        y  =  g(u, v)  =  ((u, v))                    |
 +
|                                                          |
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
| ''x''
 +
| =
 +
| ''f''‹''u'', ''v''›
 +
| =
 +
| ((''u'')(''v''))
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
| ''y''
 +
| =
 +
| ''g''‹''u'', ''v''›
 +
| =
 +
| ((''u'', ''v''))
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 13===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
|                                                          |
 +
|    <x, y>  =  F<u, v>  =  <((u)(v)), ((u, v))>        |
 +
|                                                          |
 +
o-----------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| ‹''x'', ''y''›
 +
| =
 +
| ''F''‹''u'', ''v''›
 +
| =
 +
| ‹((''u'')(''v'')), ((''u'', ''v''))›
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
| ‹''x'', ''y''›
 +
| =
 +
| ''F''‹''u'', ''v''›
 +
| =
 +
| ‹((''u'')(''v'')), ((''u'', ''v''))›
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 60.  Propositional Transformation===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 60.  Propositional Transformation
 +
o-------------o-------------o-------------o-------------o
 +
|      u      |      v      |      f      |      g      |
 +
o-------------o-------------o-------------o-------------o
 +
|            |            |            |            |
 +
|      0      |      0      |      0      |      1      |
 +
|            |            |            |            |
 +
|      0      |      1      |      1      |      0      |
 +
|            |            |            |            |
 +
|      1      |      0      |      1      |      0      |
 +
|            |            |            |            |
 +
|      1      |      1      |      1      |      1      |
 +
|            |            |            |            |
 +
o-------------o-------------o-------------o-------------o
 +
|            |            |  ((u)(v))  |  ((u, v))  |
 +
o-------------o-------------o-------------o-------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 60.  Propositional Transformation'''
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| width="25%" | ''u''
 +
| width="25%" | ''v''
 +
| width="25%" | ''f''
 +
| width="25%" | ''g''
 +
|-
 +
| width="25%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 1
 +
|}
 +
| width="25%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|}
 +
| width="25%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
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===Figure 61.  Propositional Transformation===
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            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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            |      |////// x //////|XXXXX|\\\\\\ y \\\\\\|      |
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            |      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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            |      o///////////////oXXXXXo\\\\\\\\\\\\\\\o      |
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Figure 61.  Propositional Transformation
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 61 -- Propositional Transformation.gif|center]]</p>
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<p><center><font size="+1">'''Figure 61.  Propositional Transformation'''</font></center></p>
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===Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)===
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| U                      | |\U \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
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|      o---o  o---o      | |\\\\\\o---o\\\o---o\\\\\\|
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|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
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|  |// u //|///|// v //|  | |\\|  u  |\\\|  v  |\\|
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|  o///////o///o///////o  | |\\o      o\\\o      o\\|
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    \        f        /        \        g        /
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        \      /                  \      /
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| X        \  /                      \  /          |
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|          \ /                        \ /          |
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|      |///////////////|XXXXX|\\\\\\\\\\\\\\\|      |
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Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)
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</pre>
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 62 -- Propositional Transformation (Short Form).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 62.  Propositional Transformation (Short Form)'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 63.  Transformation of Positions===
 +
 
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<pre>
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            o-----------------------------------------------------o
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            |`U` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` ` o-----------o ` o-----------o ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' '\`/' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' o ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` `/' ' ' ' ' ' ' '/^\' ' ' ' ' ' ' '\` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` / ' ' ' ' ' ' ' /^^^\ ' ' ' ' ' ' ' \ ` ` ` `|
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            |` ` ` `o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o' ' ' ' ' ' ' 'o` ` ` `|
 +
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
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            |` ` ` `|' ' ' ' u ' ' '|^^^^^|' ' ' v ' ' ' '|` ` ` `|
 +
            |` ` ` `|' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|' ' ' ' ' ' ' '|` ` ` `|
 +
            |` `@` `o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o' ' ' @ ' ' ' 'o` ` ` `|
 +
            |` ` \ ` \ ' ' ' | ' ' ' \^|^/ ' ' ' | ' ' ' / ` ` ` `|
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            |` ` `\` `\' ' ' | ' ' ' '\|/' ' ' ' | ' ' '/` ` ` ` `|
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            |` ` ` \ ` \ ' ' | ' ' ' ' | ' ' ' ' | ' ' / ` ` ` ` `|
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            |` ` ` `\` `\' ' | ' ' ' '/|\' ' ' ' | ' '/` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` \ ` o---|-------o | o-------|---o ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` `\` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
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            |` ` ` ` ` \ ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` | ` ` ` ` ` ` ` `|
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            o-----------\----|---------|---------|----------------o
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            " "          \  |        |        |              " "
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        "      "        \  |        |        |            "      "
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      "            "      \ |        |        |        "            "
 +
  "                  "    \|        |        |      "                  "
 +
o-------------------------o  \        |        |  o-------------------------o
 +
| U                      |  |\        |        |  |`U```````````````````````|
 +
|      o---o  o---o      |  | \      |        |  |``````o---o```o---o``````|
 +
|    /'''''\ /'''''\    |  |  \      |        |  |`````/    \`/    \`````|
 +
|    /'''''''o'''''''\    |  |  \    |        |  |````/      o      \````|
 +
|  /'''''''/'\'''''''\  |  |    \    |        |  |```/      /`\      \```|
 +
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |    \  |        |  |``o      o```o      o``|
 +
|  |'''u'''|'''|'''v'''|  |  |      \  |        |  |``|  u  |```|  v  |``|
 +
|  o'''''''o'''o'''''''o  |  |      \ |        |  |``o      o```o      o``|
 +
|  \'''''''\'/'''''''/  |  |        \|        |  |```\      \`/      /```|
 +
|    \'''''''o'''''''/    |  |        \        |  |````\      o      /````|
 +
|    \'''''/ \'''''/    |  |        |\        |  |`````\    /`\    /`````|
 +
|      o---o  o---o      |  |        | \      |  |``````o---o```o---o``````|
 +
|                        |  |        |  \      *  |`````````````````````````|
 +
o-------------------------o  |        |  \    /    o-------------------------o
 +
\                        |  |        |    \  /    |                        /
 +
  \      ((u)(v))        |  |        |    \/      |        ((u, v))      /
 +
    \                    |  |        |    /\      |                    /
 +
      \                  |  |        |    /  \    |                  /
 +
        \                |  |        |  /    \    |                /
 +
          \              |  |        |  /      *  |              /
 +
            \            |  |        | /      |  |            /
 +
              \          |  |        |/        |  |          /
 +
                \        |  |        /        |  |        /
 +
                  \      |  |        /|        |  |      /
 +
            o-------\----|---|-------/-|---------|---|----/-------o
 +
            | X      \  |  |      /  |        |  |  /        |
 +
            |          \|  |    /  |        |  |/          |
 +
            |            o---|----/--o | o-------|---o            |
 +
            |          /' ' | ' / ' '\|/` ` ` ` | ` `\          |
 +
            |          / ' ' | '/' ' ' | ` ` ` ` | ` ` \          |
 +
            |        /' ' ' | / ' ' '/|\` ` ` ` | ` ` `\        |
 +
            |        / ' ' ' |/' ' ' /^|^\ ` ` ` | ` ` ` \        |
 +
            |  @  o' ' ' ' @ ' ' 'o^^@^^o` ` ` @ ` ` ` `o      |
 +
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
 +
            |      |' ' ' ' f ' ' '|^^^^^|` ` ` g ` ` ` `|      |
 +
            |      |' ' ' ' ' ' ' '|^^^^^|` ` ` ` ` ` ` `|      |
 +
            |      o' ' ' ' ' ' ' 'o^^^^^o` ` ` ` ` ` ` `o      |
 +
            |        \ ' ' ' ' ' ' ' \^^^/ ` ` ` ` ` ` ` /        |
 +
            |        \' ' ' ' ' ' ' '\^/` ` ` ` ` ` ` `/        |
 +
            |          \ ' ' ' ' ' ' ' o ` ` ` ` ` ` ` /          |
 +
            |          \' ' ' ' ' ' '/ \` ` ` ` ` ` `/          |
 +
            |            o-----------o  o-----------o            |
 +
            |                                                    |
 +
            |                                                    |
 +
            o-----------------------------------------------------o
 +
Figure 63.  Transformation of Positions
 +
</pre>
 +
 
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<br>
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<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 63 -- Transformation of Positions.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 63.  Transformation of Positions'''</font></center></p>
 +
 
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===Table 64.  Transformation of Positions===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 64.  Transformation of Positions
 +
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 +
| u v |    x    |    y    |  x y  |  x(y) | (x)y  | (x)(y) | X% = [x, y] |
 +
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 +
|    |          |          |      |      |        |        |      ^      |
 +
| 0 0 |    0    |    1    |  0  |  0  |  1    |  0    |      |      |
 +
|    |          |          |      |      |        |        |            |
 +
| 0 1 |    1    |    0    |  0  |  1  |  0    |  0    |      F      |
 +
|    |          |          |      |      |        |        |      =      |
 +
| 1 0 |    1    |    0    |  0  |  1  |  0    |  0    |  <f , g>  |
 +
|    |          |          |      |      |        |        |            |
 +
| 1 1 |    1    |    1    |  1  |  0  |  0    |  0    |      ^      |
 +
|    |          |          |      |      |        |        |      |      |
 +
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 +
|    | ((u)(v)) | ((u, v)) |  u v  | (u,v) | (u)(v) |  0    | U% = [u, v] |
 +
o-----o----------o----------o-------o-------o--------o--------o-------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 64.  Transformation of Positions'''
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| ''u''&nbsp;&nbsp;''v''
 +
| ''x''
 +
| ''y''
 +
| ''x''&nbsp;''y''
 +
| ''x''&nbsp;(''y'')
 +
| (''x'')&nbsp;''y''
 +
| (''x'')(''y'')
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;[''x'',&nbsp;''y''&nbsp;]
 +
|-
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 0&nbsp;&nbsp;1
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;1
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 1
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 1
 +
|-
 +
| 0
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|-
 +
| 0
 +
|}
 +
| width="12%" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &uarr;
 +
|-
 +
| ''F''
 +
|-
 +
| ‹''f'',&nbsp;''g''&nbsp;›
 +
|-
 +
| &uarr;
 +
|}
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
| ((''u'')(''v''))
 +
| ((''u'',&nbsp;''v''))
 +
| ''u''&nbsp;''v''
 +
| (''u'',&nbsp;''v'')
 +
| (''u'')(''v'')
 +
| (&nbsp;)
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>&nbsp;=&nbsp;[''u'',&nbsp;''v''&nbsp;]
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
===Table 65.  Induced Transformation on Propositions===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 65.  Induced Transformation on Propositions
 +
o------------o---------------------------------o------------o
 +
|    X%    |  <---  F  =  <f , g>  <---  |    U%    |
 +
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 +
|            |      u = |  1 1 0 0  | = u      |            |
 +
|            |      v = |  1 0 1 0  | = v      |            |
 +
| f_i <x, y> o----------o-----------o----------o f_j <u, v> |
 +
|            |      x = |  1 1 1 0  | = f<u,v> |            |
 +
|            |      y = |  1 0 0 1  | = g<u,v> |            |
 +
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_0    |    ()    |  0 0 0 0  |    ()    |    f_0    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_1    |  (x)(y)  |  0 0 0 1  |    ()    |    f_0    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_2    |  (x) y  |  0 0 1 0  |  (u)(v)  |    f_1    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_3    |  (x)    |  0 0 1 1  |  (u)(v)  |    f_1    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_4    |  x (y)  |  0 1 0 0  |  (u, v)  |    f_6    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_5    |    (y)  |  0 1 0 1  |  (u, v)  |    f_6    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_6    |  (x, y)  |  0 1 1 0  |  (u  v)  |    f_7    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_7    |  (x  y)  |  0 1 1 1  |  (u  v)  |    f_7    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_8    |  x  y  |  1 0 0 0  |  u  v  |    f_8    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_9    | ((x, y)) |  1 0 0 1  |  u  v  |    f_8    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_10    |      y  |  1 0 1 0  | ((u, v)) |    f_9    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_11    |  (x (y)) |  1 0 1 1  | ((u, v)) |    f_9    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_12    |  x      |  1 1 0 0  | ((u)(v)) |    f_14    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_13    | ((x) y)  |  1 1 0 1  | ((u)(v)) |    f_14    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_14    | ((x)(y)) |  1 1 1 0  |  (())  |    f_15    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
|    f_15    |  (())  |  1 1 1 1  |  (())  |    f_15    |
 +
|            |          |          |          |            |
 +
o------------o----------o-----------o----------o------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 65.  Induced Transformation on Propositions
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| ''X''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
 +
| colspan="3" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:80%"
 +
| &larr;
 +
| ''F''&nbsp;=&nbsp;‹''f''&nbsp;,&nbsp;''g''›
 +
| &larr;
 +
|}
 +
| ''U''<sup>&nbsp;&bull;</sup>
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| rowspan="2" | ''f''<sub>''i''</sub>‹''x'',&nbsp;''y''›
 +
|
 +
{| align="right" style="background:paleturquoise; text-align:right"
 +
| ''u'' =
 +
|-
 +
| ''v'' =
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" style="background:paleturquoise; text-align:center"
 +
| 1 1 0 0
 +
|-
 +
| 1 0 1 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" style="background:paleturquoise; text-align:left"
 +
| = ''u''
 +
|-
 +
| = ''v''
 +
|}
 +
| rowspan="2" | ''f''<sub>''j''</sub>‹''u'',&nbsp;''v''›
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
|
 +
{| align="right" style="background:paleturquoise; text-align:right"
 +
| ''x'' =
 +
|-
 +
| ''y'' =
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" style="background:paleturquoise; text-align:center"
 +
| 1 1 1 0
 +
|-
 +
| 1 0 0 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="left" style="background:paleturquoise; text-align:left"
 +
| = ''f''‹''u'',&nbsp;''v''›
 +
|-
 +
| = ''g''‹''u'',&nbsp;''v''›
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ''f''<sub>0</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>1</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>2</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>3</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>4</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>5</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>6</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>7</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ()
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x'')(''y'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x'')&nbsp;''y''&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x'')&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;''x''&nbsp;(''y'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(''y'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x'',&nbsp;''y'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x''&nbsp;&nbsp;''y'')&nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| 0 0 0 0
 +
|-
 +
| 0 0 0 1
 +
|-
 +
| 0 0 1 0
 +
|-
 +
| 0 0 1 1
 +
|-
 +
| 0 1 0 0
 +
|-
 +
| 0 1 0 1
 +
|-
 +
| 0 1 1 0
 +
|-
 +
| 0 1 1 1
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ()
 +
|-
 +
| ()
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u'')(''v'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u'')(''v'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u'',&nbsp;''v'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u'',&nbsp;''v'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u''&nbsp;&nbsp;''v'')&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''u''&nbsp;&nbsp;''v'')&nbsp;
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ''f''<sub>0</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>0</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>1</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>1</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>6</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>6</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>7</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>7</sub>
 +
|}
 +
|-
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ''f''<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>10</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>11</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>12</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>13</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| &nbsp;&nbsp;''x''&nbsp;&nbsp;''y''&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| ((''x'',&nbsp;''y''))
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;''y''&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;(''x''&nbsp;(''y''))
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;''x''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| ((''x'')&nbsp;''y'')&nbsp;
 +
|-
 +
| ((''x'')(''y''))
 +
|-
 +
| (())
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| 1 0 0 0
 +
|-
 +
| 1 0 0 1
 +
|-
 +
| 1 0 1 0
 +
|-
 +
| 1 0 1 1
 +
|-
 +
| 1 1 0 0
 +
|-
 +
| 1 1 0 1
 +
|-
 +
| 1 1 1 0
 +
|-
 +
| 1 1 1 1
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| &nbsp;&nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;&nbsp;''u''&nbsp;&nbsp;''v''&nbsp;&nbsp;
 +
|-
 +
| ((''u'',&nbsp;''v''))
 +
|-
 +
| ((''u'',&nbsp;''v''))
 +
|-
 +
| ((''u'')(''v''))
 +
|-
 +
| ((''u'')(''v''))
 +
|-
 +
| (())
 +
|-
 +
| (())
 +
|}
 +
|
 +
{| cellpadding="2" style="background:lightcyan"
 +
| ''f''<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>8</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>9</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>14</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>15</sub>
 +
|-
 +
| ''f''<sub>15</sub>
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 14===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|  EG_i  =  G_i <u + du, v + dv>                |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | E''G''<sub>''i''</sub>
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="88%" | ''G''<sub>''i''</sub>‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 15===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|  DG_i  =  G_i <u, v>  +  EG_i <u, v, du, dv>  |
 +
|                                                |
 +
|        =  G_i <u, v>  +  G_i <u + du, v + dv>  |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''G''<sub>''i''</sub>
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="20%" | ''G''<sub>''i''</sub>‹''u'', ''v''›
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="64%" | E''G''<sub>''i''</sub>‹''u'', ''v'', d''u'', d''v''›
 +
|-
 +
| width="8%"  | &nbsp;
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="20%" | ''G''<sub>''i''</sub>‹''u'', ''v''›
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="64%" | ''G''<sub>''i''</sub>‹''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''›
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 16===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|  Ef  =  ((u + du)(v + dv))                    |
 +
|                                                |
 +
|  Eg  =  ((u + du, v + dv))                    |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | E''f''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="88%" | ((''u'' + d''u'')(''v'' + d''v''))
 +
|-
 +
| width="8%"  | E''g''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="88%" | ((''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''))
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Formula Display 17===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|  Df  =  ((u)(v))  +  ((u + du)(v + dv))        |
 +
|                                                |
 +
|  Dg  =  ((u, v))  +  ((u + du, v + dv))        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="12" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:left; width:100%"
 +
| width="8%"  | D''f''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="20%" | ((''u'')(''v''))
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="64%" | ((''u'' + d''u'')(''v'' + d''v''))
 +
|-
 +
| width="8%"  | D''g''
 +
| width="4%"  | =
 +
| width="20%" | ((''u'', ''v''))
 +
| width="4%"  | +
 +
| width="64%" | ((''u'' + d''u'', ''v'' + d''v''))
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 66-i.  Computation Summary for f‹u, v› = ((u)(v))===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 66-i.  Computation Summary for f<u, v> = ((u)(v))
 +
o--------------------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                                |
 +
| !e!f  =  uv.    1      + u(v).    1      + (u)v.    1      + (u)(v).    0      |
 +
|                                                                                |
 +
|  Ef  =  uv. (du  dv)  + u(v). (du (dv)) + (u)v.((du) dv)  + (u)(v).((du)(dv)) |
 +
|                                                                                |
 +
|  Df  =  uv.  du  dv  + u(v).  du (dv)  + (u)v. (du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
 +
|                                                                                |
 +
|  df  =  uv.    0      + u(v).  du      + (u)v.      dv  + (u)(v). (du, dv)  |
 +
|                                                                                |
 +
|  rf  =  uv.  du  dv  + u(v).  du  dv  + (u)v.  du  dv  + (u)(v).  du  dv  |
 +
|                                                                                |
 +
o--------------------------------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 66-i.  Computation Summary for ''f''‹''u'', ''v''› = ((''u'')(''v''))
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 1
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || 1
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || 1
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || 0
 +
|-
 +
| E''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'' d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u (d''v''))
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || ((d''u'') d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || ((d''u'')(d''v''))
 +
|-
 +
| D''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u'' (d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'') d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || ((d''u'')(d''v''))
 +
|-
 +
| d''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| r''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 66-ii.  Computation Summary for g‹u, v› = ((u, v))===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 66-ii.  Computation Summary for g<u, v> = ((u, v))
 +
o--------------------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                                |
 +
| !e!g  =  uv.    1      + u(v).    0      + (u)v.    0      + (u)(v).    1      |
 +
|                                                                                |
 +
|  Eg  =  uv.((du, dv)) + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v).((du, dv)) |
 +
|                                                                                |
 +
|  Dg  =  uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
 +
|                                                                                |
 +
|  dg  =  uv. (du, dv)  + u(v). (du, dv)  + (u)v. (du, dv)  + (u)(v). (du, dv)  |
 +
|                                                                                |
 +
|  rg  =  uv.    0      + u(v).    0      + (u)v.    0      + (u)(v).    0      |
 +
|                                                                                |
 +
o--------------------------------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 66-ii.  Computation Summary for g‹''u'', ''v''› = ((''u'', ''v''))
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 1
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || 1
 +
|-
 +
| E''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || ((d''u'', d''v''))
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || ((d''u'', d''v''))
 +
|-
 +
| D''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| d''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| r''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || 0
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
|  u  v  | du dv | u' v' |  f  g  | Ef Eg | Df Dg | df dg | rf rg |
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|  0  0  | 0  0  | 0  0  |  0  1  | 0  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 0  1  | 0  1  |        | 1  0  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  0  | 1  0  |        | 1  0  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  1  | 1  1  |        | 1  1  | 1  0  | 0  0  | 1  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|  0  1  | 0  0  | 0  1  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 0  1  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  0  | 1  1  |        | 1  1  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  1  | 1  0  |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|  1  0  | 0  0  | 1  0  |  1  0  | 1  0  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 0  1  | 1  1  |        | 1  1  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  0  | 0  0  |        | 0  1  | 1  1  | 1  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  1  | 0  1  |        | 1  0  | 0  0  | 1  0  | 1  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|  1  1  | 0  0  | 1  1  |  1  1  | 1  1  | 0  0  | 0  0  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 0  1  | 1  0  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  0  | 0  1  |        | 1  0  | 0  1  | 0  1  | 0  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
|        | 1  1  | 0  0  |        | 0  1  | 1  0  | 0  0  | 1  0  |
 +
|        |      |      |        |      |      |      |      |
 +
o--------o-------o-------o--------o-------o-------o-------o-------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ Table 67.  Computation of an Analytic Series in Terms of Coordinates
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| ''u''
 +
| ''v''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| d''u''
 +
| d''v''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| ''u''<font face="courier new">’</font>
 +
| ''v''<font face="courier new">’</font>
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| <math>\epsilon</math>''f''
 +
| <math>\epsilon</math>''g''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| E''f''
 +
| E''g''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| D''f''
 +
| D''g''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| d''f''
 +
| d''g''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:paleturquoise; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| d<sup>2</sup>''f''
 +
| d<sup>2</sup>''g''
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|-
 +
| valign="top" |
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 1 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 1
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 0 || 0
 +
|-
 +
| 1 || 0
 +
|}
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
===Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms===
 +
 
 +
<pre>
 +
Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms
 +
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
| u v | f g |    Df    |    Dg    |    df    |    dg    |    rf    |    rg    |
 +
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
|    |    |            |          |          |          |          |          |
 +
| 0 0 | 0 1 | ((du)(dv)) | (du, dv) | (du, dv) | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
 +
|    |    |            |          |          |          |          |          |
 +
| 0 1 | 1 0 |  (du) dv  | (du, dv) |    dv    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
 +
|    |    |            |          |          |          |          |          |
 +
| 1 0 | 1 0 |  du (dv)  | (du, dv) |    du    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
 +
|    |    |            |          |          |          |          |          |
 +
| 1 1 | 1 1 |  du  dv  | (du, dv) |    ()    | (du, dv) |  du  dv  |    ()    |
 +
|    |    |            |          |          |          |          |          |
 +
o-----o-----o------------o----------o----------o----------o----------o----------o
 +
</pre>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|+ '''Table 68.  Computation of an Analytic Series in Symbolic Terms'''
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| ''u''&nbsp;&nbsp;''v''
 +
| ''f''&nbsp;&nbsp;''g''
 +
| D''f''
 +
| D''g''
 +
| d''f''
 +
| d''g''
 +
| d<sup>2</sup>''f''
 +
| d<sup>2</sup>''g''
 +
|-
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 0&nbsp;&nbsp;1
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| 0&nbsp;&nbsp;1
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;0
 +
|-
 +
| 1&nbsp;&nbsp;1
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| ((d''u'')(d''v''))
 +
|-
 +
| (d''u'')&nbsp;d''v''&nbsp;
 +
|-
 +
| &nbsp;d''u''&nbsp;(d''v'')
 +
|-
 +
| d''u''&nbsp;&nbsp;d''v''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| d''v''
 +
|-
 +
| d''u''
 +
|-
 +
| (&nbsp;)
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| (d''u'', d''v'')
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|-
 +
| d''u'' d''v''
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| (&nbsp;)
 +
|-
 +
| (&nbsp;)
 +
|-
 +
| (&nbsp;)
 +
|-
 +
| (&nbsp;)
 +
|}
 +
|}
 +
<br>
 +
 
 +
===Formula Display 18===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                        |
 +
|  Df  =  uv. du  dv  + u(v). du (dv) + (u)v.(du) dv  + (u)(v).((du)(dv)) |
 +
|                                                                        |
 +
|  Dg  =  uv.(du, dv) + u(v).(du, dv) + (u)v.(du, dv) + (u)(v). (du, dv)  |
 +
|                                                                        |
 +
o-------------------------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| D''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || d''u'' d''v''
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u'' (d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'') d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || ((d''u'')(d''v''))
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| D''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 69.  Difference Map of F = ‹f,&nbsp;g› = ‹((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
 +
| U                                | |`U`````````````````````````````````|
 +
|                                  | |```````````````````````````````````|
 +
|                ^                | |```````````````````````````````````|
 +
|                |                | |```````````````````````````````````|
 +
|      o-------o | o-------o      | |```````o-------o```o-------o```````|
 +
| ^    /`````````\|/`````````\    ^ | | ^ ```/      ^  \`/  ^      \``` ^ |
 +
|  \  /```````````|```````````\  /  | |``\``/        \  o  /        \``/``|
 +
|  \/`````u`````/|\`````v`````\/  | |```\/    u    \/`\/    v    \/```|
 +
|  /\``````````/`|`\``````````/\  | |```/\          /\`/\          /\```|
 +
|  o``\````````o``@``o````````/``o  | |``o  \        o``@``o        /  o``|
 +
|  |```\```````|`````|```````/```|  | |``|  \      |`````|      /  |``|
 +
|  |````@``````|`````|``````@````|  | |``|    @-------->`<--------@    |``|
 +
|  |```````````|`````|```````````|  | |``|          |`````|          |``|
 +
|  o```````````o` ^ `o```````````o  | |``o          o`````o          o``|
 +
|  \```````````\`|`/```````````/  | |```\          \```/          /```|
 +
|    \```` ^ ````\|/```` ^ ````/    | |````\    ^    \`/    ^    /````|
 +
|    \`````\`````|`````/`````/    | |`````\    \    o    /    /`````|
 +
|      \`````\```/|\```/`````/      | |``````\    \  /`\  /    /``````|
 +
|      o-----\-o | o-/-----o      | |```````o-----\-o```o-/-----o```````|
 +
|              \  |  /              | |``````````````\`````/``````````````|
 +
|              \ | /              | |```````````````\```/```````````````|
 +
|                \|/                | |````````````````\`/````````````````|
 +
|                @                | |`````````````````@`````````````````|
 +
o-----------------------------------o o-----------------------------------o
 +
\                                /  \                                /
 +
  \                            /      \                            /
 +
    \        ((u)(v))        /          \        ((u, v))        /
 +
      \                    /              \                    /
 +
        \                /                  \                /
 +
o----------\-------------/-----------------------\-------------/----------o
 +
| X          \        /                          \        /            |
 +
|              \    /                              \    /              |
 +
|                \ /                                  \ /                |
 +
|                o----------------o  o----------------o                |
 +
|                /                  \ /                  \                |
 +
|              /                    o                    \              |
 +
|              /                    / \                    \              |
 +
|            /                    /  \                    \            |
 +
|            /                    /    \                    \            |
 +
|          /                    /      \                    \          |
 +
|          /                    /        \                    \          |
 +
|        o                    o          o                    o        |
 +
|        |                    |          |                    |        |
 +
|        |                    |          |                    |        |
 +
|        |        f          |          |          g        |        |
 +
|        |                    |          |                    |        |
 +
|        |                    |          |                    |        |
 +
|        o                    o          o                    o        |
 +
|          \                    \        /                    /          |
 +
|          \                    \      /                    /          |
 +
|            \                    \    /                    /            |
 +
|            \                    \  /                    /            |
 +
|              \                    \ /                    /              |
 +
|              \                    o                    /              |
 +
|                \                  / \                  /                |
 +
|                o----------------o  o----------------o                |
 +
|                                                                        |
 +
|                                                                        |
 +
|                                                                        |
 +
o-------------------------------------------------------------------------o
 +
Figure 69.  Difference Map of F = <f, g> = <((u)(v)), ((u, v))>
 +
</pre>
 +
 
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 69 -- Difference Map (Short Form).gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 69.  Difference Map of F = ‹f,&nbsp;g› = ‹((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Formula Display 19===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-------------------------------------------------------------------------------o
 +
|                                                                              |
 +
|  df  =  uv.  0      +  u(v). du      +  (u)v.    dv  +  (u)(v).(du, dv)  |
 +
|                                                                              |
 +
|  dg  =  uv.(du, dv)  +  u(v).(du, dv)  +  (u)v.(du, dv)  +  (u)(v).(du, dv)  |
 +
|                                                                              |
 +
o-------------------------------------------------------------------------------o
 +
</pre>
 +
 
 +
<br><font face="courier new">
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:96%"
 +
|
 +
{| align="left" border="0" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:100%"
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| d''f''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || 0
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || d''u''
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || d''v''
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| d''g''
 +
| = || ''uv''        || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || ''u''(''v'')  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')''v''  || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
| + || (''u'')(''v'') || <math>\cdot</math> || (d''u'', d''v'')
 +
|-
 +
| &nbsp;
 +
|}
 +
|}
 +
</font><br>
 +
 
 +
===Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u,&nbsp;v› = ‹((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›===
 +
 
 +
<pre>
 +
                o                                  o
 +
              / \                                / \
 +
              /  \                              /  \
 +
            /    \                            /  O  \
 +
            /      \                          o  /@\  o
 +
          /        \                        / \    / \
 +
          /          \                      /  \  /  \
 +
        /      O      \                    /  O  \ /  O  \
 +
        o      /@\      o                  o  /@\  o  /@\  o
 +
      / \            / \                / \  \ / \  \ / \
 +
      /  \          /  \              /  \  /  \  /  \
 +
    /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
 +
    /      \      /      \          o  /@  o  /@\  o  /@  o
 +
  /        \    /        \        / \  \ / \    / \  \ / \
 +
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
 +
/      O      \ /      O      \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
 +
o      /@      o      /@      o  o  /@  o  /@  o  /@  o  /@  o
 +
|\            / \            /|  |\    / \ /  / \ /  / \    /|
 +
| \          /  \          / |  | \  /  \  /  \  /  \  / |
 +
|  \        /    \        /  |  |  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  |
 +
|  \      /      \      /  |  |  o  /@  o  @\  o  /@  o  |
 +
|    \    /        \    /    |  |  |\ / \ / \    / \ / \ /|  |
 +
|    \  /          \  /    |  |  | \  /  \  /  \  / |  |
 +
| u    \ /      O      \ /    v |  | u |  \ /  O  \ /  O  \ /  | v |
 +
o-------o      @\      o-------o  o---+---o  @\  o  @\  o---+---o
 +
        \            /                |    \ / \ / \ / \ /    |
 +
          \          /                |    \  /  \  /    |
 +
          \        /                  | du  \ /  O  \ /  dv |
 +
            \      /                  o-------o  @\  o-------o
 +
            \    /                            \    /
 +
              \  /                              \  /
 +
              \ /                                \ /
 +
                o                                  o
 +
                    U%          $T$          $E$U%
 +
                        o------------------>o
 +
                        |                  |
 +
                        |                  |
 +
                        |                  |
 +
                        |                  |
 +
                    F  |                  | $T$F
 +
                        |                  |
 +
                        |                  |
 +
                        |                  |
 +
                        v                  v
 +
                        o------------------>o
 +
                    X%          $T$          $E$X%
 +
                o                                  o
 +
              / \                                / \
 +
              /  \                              /  \
 +
            /    \                            /  O  \
 +
            /      \                          o  /@\  o
 +
          /        \                        / \    / \
 +
          /          \                      /  \  /  \
 +
        /      O      \                    /  O  \ /  O  \
 +
        o      /@\      o                  o  /@\  o  /@\  o
 +
      / \            / \                / \  \ / \ /  / \
 +
      /  \          /  \              /  \  /  \  /  \
 +
    /    \        /    \            /  O  \ /  O  \ /  O  \
 +
    /      \      /      \          o  /@  o  /@\  o  @\  o
 +
  /        \    /        \        / \  \ / \ / \ / \ /  / \
 +
  /          \  /          \      /  \  /  \  /  \  /  \
 +
/      O      \ /      O      \    /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \
 +
o      /@      o      @\      o  o  /@  o  /@  o  @\  o  @\  o
 +
|\            / \            /|  |\    / \ / \ / \ / \ / \    /|
 +
| \          /  \          / |  | \  /  \  /  \  /  \  / |
 +
|  \        /    \        /  |  |  \ /  O  \ /  O  \ /  O  \ /  |
 +
|  \      /      \      /  |  |  o  /@  o  @  o  @\  o  |
 +
|    \    /        \    /    |  |  |\ /  / \ / \ / \  \ /|  |
 +
|    \  /          \  /    |  |  | \  /  \  /  \  / |  |
 +
| x    \ /      O      \ /    y |  | x |  \ /  O  \ /  O  \ /  | y |
 +
o-------o      @      o-------o  o---+---o  @  o  @  o---+---o
 +
        \            /                |    \ /  / \  \ /    |
 +
          \          /                |    \  /  \  /    |
 +
          \        /                  | dx  \ /  O  \ /  dy |
 +
            \      /                  o-------o  @  o-------o
 +
            \    /                            \    /
 +
              \  /                              \  /
 +
              \ /                                \ /
 +
                o                                  o
 +
 
 +
Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u, v› = <((u)(v)), ((u, v))>
 +
</pre>
 +
 
 +
<br>
 +
<p>[[Image:Diff Log Dyn Sys -- Figure 70-a -- Tangent Functor Diagram.gif|center]]</p>
 +
<p><center><font size="+1">'''Figure 70-a.  Tangent Functor Diagram for F‹u,&nbsp;v› = ‹((u)(v)),&nbsp;((u,&nbsp;v))›'''</font></center></p>
 +
 
 +
===Figure 70-b.  Tangent Functor Ferris Wheel for F‹u, v› = ‹((u)(v)), ((u, v))›===
 +
 
 +
<pre>
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|    /////\ /////\    |  |    /XXXX\ /XXXX\    |  |    /\\\\\ /\\\\\    |
 +
|    ///////o//////\    |  |    /XXXXXXoXXXXXX\    |  |    /\\\\\\o\\\\\\\    |
 +
|  //////// \//////\  |  |  /XXXXXX/ \XXXXXX\  |  |  /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
 +
|  o///////  \//////o  |  |  oXXXXXX/  \XXXXXXo  |  |  o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
 +
|  |/////o    o/////|  |  |  |XXXXXo    oXXXXX|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  |/du//|    |//dv/|  |  |  |XXXXX|    |XXXXX|  |  |  |\du\\|    |\\dv\|  |
 +
|  |/////o    o/////|  |  |  |XXXXXo    oXXXXX|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  o//////\  ///////o  |  |  oXXXXXX\  /XXXXXXo  |  |  o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
 +
|  \//////\ ////////  |  |  \XXXXXX\ /XXXXXX/  |  |  \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
 +
|    \//////o///////    |  |    \XXXXXXoXXXXXX/    |  |    \\\\\\\o\\\\\\/    |
 +
|    \///// \/////    |  |    \XXXX/ \XXXX/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 
|                      |  |                      |  |                      |
 
|                      |  |                      |  |                      |
−
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
+
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
−
  =      du' @ u v         o-----------------------o          dv' @ u v     =
+
  =      du' @ (u)(v)      o-----------------------o          dv' @ (u)(v)  =
−
   =                        | dU'                  |                        =
+
   =                        | dU'                  |                        =
−
   =                      |      o--o  o--o      |                      =
+
   =                      |      o--o  o--o      |                      =
−
     =                      |    /////\ /\\\\\    |                      =
+
     =                      |    /////\ /\\\\\    |                      =
−
     =                    |    ///////o\\\\\\\    |                    =
+
     =                    |    ///////o\\\\\\\    |                    =
−
       =                    |  ////////X\\\\\\\\  |                    =
+
       =                    |  ////////X\\\\\\\\  |                    =
−
       =                  |  o///////XXX\\\\\\\o  |                  =
+
       =                  |  o///////XXX\\\\\\\o  |                  =
−
         =                  |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |                  =
+
         =                  |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |                  =
−
         = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
+
         = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
−
                           |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |
+
                           |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |
−
                           |  o//////\XXX/\\\\\\o  |
+
                           |  o//////\XXX/\\\\\\o  |
−
                           |  \//////\X/\\\\\\/  |
+
                           |  \//////\X/\\\\\\/  |
−
                           |    \//////o\\\\\\/    |
+
                           |    \//////o\\\\\\/    |
−
                           |    \///// \\\\\/    |
+
                           |    \///// \\\\\/    |
−
                           |      o--o  o--o      |
+
                           |      o--o  o--o      |
−
                           |                      |
+
                           |                      |
−
                           o-----------------------o
+
                           o-----------------------o
 +
 
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|    /    \ /////\    |  |    /\\\\\ /XXXX\    |  |    /\\\\\ /\\\\\    |
 +
|    /      o//////\    |  |    /\\\\\\oXXXXXX\    |  |    /\\\\\\o\\\\\\\    |
 +
|  /      //\//////\  |  |  /\\\\\\//\XXXXXX\  |  |  /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
 +
|  o      ////\//////o  |  |  o\\\\\\////\XXXXXXo  |  |  o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
 +
|  |    o/////o/////|  |  |  |\\\\\o/////oXXXXX|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  | du  |/////|//dv/|  |  |  |\\\\\|/////|XXXXX|  |  |  |\du\\|    |\\dv\|  |
 +
|  |    o/////o/////|  |  |  |\\\\\o/////oXXXXX|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  o      \//////////o  |  |  o\\\\\\\////XXXXXXo  |  |  o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
 +
|  \      \/////////  |  |  \\\\\\\\//XXXXXX/  |  |  \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
 +
|    \      o///////    |  |    \\\\\\\oXXXXXX/    |  |    \\\\\\\o\\\\\\/    |
 +
|    \    / \/////    |  |    \\\\\/ \XXXX/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|                      |  |                      |  |                      |
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
=      du' @ (u) v        o-----------------------o          dv' @ (u) v    =
 +
  =                        | dU'                  |                        =
 +
  =                      |      o--o  o--o      |                      =
 +
    =                      |    /////\ /\\\\\    |                      =
 +
    =                    |    ///////o\\\\\\\    |                    =
 +
      =                    |  ////////X\\\\\\\\  |                    =
 +
      =                  |  o///////XXX\\\\\\\o  |                  =
 +
        =                  |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |                  =
 +
        = = = = = = = = = = =|/du'/|XXXXX|\dv'\|= = = = = = = = = = =
 +
                          |  |/////oXXXXXo\\\\\|  |
 +
                          |  o//////\XXX/\\\\\\o  |
 +
                          |  \//////\X/\\\\\\/  |
 +
                          |    \//////o\\\\\\/    |
 +
                          |    \///// \\\\\/    |
 +
                          |      o--o  o--o      |
 +
                          |                      |
 +
                          o-----------------------o
 +
 
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|    /////\ /    \    |  |    /XXXX\ /\\\\\    |  |    /\\\\\ /\\\\\    |
 +
|    ///////o      \    |  |    /XXXXXXo\\\\\\\    |  |    /\\\\\\o\\\\\\\    |
 +
|  /////////\      \  |  |  /XXXXXX//\\\\\\\\  |  |  /\\\\\\/ \\\\\\\\  |
 +
|  o//////////\      o  |  |  oXXXXXX////\\\\\\\o  |  |  o\\\\\\/  \\\\\\\o  |
 +
|  |/////o/////o    |  |  |  |XXXXXo/////o\\\\\|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  |/du//|/////|  dv |  |  |  |XXXXX|/////|\\\\\|  |  |  |\du\\|    |\\dv\|  |
 +
|  |/////o/////o    |  |  |  |XXXXXo/////o\\\\\|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
 +
|  o//////\////      o  |  |  oXXXXXX\////\\\\\\o  |  |  o\\\\\\\  /\\\\\\o  |
 +
|  \//////\//      /  |  |  \XXXXXX\//\\\\\\/  |  |  \\\\\\\\ /\\\\\\/  |
 +
|    \//////o      /    |  |    \XXXXXXo\\\\\\/    |  |    \\\\\\\o\\\\\\/    |
 +
|    \///// \    /    |  |    \XXXX/ \\\\\/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
 +
|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
 +
|                      |  |                      |  |                      |
 +
o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
 +
=      du' @  u (v)      o-----------------------o          dv' @  u (v)  =
 +
  =                        | dU'                  |                        =
 +
  =                      |      o--o  o--o      |                      =
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| dU                    |  | dU                    |  | dU                    |
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|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
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|  |    o    o    |  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
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|  |    o    o    |  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |  |  |\\\\\o    o\\\\\|  |
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|    \    / \    /    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |  |    \\\\\/ \\\\\/    |
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|      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |  |      o--o  o--o      |
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|                      |  |                      |  |                      |
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o-----------------------o  o-----------------------o  o-----------------------o
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=      du' @  u v        o-----------------------o          dv' @  u v    =
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  =                        | dU'                  |                        =
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  =                      |      o--o  o--o      |                      =
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Figure 70-b.  Tangent Functor Ferris Wheel for F<u, v> = <((u)(v)), ((u, v))>
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[[Image:Tangent_Functor_Ferris_Wheel.gif|frame|<font size="3">'''Figure 70-b.  Tangent Functor Ferris Wheel for F‹u, v› = ‹((u)(v)), ((u, v))›'''</font>]]
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| U                    | |\U\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|  |\U\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\|
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|      o--o  o--o      |  |\\\\\\o--o\\\o--o\\\\\\|  |\\\\\\o--o\\\o--o\\\\\\|
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=         u'             o-----------------------o              v'         =
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  =                        | U'                    |                        =
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Figure 70-b.  Tangent Functor Ferris Wheel for F<u, v> = <((u)(v)), ((u, v))>
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Jon Awbrey
12,089

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